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视频课题：第十一届全国高中青年数学教师优质课大赛《3.2.1单调性与最大（小）值（2）》广西—王
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第十一届全国高中青年数学教师优质课大赛《3.2.1单调性与最大（小）值（2）》广西—王
《3. 2. 1 单调性与最大（小）值》教学设计（第2课时）
广西南宁市第三中学 王学建
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内容
函数最大（小）值.
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内容解析
本节课选自人民教育出版社高中数学
A版必修第一册第三章第二节《3. 2 函数的基本性质》. 《普通高中数学课程标准》（2017 年版 2020 年修订）对本节内容的具体要求是能用代数运算和函数图象揭示函数的主要性质；借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义. 能够对简单的实际问题，选择适当的函数构建数学模型，解决问题.
函数的最大（小）值是函数的基本性质之一，它刻画了函数值变化的极端情况，是变化中的不变性. 在现实世界的运动变化中，寻求最佳时机、最优方案等是常见的实际需求，而研究函数的最大（小）值为刻画这种变化规律提供了方法. 从函数的性质来说，函数的最大（小）值与单调性联系紧密，函数的单调性是函数在定义域的某个子集上具有的局部性质，最大（小）值是函数在整个定义域上的整体性质
. 明确函数在区间上的增减情况才能确定最大（小）值. 另外，函数的值域也与函数的最大（小）值有关系. 因此，函数的最大（小）值在数学内外都有重要的应用.
通过引入数学符号，进一步将“图象的最高（低）点”转化为精确的定量关系，从而使定性刻画上升到定量刻画，实现了变化规律的精确化表达. 这样一种由具体到抽象、由图形和自然语言到符号语言表达，从形象直观到定性刻画再到抽象语言刻画的研究过程，体现了数学概念逐渐抽象、严格化的研究思路，既培养了学生的数学抽象和逻辑推理素养，又对其他概念的学习具有借鉴意义. 在利用函数定义、单调性求最大（小）值的过程中，发展学生的数学运算素养.
基于以上分析，确定教学重点：函数最大（小）值的定义的符号语言刻画及应用.
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目标
（1）借助函数图象，体会变量变化时的规律性与不变性，会用符号语言表达函数的最大值、最小值；
（2）会利用函数最大（小）值的定义及单调性求函数的最大值、最小值；
（3）会根据问题情境，理解函数最大（小）值的作用和实际意义，体验数学建模过程.
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目标解析
达成上述目标的标志是：
（1）学生经历从图象直观到文字语言描述，再到符号语言刻画的过程，知道用符号语言刻画函数最大（小）值时，“任意”“存在”等关键词的含义. 感悟通过引入“∀”“∃”“≤”“≥”的符号表示，把一个含有“无限”的问题符号化的方法，感受数学符号语言的魅力；
（2）学生从具体例子能够利用函数最大（小）值的定义及单调性，按一定的步骤求出函数的最大（小）值；
（3）学生能从实际问题中抽象出函数最大（小）值，并说出其实际意义，体验从实际问题到数学问题，再回到实际问题的数学建模过程.
学生在初中阶段已经学习了一次函数、正比例函数、反比例函数和二次函数，重点研究了二次函数的最大（小）值，通过观察函数的图象，发现开口向下的抛物线有最高点，开口向上的抛物线有最低点，在抛物线的对称轴处取到函数的最大（小）值，学生经历了从图象直观到结论记忆的过程；在生活中，学生积累了部分求最短路径、最多收益、最大高度等与最值相关的经验.
在高中阶段，要求用符号语言对一般函数的最值给出定义. 学生对自然语言和图形语言的描述是熟悉的，通过前面函数概念与单调性的学习，学生已经具备一定的“抽象”能力，也掌握了一些符号语言的使用方法. 对于一般函数的最值定义的描述，学生能够从自然语言和图形语言来刻画，用符号语言描述定义可能不完整，导致充分性和必要性缺失.
根据以上分析，确定教学难点是：符号语言的引入，对函数最大（小）值“存在性”和“任意性”的理解.
教学中，利用熟悉的二次函数，借助一定的教学媒体，如用信息技术展示函数的图象，引导学生数形结合地归纳最大（小）值的本质特征，结合自然语言和图形语言，用数学符号描述本质特征，逐步抽象出函数最大（小）值的定义，再通过辨析、举例，对函数最大（小）值的内涵和外延深入理解. 最后通过例题，研究最值与单调性的关系，再用数学方法解决实际问题.
