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视频课题：第十一届全国高中青年数学教师优质课大赛《椭圆及其标准方程》贵州—黄
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第十一届全国高中青年数学教师优质课大赛《椭圆及其标准方程》贵州—黄
椭圆的标准方程（第一课时）
教学设计
贵州省凯里市第一中学 黄文碧
1.内容
本节课是人教A版《普通高中课程标准教科书•数学》选择性必修第一册第三章“圆锥曲线的方程”的第一课时，主要内容是介绍圆锥曲线的历史发展与研究思路以及椭圆的定义及其标准方程的推导．
-
内容解析
圆锥曲线充分体现了解析几何研究方法和数形结合思想，是平面解析几何的重要组成部分.本章将在“直线和圆的方程”基础上，通过问题情境使学生了解圆锥曲线的历史与发展.本章的研究对象是圆锥曲线，研究过程中以数形结合思想和坐标法统领全局；并从代数和几何角度认识圆锥曲线及其性质，在解决问题的过程中感悟平面解析几何中蕴含的数学思想；进而提升学生直观想象、数学运算、数学建模、逻辑推理和数学抽象等数学核心素养.
本节课的教学内容是：了解圆锥曲线的历史与发展，从两个探究活动出发，让学生观察椭圆的几何特征，从而抽象出椭圆的定义并建立平面直角坐标系求椭圆的标准方程.本节课以发展学生数学核心素养为导向，创设问题情境引导学生以独立思考、自主学习、合作交流等多样化的方式开展数学学习.在本课时设计中，以数学史为素材设计系列化的教学活动，以用坐标法研究几何图形的过程和方法为导向，以“问题串”引导学生开展学习与探究.这些问题既有针对整体思路的，也有针对具体内容的；既有针对思想方法、研究策略的，也有操作性的、针对特例或细节的.它们是以椭圆知识的内在逻辑为依据而设置的、自然而然的学习主线，解决了这些问题就可以形成思想内涵丰富的“椭圆与方程”体系.
1.教学目标
（1）通过小组实践探究活动一，观察液面截圆锥瓶所得的截口曲线形状，让学生去感受圆锥曲线名称的由来.通过微课视频了解圆锥曲线的历史发展、圆锥曲线的应用及其研究思路，感受其中蕴含的数学文化.培养学生直观想象、逻辑推理的核心素养.
（2）通过学生动手探究活动二（画椭圆），让学生从具体情境中观察、思考椭圆的几何特征，抽象出椭圆的定义，掌握椭圆的概念.培养学生数学抽象的核心素养.
（3）根据椭圆的定义建立焦点在
轴上的椭圆的标准方程，体验用代数方法研究几何问题的思想方法.引导学生通过类比，得到焦点在
轴的椭圆的标准方程.培养学生数学建模、数学运算的核心素养.
2.目标解析
（1）通过小组实践探究活动一，观察液面截圆锥瓶所得的截口曲线形状，让学生去发现椭圆，抛物线、双曲线可以由平面截圆锥所得，概括圆锥曲线的概念，加深学生的认知印象，让学生体会到生活中处处都有数学的影子，要善于去发现和探究.巧妙整合相关数学史料，采取微课的形式让学生去了解圆锥曲线的历史与发展，了解解析几何诞生的历史必然性、解析几何的核心思想以及它在数学学科中的地位和作用，从而去总结圆锥曲线的研究思路.培养学生直观想象、逻辑推理的核心素养.
（2）通过学生动手探究活动二（画椭圆），借助实物模型，让学生去整体观察、直观感知椭圆的几何特征，通过椭圆的几何特征抽象出椭圆的定义，培养学生发现规律，认识规律并利用规律解决实际问题的能力；通过师生、生生合作学习，增强学生团队协作能力，增强主动与他人合作交流的意识.培养学生数学抽象的核心素养.
（3）从椭圆的几何特征中提炼出椭圆的定义，再从数量关系角度再次定义椭圆，根据解析几何的研究思路，自然引出椭圆方程的建立，并设置悬疑，引发对椭圆上任意一点所满足的数量关系的探索从数量关系角度再次定义椭圆.利用求轨迹方程的方法引导学生去推导焦点在
轴上的椭圆的标准方程，再让学生通过类比自己去归纳焦点在
轴上的椭圆的标准方程.这样的处理给学生提供了探究和交流的机会有利于学生思维能力的提高和学习兴趣的培养.培养学生数学建模、数学运算的核心素养.
