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视频课题：第十一届全国高中青年数学教师优质课大赛《空间中点、直线和平面的向量表示》河南—赵
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第十一届全国高中青年数学教师优质课大赛《空间中点、直线和平面的向量表示》河南—赵
2022年全国高中数学优秀课教学设计
§1.4.1 空间中点、直线和平面的向量表示
一、教学内容和内容解析
（一）内容
空间中点、直线和平面的向量表示，以及平面法向量的概念和求法．
（二）内容解析
本节课是本章第4节的第一课时，本章的第4节空间向量的应用，是在学习了空间向量及其运算、空间向量基本定理以及空间向量及其运算的坐标表示之后，再利用空间向量集中、具体地解决立体几何的问题．前面的学习比较分散，随学随用、学以致用，同时在解决立体几何问题中巩固空间向量的知识，而本节内容，让学生进一步集中体会用向量解决立体几何问题的思想和方法．作为本节的第一课时《空间中点、直线和平面的向量表示》，可以说是起着承上启下的作用，既充分运用了前面所学知识，来对空间基本元素的向量表示进行探究，又是本节的第2-6课时所研究内容的重要理论基础．因此，学好本节课，至关重要．
基于以上分析，确定本节课的教学重点是：利用向量集方向和大小于一身的特性，利用共线定理以及平面向量基本定理的内容，推导点、直线和平面的向量表示；类比直线的方向向量的概念，探索平面的法向量的概念，并能够在具体问题中求得平面的法向量．
1.能利用共线定理、平面向量基本定理等内容，探究点、直线和平面的向量表示，并建立立体图形与空间向量的联系；理解直线的方向向量和平面的法向量，掌握平面法向量的求解方法；
2.通过经历问题的探究过程，体会其中的研究方法，从而把握问题的本质；感悟此过程中所体现的转化与化归等数学思想；
3.通过提出问题、分析问题和解决问题的过程，提升数学抽象、逻辑推理、直观想象等核心素养．
（二）目标解析
达成上述目标的标志是：
1.学生通过长方体这个载体，直观想象、抽象归纳出点的位置向量，并明确用点的位置向量来表示点的意义．
2.学生能够通过抓住“点的位置向量”这条主线，突破“直线的向量表示”这个难点，从而自主探究得出“平面的向量表示”方法；通过“陀螺的轴和圆盘平面始终保持垂直关系”的实例，抽象出“平面法向量”的概念，并理解法向量的作用及意义．
3.学生能够体会从“点、直线和平面的位置关系”是如何转化为“向量的位置关系”的，以及从“向量的位置关系”又是如何转化为“向量的数量运算”的过程中所体现出来的转化与化归思想．
本节课的教学对象是高二学生.学生在本节课之前已经具备的认知基础有：
1.平面向量的概念、运算，平面向量基本定理及坐标表示；
2.空间向量的概念、运算，空间向量基本定理及坐标表示；
3.立体几何初步的相关知识．
虽然学生有平面向量在平面几何中的应用以及空间向量解决简单立体几何问题的基础和经验，但由于他们对空间立体几何中引进空间向量的意图还不够明确，对“向量法”在具体解决立体几何问题时的整体思路的把握还不够熟练，导致他们对空间向量的认识还是很分散的，不够系统的．因而他们对于如何借助向量来表示空间几何体还是有很大困难的，更难理解如何用向量表示式来表示点线面了．考虑到学生已有用“任意一个”来代替所有对象的数学经验，教学时可在教师的提示下让学生充分理解“表示直线（平面）就是表示直线（平面）上的任意一点”，将问题转化为探索直线或平面上任意一点P的位置向量所需满足的条件，从而得到线面的向量表示式．
对于平面法向量的概念，学生通过陀螺旋转过程中，陀螺的轴和圆盘平面始终保持垂直关系，能够抽象出刻画平面方向的向量——法向量，从而经历借助法向量表示平面的探究过程，此过程有前面的向量表示做基础，对于学生来说，并不是难点．但是非特殊平面的法向量的求法，对于学生来说是一个新的知识内容，教学时需要引导学生利用已有的知识经验，一步一步地分析问题从而解决问题．
