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视频课题：第十一届全国高中青年数学教师优质课大赛《二项分布》河北—于
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第十一届全国高中青年数学教师优质课大赛《二项分布》河北—于
《二项分布》教学设计
授课者：于亚男
【教学内容】
本节内容是人教A版选择性必修三第七章《随机变量及其分布》的第四节《二项分布与超几何分布》的第一节课。在自然现象和社会现象中，大量的随机变量都服从或近似的服从二项分布，实际应用广泛，理论上也非常重要。本节课是从生活实际入手，了解伯努利试验和n重伯努利试验的特点，通过由特殊到一般的方法推导出二项分布的概率模型及其数字特征。发展学生数学抽象、逻辑推理及数学运算的素养。
本节内容是对前边所学知识的综合应用，是对已有知识的“再创造”与“整合”的过程；是从实际入手，通过抽象思维，建立数学模型，进而认知数学理论，应用于实际的过程。要鼓励学生在学习过程中，养成独立思考、积极探索的习惯，从而体会数学的科学价值和应用价值。
【教学目标】
1.学生通过具体实例，理解n次伯努利试验的特点，并会判断一个具体问题是否服从二项分布;
2.学生通过独立思考、相互交流，并借助由特殊到一般的方法，能归纳出二项分布的概率模型，从中体会数学的理性与严谨，提升数学抽象、逻辑推理与数学运算的素养。
3.学生经历实际问题的对比分析，归纳提炼，树立普遍联系的概念；在问题的解决过程中感悟数学与生活的和谐之美，体会数学的文化价值和应用价值。
【重点难点】
教学重点：n重伯努利试验，二项分布的概率模型及简单应用。
教学难点：在实际问题中抽象出模型的特征，并应用二项分布的概率模型解决实际问题。
【学情分析】
通过前面的学习，学生已经学习掌握了有关概率和统计的知识：等可能事件概率、互斥事件概率、条件概率、相互独立事件概率的求法及分布列有关内容。但是对于从实际问题中抽象出数学模型还是有些困难的，需要老师启发引导，在老师的启发引导下，学生能从抛硬币的试验中抽象出n重伯努利试验的概念，从掷图钉的试验中归纳出二项分布的概率模型。
【教学策略】
本节课的教学目标与教学问题为我们选择教学策略提供了启示。为了让学生归纳探究出二项分布的概率模型，课堂应为学生创造积极探究的平台。在教学设计中，采用情景教学、启发式教学和合作学习策略，并借助Excel和ggb软件辅助教学。问题的设置给学生留有充分的思考空间，让学生围绕问题主线，通过自主探究突破教学重点和难点。
教学过程中，重视二项分布概率模型的构建，让学生体会从特殊到一般的数学抽象的基本过程，同时模型的构建和应用是数学模型建立与应用的典范。因此，本节课的教学是实施具体内容的教学与核心素养教学相结合的尝试。
【教学过程】
具体展开：
（一）情境创设
情景：两名同学因某个问题而争辩，均不能说服对方，决定用抛硬币的方式来定胜负。将一枚质地均匀的硬币随机抛掷100次，如果出现50次正面向上，则甲胜，否则乙胜。
(设计意图：用同学们熟悉的情景引入，但课堂上并不真的抛掷硬币，而是用Excel表格中生成0、1随机数来替代抛硬币的试验，1代表正面向上，0代表反面向上，这样既便于操作又便于数据的分析统计。另外通过多组随机数的产生也可以让学生进一步的理解频率与概率的关系。）
（二）概念生成
问题1:每次抛硬币试验可能出现的结果有几种？
问题2:各次试验间是否相互影响？
问题3:每次试验中出现正面向上的概率是多少？
问题4:最可能出现多少次正面向上？
（设计意图：通过例子引出概念，为了让学生更好的理解n重伯努利概型的特征，提供更多生活实例引导同学们思考，问题中的伯努利试验是什么，事件A发生的概率是多少，重复试验的次数是多少，各次试验的结果是否相互独立等）
探究：投掷一枚图钉，设针尖向上的概率为p，则针尖向下的概率为q=1-p，连续掷一枚图钉3次。
Ai表示事件”第i次掷得针尖向上”i=1，2，3
Bk表示事件“连续掷3次图钉，恰有k次针尖向上”k=0，1，2，3
问题1:针尖0次向上的概率
问题2:针尖恰有1次向上的概率
问题3:针尖恰有2次向上的概率
问题4:针尖恰有3次向上的概率
变式：投掷一枚图钉，设针尖向上的概率为p，则针尖向下的概率为q=1-p，连续掷一枚图钉n次。
用Ai表示事件”第i次掷得针尖向上”i=1，2，3,……,n.用Bk表示事件“连续掷n次图钉，恰有k次针尖向上”k=0，1，2，3,……,n.
问题1:针尖0次向上的概率
问题2:针尖恰有1次向上的概率
问题3:针尖恰有2次向上的概率
...
问题4:针尖恰有k次向上的概率
于是得到随机变量X的概率分布如下：(q=1－p)
对比该分布列与二项式定理(a+b)^n的展开,
你能看出它们之间的联系吗?