三、
学生学情分析
（1）学生已有的认知基础
首先，学生在本册书上一章中学习了研究直线与圆的坐标法，初步具备了运用代数方法研究几何问题的意识，初步感受了数形结合的基本思想，对于在平面直角坐标系下的点坐标及长度公式已掌握，具有一定的空间想象能力、抽象概括能力和推理运算的技能，有较好的学习习惯和方法.
（2）学生存在的难点
解析几何的学习对运算能力的要求颇高，对学生而言，代数运算是主要“拦路虎”之一.探究活动中学生需要自己建立恰当坐标系并推导出方程，该怎样建系？怎样列式？在化简方程
会遇到运算的困难，是直接两边平方？还是移项后再两边平方？为什么要进行
的代换？这些问题都是学生本堂课会遇到的难点，基于这些难点，本堂课将设置一些有效的，循序渐进的“问题串”，让学生通过“思考”，“观察”，“探究”等环节来击破难点.老师设问引导，让学生自主发现问题，解决问题.
确定本节课的教学重点为：圆锥曲线名称的由来以及历史与发展、椭圆的定义、椭圆的标准方程；教学难点为：椭圆标准方程的推导.
四、教学策略分析
（1）教学重点突破策略
通过小组实践探究活动一，液面截圆锥瓶所得的截口曲线形状，让学生去发现椭圆，抛物线、双曲线可以由平面截圆锥所得，概括圆锥曲线的概念，整合相关数学史料，采取微课的形式让学生去了解圆锥曲线的历史与发展，了解解析几何诞生的历史必然性、解析几何的核心思想以及它在数学学科中的地位和作用，从而有方向的去探究圆锥曲线的研究思路.通过学生动手探究活动二（画椭圆），借助实物模型，让学生去整体观察、直观感知椭圆的几何特征，通过椭圆的几何特征归纳出椭圆的定义，培养学生发现规律，认识规律并利用规律解决实际问题的能力；通过师生、生生合作学习，增强学生团队协作能力，增强主动与他人合作交流的意识.由椭圆的定义去推导椭圆的方程，利用求轨迹方程的方法引导学生去推导焦点在
轴上的椭圆的标准方程，再让学生通过类比自己去归纳焦点在
轴上的椭圆的标准方程.这样的处理给学生提供了探究和交流的机会有利于学生思维能力的提高和学习兴趣的培养.
（2）教学难点突破策略
遵循以学生为主体，教师为主导，发展为主旨的教育教学原则，在学生认
知的“最近发展区”设置问题；问题驱动下教师有效引导、学生主动探究、师生共同交流的过程中实现知识的建构和数学思维发展.难点突破方面，本堂课将设置一些有效的，循序渐进的“问题串”来解决本节课所遇到的困难，让学生通过“思考”，“观察”，“探究”等环节来击破难点.老师设问引导，让学生自主发现问题，解决问题.按教科书知识发展过程顺次提出以下问题，以引导学生攻破难点.
-
“椭圆有怎样的几何特征？”“我们该如何利用这些特征来给椭圆下定义？”“如何利用椭圆的几何特征去建立椭圆的方程？”引导学生通过实践去探究椭圆的几何特征，为抽象椭圆的概念、开展后续内容做好准备.
-
“观察椭圆的形状，你认为怎样建立坐标系可能使所得的椭圆方程形式更简单？”引导学生思考如何利用椭圆的几何特征合理建立坐标系.
-
“你能从椭圆的图形中找出
的线段吗？”引导学生思考的几何意义，使学生理解引入
的合理性.
-
“如果焦点在轴上，那么椭圆的标准方程是什么？”引导学生通过类比焦点在轴上的椭圆的标准方程，得到椭圆焦点在轴上的标准方程.
-
课后思考：“椭圆定义是怎样产生的？”给予学生提示，引发学生的好奇，拓展知识，开阔眼界，让学生学会查阅资料，激发学生自主学习探究的精神，渗透数学家追求完美的理性精神.
