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视频标签：第十一届全国高中
所属栏目：高中数学优质课视频
视频课题：第十一届全国高中青年数学教师优质课大赛《球的体积》甘肃—叶
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第十一届全国高中青年数学教师优质课大赛《球的体积》甘肃—叶
《球的体积》教学设计
授课内容：湘教版必修二第四章第5节《球的体积》。
授课教师：兰州市第五十七中学 叶薇
一、教学内容解析
1.课标分析
（1）数学文化视角：在《普通高中数学课程标准》中，明确指出：依据数学学科特点，关注数学逻辑体系、内容主线、知识之间的关联，重视数学实践和数学文化。并指出：数学文化是指数学的思想、精神、语言、方法、观点，以及它们的形成和发展；包括数学在人类生活、科学技术、社会发展中的贡献和意义，以及与数学相关的人文活动。数学课是传播数学文化的重要载体，如果将数学文化融入课堂教学，让学生了解数学发展的过程、重要结果、主要人物、关键事件及其对人类文明的贡献，就会使课堂变得丰富多彩，让学生更好的理解数学、热爱数学。
（2）数学“四基”视角：利用实物、计算机软件等观察空间图形，认识柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征，能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构。知道球、柱、锥、台的表面积和体积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题。
通过直观感知，操作确认，推理论证、度量计算等方式，让学生经历球的体积的推导过程，认识和探索空间图形的性质，建立空间观念。通过实际情境发现问题、提出问题、分析问题、构建模型、确定参数、计算求解、检验结果、改进模型的过程，渗透数学思想、提升数学核心素养。
2.教学内容
本节内容选自湘教版高中数学必修二第四章第五节，课程标准中要求学生知道球的体积计算公式，能用公式解决简单的实际问题。考虑到课程标准要求培养学生的核心素养，也要注重数学文化的渗透，所以本节课我设计为一节探究课，既是柱体、锥体、台体相关知识的承接和延续，又为后续解决与球有关的实际问题奠定基础，既可以用其结论又可以用推导这个结论的方法。为了从数学文化的角度认识球体，结合人教B版高中数学必修四第十一章第一节的内容，引入了“牟合方盖”这个重要的几何模型，具体有两个任务：一是根据祖暅原理求球的体积；二是根据祖暅原理求牟合方盖的体积。
二、教学目标设置
1.教学目标
（1）初步了解牟合方盖的故事和其中蕴含的数学知识，会从实际物体中抽象出数学模型，培养数学抽象、数学建模的核心素养。
（2）能利用实验探究的方法，构造出一个和半球体积相等，且满足祖暅原理的几何体模型，并借助祖暅原理完成球的体积公式的推理证明。
（3）类比球体积公式的推导方法，推导牟合方盖的体积公式，学会构建几何体模型，求解几何体体积的方法，渗透数形结合、类比转化的数学思想，培养逻辑推理的核心素养。
2.教学目标达成的标志
（1）能借助实验活动，构建出和半球体积相等的几何体模型。
（2）能将几何体的体积相等的问题，转化为等高处的截面积相等的问题。
（3）能用祖暅原理对求球的体积和牟合方盖体积的方法进行理论证明。
3.教学重点
探究球的体积公式的推导方法，从而掌握解决一类几何体体积的计算方法。
三、学生学情分析
1.已经具备的认知基础：学生已经认识了空间几何体的形状和位置关系，以及柱体、锥体、台体的体积和表面积，具有一定的空间想象能力，将简单的生活问题构建成数学模型的能力和逻辑推理的能力。
2.达成目标需要具备的认知基础：（1）圆柱、圆锥的体积公式；（2）将实物抽象成数学模型的数学建模能力和逻辑推理能力。