二项分布：一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为用p（0<p<1），用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为
如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X~B(n,p)
（设计意图：采用由特殊到一般；由具体到抽象的数学方法，层层深入，引导学生逐步构建出二项分布的模型，并在推导的过程中通过文字语言和符号语言的相互转化，发展学生的数学抽象的核心素养。教学中让学生独立思考，相互交流，充分经历探究过程，提升数学抽象、逻辑推理和数学运算的素养。最后对每个字母做详细解读，帮助学生理解二项分布的概念，在字母B的解释中加入数学史，丰富课堂内容。）
问题：这两个模型之间具有什么联系呢?
（设计意图：回顾两点分布的概率模型，引导学生对比两点分布、二项分布两个模型的区别与联系，掌握两点分布是二项分布的特例，二项分布是两点分布的一般情况，进一步加深对两个模型的理解。并引导学生树立起用概率模型研究问题的意识，为后续超几何分布及正态分布概率模型的学习奠定基础。）
1、有了二项分布的概率模型，我们就可以准确计算出100次抛硬币试验中50次正面向上的概率
下面我们借助计算机来计算，通过Excel表格中的公式来计算出正面0-100次时的概率，并绘制图表帮助同学们更直观的观察出，出现50次的概率确实是最大的，但这个数据远小于0.5，通过区间计算40≤X≤60内的概率约为0.96，说明在100次抛掷硬币的试验中，正面向上的次数在50次左右，但并不能说明100次抛硬币中就一定会有50次向上。
（设计意图：注重信息技术与数学课堂的深度融合，实现传统的教学手段难以达到的教学效果。例如：利用计算机进行探究算法、进行大规模的数据处理并绘制合适的图表帮助学生体会“概率为0.5”的含义，抛掷一枚质地均匀的硬币，出现正面向上的概率为0.5，并不能保证抛掷100次就一定会有50次正面向上，只能说明出现正面向上的次数在50次左右的概率是比较大的。）
2、如：图7.4-2是一块高尔顿板的示意图.在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃.将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中.格子从左到右分别编号为0，1，2，…，10，用X表示小球最后落入格子的号码，求 X的分布列
通过数学软件演示高尔顿板的动态过程，帮助学生理解试验原理。
问题1:伯努利试验是什么？
问题2:事件A是什么？
问题3:事件A发生的概率是多少？
问题4:各次试验之间是否相互独立？
问题5:重复试验的次数是多少？
问题6:成功的次数与落入格子的号码之间的对应关系是什么？
问题7:随机变量X是否服从二项分布？
归纳：确定一个二项分布模型的一般步骤
（1）明确伯努利试验及事件A的意义，确定事件A发生的概率p
（2）确定重复试验的次数n，并判断各次试验的独立性
（3）设X为n次独立重复试验的事件A发生的次数，则X~B(n,p)
（设计意图：通过ggb软件演示高尔顿板的试验，使学生更加直观的看到到小球下落的情况，即偶然中蕴含着必然的规律，另外可以发现，高尔顿板试验和抛硬币的试验从数学上讲本质是一样的。充分体现了随机事件形形色色，随机现象表现各异，但是如果舍弃具体背景，它们就会呈现出一些共性。并通过本例引导学生总结归纳确定一个二项分布模型的一般步骤）
3、喜迎党的二十大，班级预开展男、女生知识竞赛，如果每局比赛女生获胜的概率为0.6，男生获胜的概率为0.4，那么采用3局2胜制还是采用5局3胜制，对女生更有利？
左边三组计算3局2胜制时女生获胜的概率
右边三组计算5局3胜制时女生获胜的概率
追问：若采用7局4胜制女生获胜的概率又是多少呢？
追问：我们可以得到哪些结论？
乒乓球计分规则的改变：国际乒联决定从2001年9月1日起将每局21分改为每局11分。
赛制的改变会对中国队带来哪些影响？
（设计意图：比较不同赛制下一方获胜的概率会有怎样的变化，为了节省课堂时间，前3组完成3局2胜制中女生获胜的概率，后3组完成5局3胜制中女生获胜的概率，通过具体数据来验证直觉。通过追问，引发学生思考，并总结出赛制越长对水平高的一方更有力的结论。通过以上实例的讲解让学生体会，数学源于生活又服务于生活。对乒乓球赛制改变的解读，是对本节课所学知识的再应用，让同学们体会到数学可以让我们更理性、更客观、更准确的做出决策。）
（六）课堂小结
1.通过今天这节课的学习我们学习到了什么知识？
2.我们通过什么样的方法构建了二项分布的概率模型？体现了怎样的数学思想？
3.确定一个模型是二项分布的模型的一般步骤是什么？
4.通过本节课的学习我还有哪些收获？
5.你能举出哪些服从二项分布模型的实例？
（设计意图：以问题串的形式引导学生对本节课进行回顾和整理，在掌握知识的同时，更体会数学思想在学习数学中的重要性。梳理如何建立一个新的概率模型的一般方方法，为后续学习奠定良好的基础。）
（七）课后作业
二项分布模型的应用非常的广泛，例如：生产过程中的质量控制和抽样方案，都是以二项分布为基础的；参加某保险人群中发生保险事故的人数；试制药品治愈某种疾病的人数；感染某种病毒的人数等，都可以用二项分布来表述。
请同学们课下选择一个感兴趣的方向，通过查阅资料和收集数据，运用所学知识，给出对某种现象的科学解释或某种决策的合理化建议，并形成文字报告。
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