实践探究一（生活小实验）
准备一个圆锥形的瓶子，做一个实验，观察实验现象，随着倾斜程度的不同，从上往下看，图中液面的截口曲线会呈现出什么形状？
【教师】同学们，每个小组的桌上都有一个装着红色墨水的瓶子，大家先观察这个瓶子像什么几何体？
【学生】圆锥.
【教师】将瓶子水瓶放置，同学们观察液面的截口曲线（液面与瓶子侧面的交线）是什么形状的？
【学生】是圆.
【教师】现在我们将瓶子微微倾斜，随着倾斜角度的不同，同学们还能观察到液面的截口曲线呈现什么形状呢？（小组合作探究，进行小组汇报）
【小组1汇报】我们将瓶子微微倾斜，发现截口曲线是椭圆；再继续倾斜，发现截口曲线有点像初中学过的抛物线.
【教师】哪个小组还有不同的发现吗？（观察学生是否能发现双曲线）
【小组2汇报】将两个锥形瓶的瓶盖凑在一块，水平放置锥形瓶，发现截口曲线左边有一支，右边有一支.（同学们通过事先预习也许会说出双曲线，教师进行引导发现）
这里学生很容易观察出圆和椭圆,部分小组可以观察出抛物线和双曲线，但是学生对抛物线和双曲线的形成和位置的判别还比较模糊.进而教师进行深入讲解.
通过刚才的实验观察我们发现圆、椭圆、抛物线、双曲线都可以由平面截圆
锥所得，那该怎样截才能得到以上图形呢？接下来教师给学生展示：当平面与圆锥的轴的夹角
变化（其中截面不过顶点）时，截口曲线的变化情况
（1）当截面与圆锥的轴垂直时，截口曲线是一个圆．
（2）备注：
为圆锥的轴与母线的夹角，
为截面与圆锥的轴产生的夹角.
人们通常把椭圆、抛物线、双曲线统称为
圆锥曲线，这就是本书第三章要研究的内容.
【
设计意图】通过小组实践探究，观察液面截圆锥瓶所得的截口曲线形状，让学生去发现椭圆，抛物线、双曲线可以由平面截圆锥所得，加深学生的认知印象，提升学生直观想象的核心素养.让学生体会到生活中处处都有数学的影子，要善于去发现和探究.
【教师】生活中有哪些圆锥曲线的例子呢?（PPT放一些生活中的图片）
【
设计意图】使学生对圆锥曲线有一个感性的认识，明白生活中有许多数学问题，数学来源于生活，应用于生活，培养学生用数学的眼光去观察周围事物的能力，激发学生课堂上的学习兴趣.
同学们想知道圆锥曲线最初是怎么发现的吗？那我们就通过一段视频来了解一下圆锥曲线的发展史吧（教师课前剪辑好讲解圆锥曲线发展史的微课视频）.
圆锥曲线的发现与研究始于古希腊，当时人们用纯几何的方法去研究这些与圆密切相关的曲线，它们的几何性质是圆的几何性质的自然推广.当时比较具有代表性的人物有阿波罗尼奥斯，其比较有代表性的著作是《圆锥曲线论》.
17世纪，法国数学家笛卡尔发明了坐标系，开创了解析几何思想方法的先河.人们开始借助坐标系，运用代数方法来研究圆锥曲线.采用坐标法研究圆锥曲线的好处是可以程序化地，精确的进行计算，使几何问题的求解或求证能通过坐标转化为代数方程来求解.解析几何的创立，沟通了数学内部数与形、代数与几何量大学科的联系.
【
设计意图】介绍圆锥曲线的历史发展，让学生欣赏与感受古希腊数学家的智慧，通过对笛卡尔的介绍，使学生了解解析几何诞生的历史必然性、解析几何的核心思想以及它在数学学科中的地位和作用.借助微课视频，不仅可以让学习氛围更生动，也可以让课堂在时间的使用上更高效.
【教师】笛卡尔发明了坐标系后，人们就开始用坐标法（解析几何的思想）去研究圆锥曲线了，用坐标法研究曲线的具体思路是什么呢？（学生回顾第二章的学习思路，抽生回答）
【学生1】研究曲线的定义，建立曲线的方程.
【教师】引导学生多元化的回答，让学生不断地补充完善问题的答案.