3.可能遇到的问题：学生能直观感受半球的体积介于同底等高的圆柱和圆锥之间，但是不能准确得到它们之间的数量关系；牟合方盖和球体相切时，无法确定切点位置，不会计算对应截面积的大小。
4.解决方法：借助GGB软件和实验探究让学生对抽象的数学问题和数学模型有直观的感知，逐步引导学生进行抽象概括；将牟合方盖和正方体相切的切点找出，再确定牟合方盖和球体相切的切点，求出对应的截面积。
5.教学难点：（1）利用祖暅原理构造和半球体积相等的几何体模型。
（2）对牟合方盖图形的认识及其体积的推导。
四、教学策略分析
问题是数学的心脏，本节课以建构主义为理念，采用任务驱动的探究式教学方法，通过创设问题情境，让学生带着问题学习，以问题为载体，掌握知识和方法。推理是数学的命脉，通过对球的体积公式的理论证明，培养学生数学推理的核心素养。思想是数学的灵魂，在获得知识的过程中渗透解决问题的数学思想和方法。根据维果斯基的“最近发展区”理论，在学生已经掌握的知识和已有思维特点的基础上来建构新知，通过动手操作、信息技术等手段，使复杂问题简单化、抽象问题直观化，经历数学之旅，体会数学之美。帮助学生完成从生活实例到数学模型的建构过程，实现从感性认识到理性思考的飞跃。
为达到理想的教学效果，本节课在学生合作探究的过程中，教师通过适时指导，调节学生探究的进度和效度。对学生展示交流的结果，引导同伴对推理的严谨性、表达的完整性、书写的规范性进行评价，通过同伴的相互评价，调动学生思维的活跃性，促使课堂问题高效解决。
教具：多媒体课件、半球、圆柱、圆锥道具（教师自制）、GGB软件
五、教学过程
根据本节内容特点，我将本节课的教学过程分为10个环节。
环节1. 触景生情——生活中的数学（找准切入点）
看是一幅画，
听是一首歌。
牟合方盖是星座，
千秋永不落。
图中的物件是利用我国古代非常著名的数学模型——牟合方盖制作而成的，什么是牟合方盖呢？下面让我们一起来认识这个几何模型。
设计意图：利用一首小诗开场，突出牟合方盖在数学发展史中的重要性，同时结合食物罩和宿营帐篷引入牟合方盖这个数学模型，将生活问题转化为数学模型，营造轻松学习的氛围，激发学生学习数学的兴趣。
环节2. 追根溯源——牟合方盖的故事
魏晋时期的数学家刘徽在给《九章算术》作注的时候发现了“牟合方盖”这个数学模型。它是正方体中放入两个互相垂直的内切圆柱时，两圆柱的公共部分形成的几何体，由于其采用的模型像一个牟合的方形盒子，故称为牟合方盖。
设计意图：讲述牟合方盖的来源，加深学生对数学文化的了解。
环节3. 剥茧抽丝——牟合方盖中的数学
（寻求发散点）
因为《九章算术》中的“开立圆术”记载半径为R的圆与其外接正方形的面积之比为
，将球放入圆柱中，并与圆柱相切，
，结合图形，我们知道圆柱的体积为
,所以
,《九章算术》中记载
，所以球的体积
.
但是，刘徽发现过圆柱旋转轴的截面是圆与正方形相切，此时
，与旋转轴平行的截面是长方形，与圆只有两边相切，此时
，所以刘徽认为
，
.
于是刘徽想到了推算球体积的方法，他创造了一个称为“牟合方盖”的立体图形。在一个正方体中作两个互相垂直的内切圆柱，其相交的部分就是牟合方盖。牟合方盖恰好把正方体的内切球包含在内，并且与球相切。正方体与球相切的切点是正方体各个面的中心，它们也是牟合方盖和球相切的切点。
思考：（1）水平面截牟合方盖及其内切球会得到什么图形？
（2）相同高度时，水平截面圆与其外切正方形的面积之比是多少？
（3）类比猜想：
。
因此，只要知道了牟合方盖的体积就能算出球的体积，遗憾的是刘徽当时并没有求出牟合方盖的体积，他说：“敢不阙疑，以俟能言者”，意思是：我解决不了的问题，等待后人解决吧！
设计意图：让学生了解牟合方盖和牟合方盖中的数学，利用动画让学生直观感受牟合方盖的模型，球的截面和牟合方盖截面面积的关系，类比猜想得到它们体积之间的关系。同时使学生知道古代数学家治学严谨、一丝不苟、实事求是的数学精神。培养数学建模、直观想象的核心素养。
环节4
4.1古为今用——祖冲之与祖暅
两百多年后，祖暅在刘徽研究的基础上，继承了其父祖冲之的事业，彻底解决了球的体积，发现了著名的“祖暅原理”。