本节课的教学基于学生已有的知识和生活经验，通过具体的例子，采用“问题导学法”，设置一系列问题串，依托“是什么？”“为什么？”“怎么样？”的逻辑思维方法，研究有关最值的具体内容，例如“什么是最值？”“最值有几个？”“如何求最值？”“最值与单调性有什么关系？”等等. 给学生设置一条从定性到定量、从粗糙到精确的归纳过程，引导学生逐步抽象出函数最值的概念. 在此过程中，给学生表达的机会，同时给予鼓励，让学生获得成就感，提高学习兴趣.
通过对定义中的关键词分析，从“存在性”和“任意性”两个方面深化概念的理解. 为使学生更好地理解最大（小）值的符号化定义，可利用信息技术，采用作图等方式直观地展现函数最大（小）值的本质特征，从而降低对概念内涵和外延理解的难度.
为了突破本节课的重难点，让学生更好地理解最值定义中的“任意性”，刻意调整了课本例题的呈现顺序. 将例5提前到函数最值概念深化环节，让学生理解函数单调性在回答“任意性”中的重要作用. 同时，通过例5中具体的函数，让学生更具体地体会到利用函数单调性求最值的优点. 课本中例4以“烟花最佳爆裂时刻”为背景，为学生应用函数模型提供材料，因此将例4放在应用探索环节，引导学生从图象与单调性两个角度解答问题，培养学生从多角度分析问题，解决问题.
引导语：“诗圣”杜甫在《望岳》中诗句“会当凌绝顶，一览众山小”描绘了山顶的绝妙风景. 周末我们去爬山，我们在山的最高处拍一个合照，请问哪里是山的最高处？
问题1
：我们如何判断到达了山的最高处？
师生活动：教师利用
PPT展示实际情境，学生容易回答
D点是最高点，追问学生判断最高点的依据，引导学生用数学的观点描述问题，观察发现山的轮廓可以抽象为函数的图象，水平位移是自变量，海拔高度是函数值，山顶可以抽象为函数图象的最高点，山顶的海拔高度可以抽象为函数的最大值，引导学生自主建模. 教师板书标题，引出研究问题.
设计意图：通过实际情境引入本节课研究的问题，明确研究的对象；开展数学建模活动，将实际问题抽象为数学问题，激发学生的学习热情，用生活实例达到育人目的；挖掘古诗词与数学概念的关系，形象地反映了“最大值”的本质属性，既弘扬了传统文化，又紧扣主题.
问题2
：如何求函数的最大（小）值？请举例说明.
师生活动：引导学生举出具体的例子，例如：
的最大值为0. 追问：为什么0是最大值？
预设：从图象上看，是开口向下的二次函数，顶点坐标为（0,0），即在对称轴处取到最大值0；从解析式上看，
恒小于0，则最大值为0.
教师通过
GeoGebra画板动态演示函数图象上动点纵坐标的变化情况，引导学生明确最大值的本质特征：从图象上看，任意一点的纵坐标都不超过最高点的纵坐标；从函数的要素来看，该函数的所有函数值都不大于函数的最大值.
设计意图：通过对具体的函数的最大（小）值的研究，再从特殊到一般，是认识事物的基本规律，也是数学重要的思想方法. 教师引导学生利用已有的经验，从函数图象和解析式入手，用自然语言描述函数的最大（小）值. 建立函数模型后，引导学生对模型进行分析、求解.
问题3
：你能否用数学语言刻画函数
的最大（小）值？
师生活动：引导学生将上述特例推广到一般情形，学生先独立思考或小组讨论，然后组织全班交流. 教师根据学生的回答，引导学生用符号语言表示“任意”“所有”“不超过”“不大于”，启发学生明确先要给出函数
的定义域为
I，存在一个实数
M，让学生说出“（1）
，都有
；（2）
，使得
”. 教师总结：这里借助符号语言，给出了最大值
M是最大的函数值的本质特征，两个条件缺一不可，条件与结论互为充要条件.
设计意图：这个环节是本课的重点，也是难点，其核心是通过具体到抽象的过程，让学生学会用严格的符号语言刻画“函数图象的最高点”. 以具体的函数为例，借助信息化技术展示图象上其他点与最高点的关系，通过图象直观感受随着自变量的变化，函数值变化中的不变性. 同时通过问题串，设法让学生抓住最大值的本质特征，不断精确化、符号化，引导学生体会借助符号语言简洁表示图象特征的威力，并有效突破最大值定义中两个条件缺一不可的难点.