【学生2】通过方程去研究曲线的性质，最后应用.
【教师】点评学生的回答，将其进行汇总，总结出圆锥曲线的研究思路.
【
设计意图】学生在本册书上一章中学习了研究直线与圆的坐标法，初步具备了运用代数方法研究几何问题的意识，初步感受了数形结合的基本思想.通过实践探究和微课视频，学生已经对圆锥曲线有了一定的体悟，为提升学生逻辑推理的核心素养，让学生去思考总结学习圆锥曲线的研究思路，为下一步探究椭圆做准备，用思路与方法去指导学生学习.
实践探究二(画椭圆，总结几何特征）
本章我们继续采用上一章中研究直线与圆所用的坐标法，在探索圆锥曲线几何特征的基础上，建立它们的方程，通过方程研究它们的简单性质，进一步感受数形结合的基本思想.
【教师】有一根定长的细绳，如果将绳子的两端固定在一个定点上，用笔拉紧绳子，移动笔尖，可以画出什么图形？
【学生】可以画出一个圆.
【教师】如果现在我们将绳子的两端固定在两个定点上，用笔拉紧绳子，移动笔尖，又可以作出什么图形呢？同学们小组合作画一下，在画图的过程中思考，笔尖（动点）满足什么几何特征？
学生完成后，上台展示自己完成的作品，并说出自己在画图过程中的感受与观察到的几何特征.
【教师】这三个椭圆，给我们最直观的感受，区别在哪儿?
【学生】大小不一样，有的圆，有的扁.
【教师】你觉得椭圆的扁平程度与什么有关?
【学生】两定点间的距离，绳长．
【教师】请上来展示的小组给我们介绍一下你们在画图过程中有什么感受与发现?
【小组汇报1】除了第一组的发现，我们还发现了绳子的长度不一样画的椭圆大小、圆扁程度不一样.(设想学生的回答）
【小组汇报2】在画的过程中要使得绳子绷直，我们发现笔尖移动的时候，它到两个定点的距离之和始终是绳子的长度.(设想学生的回答）
【小组汇报3】除了第一组的发现，我们还发现了绳子的长度大于两个定点的距离.(设想学生的回答）
【教师】对学生的表现进行及时评价，并对椭圆的几何特征进行总结.
几何特征1移动的笔尖（动点）到两个定点的距离的和等于绳长（定长）.
几何特征2绳长（定长）大于两定点的距离.
【教师】提出思考
思考1：如果细绳长度等于
，动点的轨迹还是椭圆吗？判断并作出解释.
思考2：如果细绳长度小于，动点的轨迹还是椭圆吗？判断并作出解释.
学生进行思考，可以利用画板再次去尝试.
【学生】绳长等于
，画出的图形是线段
；小于
时，画不出任何图形．
【教师】能给同学们解释一下原因吗？（让学生上台展示）
【学生】绳长等于
，直线是绷直的状态，动点只能在线段之间移动，画出的图形是线段
；小于
时，线是断开的，画不出任何图形.
【教师】对学生的表现进行及时评价，根据以上的探究观察，同学们能总结出椭圆的定义吗？
（学生归纳，互相补充，教师再汇总．）
椭圆的定义：平面内与两个定点
的距离的和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆，两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
数学表达式：
（学生在归纳定义时很容易漏掉
）,教师给予重点提示.
【教师】大家一定要注意
这个条件，不能少.
【
设计意图】学生以小组为单位相互配合，一边动手操作，一边动手记录，让学生在实践中去学习数学，通过画椭圆，经历知识的形成过程，去感受并总结出动点满足的几何特征，让他们通过观察、讨论、概括出椭圆的定义，培养学生发现规律，认识规律，总结规律的习惯，提升学生数学抽象的核心素养.在课堂上，使学生成为学习的主人.
【教师】遵循圆锥曲线的研究思路，有了椭圆的定义之后，我们要对椭圆就行研究，下一步应该研究什么呢？
【学生】推导椭圆的方程.
【教师】同学们回顾一下上一章，求曲线方程有哪些步骤呢？
【学生】①建系、②设点、③列式、④化简.