设计意图：让学生了解古代数学家的伟大成就。
4.2古为今用——祖暅原理
祖暅原理的内容是：幂势既同，则积不容异。意思是，两个几何体高度相同，用任一水平面截这两个几何体时，截面积始终相等，则它们的体积相等。
比如，桌面上的一沓书，当它倾斜或扭曲放置时，它们在相同高度处的截面积始终相等，那么它们的体积相等。这样我们就可以将不规则几何体的体积转化为规则几何体的体积，将未知几何体的体积转化为已知几何体的体积。
设计意图：介绍祖暅原理，通过动画让学生理解祖暅原理的核心是相同高度时，截面积相等，则体积相等。培养逻辑推理核心素养。
环节5. 借水行舟——球的体积（点击兴奋点）
探究一：如何利用祖暅原理求球体的体积
问题1：球的截面都是什么图形？这些图形是否具有对称性？
设计意图：利用球的对称性，将球体一分为二，把整个球体的体积转化为半球的体积，渗透转化的数学思想方法。
5.1借水行舟——实验探究
问题2：如图所示，已知半球的半径为R，圆柱和圆锥的底面半径为R，高也为R.请观察以下这三个几何体的体积之间有什么关系？
为了更清晰、直观的得到这三个几何体体积之间的数量关系，请同学们借助手中的道具，以小组合作的方式，进行探究活动。
实验的结论：
。
根据祖暅原理，可以得到相同高度时，
所以，在接下来的探究中，我们只需证明它们在相同高度处的截面积相等即可。
设计意图：学生通过图形直观感知得到同底等高的圆柱体积最大，圆锥体积最小，半球的体积介于圆柱体积和圆锥体积之间，利用实验可以得到更明确的关系，为接下来的理论证明打好基础。培养直观想象、逻辑推理的核心素养。
5.2借水行舟——构造模型
通过实验探究，我们得到
。如图所示，半球的体积等于从圆柱中挖去一个和它同底等高的圆锥后所形成的几何体的体积。我们来验证这两个几何体是否满足祖暅原理？用半球底面所在的平面去截这两个几何体，截面积分别为
，用圆柱上底面所在平面去截这两个几何体，截面积分别为
，它们不满足祖暅原理。结合数据思考，如何调整，它们就有可能满足祖暅原理？
设计意图：根据前面实验探究的结果，引导学生尝试构造出一个和半球体积相等，且满足祖暅原理的几何体模型。培养直观想象、数学建模的核心素养。
5.3借水行舟——模型释义
我们用GGB软件来直观感受一下，图中的阴影部分分别表示对应几何体的截面，数值是两个截面积的大小。请同学们观察，当高度
变化时，这两个截面积
的大小有什么关系？根据祖暅原理，这两个几何体的体积相等。
设计意图：利用GGB动态展示图，让学生理解高度相同时，截面积相等，根据祖暅原理，就可以得到体积相等。培养直观想象、逻辑推理的核心素养。
5.4借水行舟——理论证明
数学是一门严谨的学科，推理是数学的命脉。实验探究和观察得到的结论可能会存在一定的误差，所以我们要用严谨的逻辑推理来证明所得到的结论。
问题3：如图所示，用高为的水平面去截两个几何体，所截得的面积分别为
,
试用
和表示,并用祖暅原理证明实验的结论。
（学生小组合作，展示证明过程）
请学生按下表所列内容，评价刚才的展示过程。
设计意图：学生通过对直观感知的结论进行严谨的推理证明，让学生学会用数学的眼光观察，用数学的思维思考，用数学的语言表达，培养学生的数学核心素养。通过同伴间的相互评价，使学生在逻辑推理、语言表达、书写规范这几个方面互相学习、扬长避短、精益求精。
5.5借水行舟——数学之美
观察数学模型的动态演示，我们能更直观、更清晰、更形象看到半球、圆柱、圆锥体积之间的关系，所以数学很神奇，数学很美！
设计意图：同学们在直观感受它们体积之间关系的同时，也能体会数学软件的强大作用和数学之美。培养直观想象的核心素养。
环节6. 乘风破浪——牟合方盖的体积
探究二：如何利用祖暅原理求牟合方盖的体积
问题1：（1）类比球的体积推导过程，可否将牟合方盖一分为二？
（2）能否找出与其同底等高的几何体，构建相关的几何体模型？（如：棱柱、棱锥等）
（3）类比半球体积的推导过程，猜想这几个几何体的体积之间有什么关系？