需要注意的是，用数学符号语言刻画一个涉及“无限取值的问题”时，多数学生很难独立想到其中的数学方法，所以在教学中，教师采取启发式讲解，将重要的关键词“任意”“不大于”指出来，引导学生逐步将定义的本质特征符号化，层层递进，突破难点.
追问：你能仿照函数最大值的定义，给出函数
的最小值定义吗？
师生活动：引导学生明确，任意函数值都不小于最小值，引导学生学会用类比的方法获得最小值的概念.
设计意图：类比函数最大值的定义，让学生模仿给出函数最小值的定义.
函数的最大值与最小值统称为函数的最值.
注意到定义中第二个条件，最大（小）值是其中一个函数值，因此函数最大（小）值的定义还可以如下表述：
如果有
，使得不等式
对一切
成立，就说
f (
x)在
处取到最大值
称
M为
f(
x)的最大值，
为
f(
x)的最大值点.
如果有
，使得不等式
对一切
成立，就说
f (
x)在
处取到最小值
称
N为
f(
x)的最小值，
为
f (
x)的最小值点.
师生活动：教师引导学生注意定义中的关键词，给出函数最值定义的另一种表述. 引导学生理解函数最大（小）值是整个定义域上的整体性质.
设计意图：深化概念的理解，明确模型的特征. 进一步体会符号语言表示数学概念的魅力. 审美教育是培养学生认知美、喜欢美、欣赏美、进而创造美的能力的教育. 数学学科在其内容、结构和方法上具有特殊的美，数学的图象、符号、公式、概念、思想方法，无不蕴含着美
. 教师努力让学生学会用数学的语言表达世界，用简洁、优美的数学关系表达事物的内在规律，提高对美的理解和追求，这是数学美育的重要任务.
问题4
：是不是所有的函数都有最大（小）值？请举例.
师生活动：先独立思考，再集体交流，学生容易举出一次函数、二次函数的例子，教师引导学生根据定义说明有无最值的原因.
教师提醒学生函数的表示方式有三种：解析法、图象法、列表法，让学生展开讨论，举出其他表示法表示的函数例子. 教师投影展示学生的例子，然后展示
PPT上的例子（来源于前面章节出现过的函数），全班讨论交流最值存在与否的情况
.
追问：函数取到最大（小）值时，
x的取值可能有多少个？
师生活动：教师引导学生观察前面例子，容易发现
x的取值的个数可能是1个，2个，3个，. . . . . . ，甚至是无数个，教师要求学生举出“无数个”的例子. 学生可能举出周期函数的例子，教师通过
GeoGebra画板画图进行验证.
设计意图：只有充分认识概念的内涵与外延才能真正理解概念，前面的活动给出了函数最值的定义，需要更进一步探讨最值是否存在？有几个？等问题. 需要说明的是，学生所举的例子可能比较单一，因此教师引导学生明确函数的三种表示法，所举的例子中包含解析法、列表法、图象法表示的函数
. 通过师生共同举例，在对比中理解概念，在实践中深化概念，解决了概念“是什么”的问题
. 对定义中“存在性”进一步探讨，帮助学生对数学模型的特征深入理解.
问题5
：如何说明定义中的“任意性”？
师生活动：引导学生明确说明“任意性”的困难，理论上需要将函数值一个一个地比较，但是这显然不可行. 引导学生利用函数单调性的本质特征来说明，让学生明确函数单调性描述了随着自变量的变化，函数值在增大或者减小，正好是函数值的大小作比较，因此可以先证明单调性，再求最值.
PPT展示课本例5，引导学生通过具体的例子来说明.
（课本81页例5）已知函数
，求函数的最大值和最小值．
教师引导学生明确：（1）利用定义证明单调性的五个步骤：取值→作差→变形→定号→结论.
（2）结合图象，指出函数
f(
x)在闭区间[
a,
b]上的最值与单调性的联系.
设计意图：借助函数的单调性求函数的最大值和最小值是本课的重点，是研究问题的“怎么样”环节，通过问题串强调证明函数单调性的重要性，证明了函数在给定闭区间上是单调的，就能说明函数在区间端点取到的函数值是函数的最大（小）值. 通过设置问题，引发冲突，给学生提供比较、分析、归纳、综合的机会，帮助学生在解决问题中领悟数学思维的严密逻辑性，充分感受到数学思维的合理性与必然性，达到“思维育人”的目的.