教师总结：
第一步（建系）：根据曲线的几何特征建立适当的坐标系；
第二步（设点）：写出曲线上点的坐标；
第三步（列式）：明确曲线上点满足的几何条件，将几何条件转化为代数式；
第四步（化简）：化简并检验方程.
【教师】接下来进行第一步，建立平面直角坐标系，我们知道坐标系选取不同会造成方程形式的不同，如何选取坐标系才能使所求方程最简单呢？
思考：椭圆有几条对称轴？几个对称中心呢？
【学生】椭圆有两条对称轴，一条是焦点
所在的直线，一条是焦点
的垂直平分线，这两条对称轴的交点就是椭圆的对称中心.
【教师】由经验可知，以椭圆的两条对称轴为坐标轴，对称中心为坐标原点来建立平面直角坐标系，这样算出来的方程形式最简洁（如图所示）.
【
设计意图】通过复习旧知，引导学生明确思维方向，进一步熟悉用坐标法求动点轨迹方程的方法，感受数学图象的对称美、简洁美.
【教师】接下来进行第二步和第三步，设点与列式.
设焦距为
，则
．设
为椭圆上任意一点，
动点
满足的几何约束条件
坐标化为：
【教师】第四步，化简方程.
化简：化简椭圆方程是本节课的难点，突破难点的方法是引导学生思考如何去根号.首先由学生自主化简，教师观察进行指导，让学生上台展示自己的化简思路，才能发现问题，解决问题.
可能存在的问题分析：部分学生会不假思索的直接进行平方，化解两步后，发现运算量太大，以至于没有算下去的信心.
【教师】投屏展示直接平方的同学的计算例子，让他们说说自己的化简思路和遇到的困难与困惑.寻求更优的化简思路.
【学生】
我发现将其中一个根号移项至另外一边再进行平方，这样化简会简单一点.
【教师】投屏展示移项后再平方的同学的计算例子，让学生对化简思路进行讲解.
【学生】移项后两次平方法
两边同时平方、整理得：
将上式两边再平方、整理得：
【
设计意图】该环节对运算能力的要求颇高，学生会遇到运算的困难，是直接两边平方？还是移项后再两边平方？先让学生自己尝试，发现问题，通过交流，解决问题，使学生掌握含根号等式化简的方法与技巧，提高学生的计算能力，养成不怕困难的钻研精神,促进学生数学建模、数学运算核心素养的提升.
【教师】同学们认为
是我们化简的最简形式了吗？教师引导学生观察图形，在椭圆的图形中去发现
所对应的线段长，找出它们之间的关系
，让学生了解
的几何含义，最终令
，让椭圆的标准方程达到最简
。
【
设计意图】说明
的几何意义，进一步解释引进
的好处，让学生体会解析几何数形结合的思想，感受数学方程的简洁美。
思考3：焦点在
轴上时，椭圆的标准方程是什么？
（由学生动手列式，
，引导学生观察焦点在
轴上与焦点在
轴上式子的差异，从而用类比的方法得到焦点在
轴上椭圆的标准方程）如果椭圆的焦点在
轴上，其焦点坐标为
，
，用同样的方法可以推出它的标准方程
.
【
设计意图】通过两种方程，进行对比反思，培养学生类比的思维能力，加深对椭圆的定义和标准方程的理解.
【教师】同学们观察椭圆的标准方程，它有什么特征呢？
【学生1】方程的由表都是1，分子是
，
；分母是
，
.
【学生2】
中
是最大的，
在谁的分母上，焦点就在哪条轴上.
（六）学以致用，典例分析
例1.判断下列椭圆的方程焦点在哪条轴上？焦点坐标是多少？
1.
2.
答案：1.
轴，焦点坐标是
，
；2.
轴，焦点坐标是
，
.
【
设计意图】考查学生对椭圆标准方程的理解程度，加深对椭圆标准方程的理解.
例2.已知椭圆的两个焦点坐标分别是
，
，并且经过点
，求椭圆的标准方程.
解：
方法一：由于椭圆的焦点在
轴上，所以设它的标准方程为
.
由椭圆的定义知
，则
，
所以
，
，所以椭圆的标准方程为
.
方法二：由于椭圆的焦点在
轴上，所以设它的标准方程为
.由椭圆的定义知
，则
，解得
，所以椭圆的标准方程为
.