问题2：如图所示，用高为的水平面去截这三个几何体，所截得的面积分别为
,试用
和表示
,证明我们的猜想。
（学生展示证明过程）
请学生按下表所列内容，评价刚才的展示过程。
祖暅用不同于今天的方法，求出了牟合方盖的体积，然后利用
，得到球体的体积公式。感兴趣的同学可以查阅资料进行推理证明。
设计意图：通过问题链的思考，类比球的体积的推导过程，引导学生构造求牟合方盖体积的几何体模型，培养学生的数学建模素养。学生通过对猜想的结论进行严谨的推理证明，从特殊到一般，构建解决同类几何体体积的数学模型，培养逻辑推理的核心素养。同伴间的相互评价，使学生养成一丝不苟的学习习惯，培养学生勇于探索、合作共赢的精神。
环节7. 引以为豪——古代优秀数学家刘徽、祖冲之、祖暅
祖暅原理的发现比意大利数学家卡瓦列里类似结论的提出早一千多年，祖暅原理是中华民族的骄傲，非常的了不起！同学们要向伟大的数学家学习，珍惜时光、不负韶华，做对祖国、对人民、对社会有用的人！
设计意图：通过中国古代数学家的伟大成就，增强学生的文化自信和民族自豪感。
环节8. 回头望月——小结（形成整合点）
问题：1.本节课学习了什么原理？
2.用祖暅原理解决了什么问题？
3.在解决问题的过程中得到了什么结论？
4.在得到结论的过程中用到了哪些数学思想方法？
5.本节课的学习中，了解了哪几位中国古代的数学家？
结论：一、基础知识：
1个原理：祖暅原理
2个几何体：球、牟合方盖
3个结论：
二、思想方法：数形结合、归纳类比、构造转化
三、核心素养：数学抽象、直观想象、数学建模、逻辑推理
四、数学文化：中国古代数学家——刘徽、祖冲之、祖暅
设计意图：用回答问题的形式，引导学生回顾反思，对本节课的内容进行小结，通过提炼概括，形成知识的网络体系。明确本节课的学习目标，检测学习的效果。
环节9. 趁热打铁——作业设计
阅读作业：1.阅读课本P82-P86，根据本节课的讲授内容，梳理球体体积公式的发现过程。
2.请查阅资料，试着用微积分的方法推导球的体积公式，探究球的体积和表面积之间的关系。你还能想到别的推导球的体积和表面积的方法吗？
基础作业：1.如果一个球的大圆的面积增加到原来的
倍，那么这个球的体积会怎样变化？
2.用一个平面截半径为
的球，截面面积是
，求球心到截面的距离。
拓展作业：1.如图所示，扇形的半径为
，圆心角为
，若扇形AOB绕直线OB旋转一周，图中阴影部分旋转后所得的几何体与某不规则几何体满足“幂势既同”，则该不规则几何体的体积为多少？
2.将钢球放入一个正方体中，已知正方体的棱长为
,求钢球的最大体积为多少?
3.已知一个正方体所有的顶点都在一个球面上，且这个球的体积是
，求正方体的棱长。
思维导图作业：本单元学过的几何体之间的联系以及研究这些几何体的方法。
设计意图：通过四类作业的设计，实现知识的融合与综合，让不同水平的学生得到不同层次的发展。
环节10. 乐在其中——结束语
最后用一小段音乐来结束本节课，意在让学生在轻松愉快的气氛中掌握数学思想方法的重要作用，以期对学生后续的学习有所帮助。
我想对你说
数学是首歌
问题是绿色的河
方法是奔腾的波
数学是首歌
同行是你和我
思考是春天的海
思想是生命的火
板书设计
六、教学反思
感悟收获：
1.用一首小诗引入本节课的内容，讲述中国古代优秀的数学文化，较好的完成了“立德树人”的目标。
2.通过提出猜想—实验验证—理论证明的互动体验、启发探究，较好的完成了教学目标。
3.通过数学软件，使数学教学与多媒体技术进行有效的融合。
4.在教学活动中，采用了学生之间的互动评价，使得教学活动的开展显得生动、活泼。
反思不足：
1.对牟合方盖物件结构特征的研究不够深入。
2.对刘徽、祖冲之、祖暅三位古代数学家数学成就的研究不够深入。
3.由于数学理论水平不高，经验不足，引导学生创造性构造几何体模型思维活动的研究不够深入。
以上3个方面，需要在今后的教学中不断的学习、改进、提高。
视频来源：优质课网 www.youzhik.com