例1
. （课本80页例4 ）“菊花”烟花是最壮观的烟花之一．制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂．如果烟花距地面的高度
h (单位:
m) 与时间
t (单位:
s) 之间的关系为
，那么烟花冲出去后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少（精确到1
m）？
师生活动：先让学生独立思考“爆裂的最佳时刻”的含义，建立实际意义与函数最大值的联系；教师强调实际问题要注意定义域的实际意义. 引导学生利用函数图象得到函数的最大值.
解法一：抛物线的顶点坐标为
，开口向下的抛物线在顶点处取到最大值.
即当
时，
函数有最大值
解法二：开口向下的抛物线，函数在对称轴左边区间单调递增，在右边区间单调递减. 先说明二次函数的单调性，可得最大值在对称轴处取到.
实际问题的数据一般不是很简洁，运算量比较大，教师通过板书，引导学生关注数据的特征，通过运用适当的运算律简化运算.
设计意图：本例要使学生体会函数模型可以用来刻画现实世界中的现象，回答了“为什么”要研究函数的最大（小）值的问题，学生通过思考“爆裂的最佳时刻”与函数最大值之间的关系，将实际问题转化为二次函数的最大值问题，体会数学建模的意义，达到“生活育人”的目的
. 教师板演运算过程，演示复杂数据的简便算法，教会学生“基础知识、基本技能”的同时，给学生树立克服困难的信心.
回答下列问题：
1. 本节课从哪些方面研究了函数的最大（小）值？
2. 你认为本节课知识产生的主要过程是什么？
师生活动：学生独立思考的基础上回答，教师再进行归纳
.
设计意图：（1）让学生体会研究问题的基本思路是回答三个问题：是什么？为什么？怎么样？具体到本节课的内容即是研究了函数最大（小）值的定义，通过定义、单调性求函数的最值，以及解决实际情境中的最值问题三个方面. 明确本节课学习的“明线”.
（2）使学生体会从实际问题出发，抽象出函数模型，然后研究模型，求解模型，最终应用模型的数学建模过程，引导学生认识到数学是有用的. 体会本节课学习的“暗线”.
1
. 设函数
的定义域为
. 如果
在区间
上单调递减，在区间
上单调递增，画出
的一个大致图象，从图象上可以发现
是函数
的一个_________.
设计意图：考查学生通过单调性画出函数的大致图象，然后通过图象观察得到函数的最值
.
2
. 已知函数
，求函数在区间
的最大值和最小值.
设计意图：考查学生利用单调性求函数的最大（小）值，考查学生利用单调性定义进行证明的步骤和方法.
3
. 如图所示，动物园要建造一面靠墙的两间面积相同的矩形熊猫居室，如果可供建造围墙的材料总长是30
m，那么宽
x (单位：
m)为多少时才能使所建造的每间熊猫居室面积最大？每间熊猫居室的最大面积是多少？
设计意图：考查学生对实际问题的数学建模，考查学生利用函数的最值解释实际问题.
本节课以“明线”和“暗线”两个思路展开教学. “明线”：是情境引入→概念形成→概念深化→应用探索. 从寻找山峰的最高点引入情境，通过举例，用具体函数总结出最值的本质特征，让学生归纳出最值“是什么”，即用符号语言刻画函数的最值的定义，然后对函数最值的“内涵”和“外延”进行深入探究，从定义中的“存在性”和“任意性”入手，探究函数最值的个数及最值与单调性的关系，回答“怎么样”，最后通过生活中的实例，体会函数最值的应用，回答“为什么”的问题. “明线”融入“思维育人、审美育人”，体现函数单元探究函数性质的一般思路，为后续学习提供研究办法，积累基本知识与基本思想.
“暗线”是数学建模的基本过程，背景材料→模型建立→模型分析与求解→模型应用，寻找山峰的最高点是生活中的实际问题，通过建立函数最大值的模型，研究函数最值的定义与解法，即模型分析与求解，最后通过实际问题应用模型. “暗线”融入“生活育人、活动育人”，让学生积累应用数学模型解决实际问题的基本技能和基本活动经验，体会数学在解决实际问题中的有效作用，通过渗透数学建模活动，培养学生发现和提出问题的能力，以及分析和解决问题的能力，鼓励学生用数学的眼光观察世界，用数学的思维理解世界，用数学的语言表达世界. 两条线索，明暗并行，围绕“立德树人”的目标，为发展学生“四基四能”提供保证.
函数的最值在高中数学中有很多应用，最值的求法纷繁复杂，本节课所举的例题比较简单，缺少课堂练习题，对于学生掌握的基本技能巩固不够，稍感意犹未尽.
视频来源：优质课网 www.youzhik.com
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