【
设计意图】通过练习使学生进一步理解椭圆的定义，掌握标准方程，使知识内化为素养，并在解题过程中感受解析几何的思想，使数学概念在应用中得以巩固.
（七）课堂小结
【教师】哪个小组的同学来给我们归纳总结一下这一堂课所学的知识？谈谈你的感受呢？
【学生1】我们了解了圆锥曲线的由来，起源与发展.
【学生2】学会了怎样去画一个椭圆，了解了椭圆的定义，推导了椭圆的方程.
【教师】定义中的一些关键词，大家一定要去注意.
1.了解了圆锥曲线的起源与发展.
2.椭圆的定义：
平面内与
两个定点
的
距离的和等于
常数（大于
）的点的轨迹叫做椭圆，两个定点
叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
数学表达式：
3.学习了椭圆的标准方程
【教师】留一个课后思考给大家，椭圆定义是怎样产生的呢？.
（八）课后思考：椭圆定义是怎样产生的？（学生自行查阅资料了解）
提示：事实上在19世纪，法国数学家旦德林就想到一种绝妙的方法证明了这个问题．他是怎么做的呢？这个证明方法叫Dandelin双球证法，
【
设计意图】给予学生提示，引发学生的好奇，拓展知识，开阔眼界，让学生学会查阅资料，激发学生自主学习的精神，渗透数学家追求完美的理性精神．
（九）作业布置
1.
课后思考：椭圆定义是怎样产生的？
提示：旦德林双球，学生可以查资料进行学习.
2.复习椭圆标准方程的推导过程.
3.课本第109页练习题1、2.
（十）板书设计
椭圆的标准方程(一）
注明：①若 ，则点的轨迹不存在；
 ②若 ，则轨迹为线段 . |
三、椭圆的标准方程
焦点在 轴上时，
焦点在轴上时，
学生板演 |
六、教学反思
1.本堂课设计了系列化的数学活动，设置了两个小组实践探究、动手操作环节，小组实践探究一，观察液面截圆锥瓶所得的截口曲线形状，让学生去发现椭圆，抛物线、双曲线可以由平面截圆锥所得.通过活动，提升学生直观想象、逻辑推理的核心素养，让学生了解圆锥曲线名称的由来，让学生感受到数学来源于生活，应用于生活，要学会用数学的眼光去观察、去发现.小组探究活动二（画椭圆），让学生在画椭圆的过程中去观察、感知椭圆的几何特征，并通过椭圆的几何特征抽象出椭圆的定义，培养学生发现规律，认识规律，总结规律的习惯.促进学生数学抽象核心素养的提升.这两处教学实践探究的设置，做到了让学生动起来，体现了学生的主体地位，把“教思考、教体验、教表达”的教学理念落到了实处.
2.本堂课是圆锥曲线的第一课时，课程内容量大，在介绍圆锥曲线的由来、历史与发展的过程中，借助微课视频，不仅可以激发学生学习圆锥曲线的兴趣，让学习氛围更生动，也可以让课堂在时间的使用上更高效。学生通过实践探究和微课视频了解圆锥曲线的由来、历史与发展，在本册书上一章中初步具备了运用代数方法研究几何问题的意识，基于这些背景，可以促使学生去思考总结圆锥曲线的研究思路，为下一步探究椭圆做准备，用思路与方法去指导学生学习.
3.本堂课的教学难点是椭圆标准方程的推导，课堂中设置了一些有效的，循序渐进的“问题串”来解决本堂课所遇到的困难，让学生通过“思考”，“观察”，“探究”等环节来击破难点.老师设问引导，让学生自主发现问题，解决问题，再质疑提出问题，由同学之间相互研讨解决问题,让学生成为学习的主人，在实践中去体悟，使学生的理性思维不断走向成熟.该环节对运算能力的要求颇高，学生会遇到运算的困难，先让学生自己尝试，发现问题，通过交流，解决问题，使学生掌握含根号等式化简的方法与技巧，提高学生的计算能力，养成不怕困难的钻研精神,促进学生数学建模、数学运算核心素养的提升.这堂课中，真正实现了师生之间、组内生生之间的有效合作学习，但如果在组与组的合作交流上能行动起来，效果会更好。
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