（二）教学重、难点
重点：点、直线和平面的向量表示，以及平面法向量的求法．
难点：点、直线和平面的向量表示的探究过程．
（三）难点突破策略
通过问题引导，让学生经历“痛苦”的思考过程，使学生逐步发现为什么“向量可以代替点、直线和平面”，“如何借助向量来表示点、直线和平面”，继而通过抓主线——点的位置向量，转化、类比，最后得到正确的结论．
1.学生对“用向量表示点、直线和平面”中“表示”一词，难以理解．
2.学生可以通过探究初步认识到“如何借助向量和定点确定一条直线和一个平面”，但对于“如何把直线和平面表示成一个向量关系式”，学生可能还会有些困惑．
（二）教学策略
1.通过以长方体为载体，建立学生熟悉的立体空间场景，减少学生的畏难情绪，此外，将所有的探究都在同一个场景下进行，一线贯穿，减少无效劳动，集中学生的注意力，使他们专注于主要问题的讨论．
2.通过引导学生抓主线——点的位置向量，即直线所对应的向量其实就是直线上任意一点的位置向量，平面所对应的向量就是平面内任意一点的位置向量，使学生对直线和平面的向量表示的探究层层递进，并得出相应的向量表示式．
五、教学过程设计
（一）引导语：本节课我们共同学习《空间中点、直线和平面的向量表示》，关于向量，前面我们也学过一些知识，也解决过一些问题，也体验到了它的一些优越性，比如像线面垂直的判定定理，如果一条直线垂直于平面内的两条相交直线，那么它就垂直于这个平面．这个定理的证明，如果用综合几何法是非常麻烦的，书写下来大概需要一两页，但用了向量法就很简单，短短几行就得出了结论．然而，向量法的优越性，我们看到的也只是一点点．其实，运用向量法可以解决空间几何中的所有问题．
那同学们想一下，立体几何，都有哪些问题？(学生答)
立体几何问题无非是位置关系与度量计算，如果我们要把这些问题交给向量来解决，关键是什么呢？
空间中所有几何体都是由点线面组成的，只要用向量表示了点、线、面，那么也就可以表示所有几何体了，从而将立体几何问题转化为向量运算问题，那到底该怎么表示呢？
【设计意图】此段引导语体现三个方面的内容：1.前面我们学习过向量的相关知识，并从简单的应用过程中体会到了向量法的一些优越性；2.我们想用向量来解决什么样的立体几何问题；3.向量法解决立体几何问题的关键是什么．突出研究目的，构建知识框架，明确研究目标．
（二）新知探究
探究一：如何用向量表示空间中的一个点？
问题引入：用哪个向量表示点
？
师生活动：通过观察和问题的提出，引导学生思考如何将一个向量和一个点建立起关系，从而想到“还需再找一个起点，比如点
”的办法．
追问1：什么是“表示”？
追问2：若还有一个向量
，满足条件
，那么点
在哪？
追问3：非得用点
作为起点吗，如果用空间中的任意一点
作为基点，点
的位置向量是谁，谁来表示点
？
学生活动：学生很容易发现点
和点
重合，也就是说
唯一确定点
；如果用空间中的任意一点
作为基点，点
的位置向量为
，此时点
被向量
所表示．
【设计意图】开门见山地提出“用哪个向量表示点
”的问题，首先使学生明确“表示”就是“代替”；其次引导学生思考为什么向量
可以表示点
；最后得出“一个点就是用它的位置向量来表示”的结论．
探究二：如何用向量表示空间中的一条直线？
问题引入：用哪个向量表示直线
？
师生活动：首先，教师依然提醒学生“表示”就是“代替”；其次，表示的是谁？（直线
）所以，要先把直线
的位置确定下来（一个点
和一个方向向量
唯一确定直线
）；再次，如何借助向量
和定点
来表示直线
上任意一点
的位置向量（
）；最后，深入剖析为什么能够这样表示（
⟺
∥
⟺
）．
追问：非得用点
做基点吗？如果用空间中任意一点
作为基点，又该如何表示直线
上任意一点
的位置向量？
师生活动：教师引导学生从位置关系
∥
出发，虽然此时点
的位置向量
并不与方向向量
平行，但我们可以将
转化为
来表示，于是得到直线的向量表示式
.
追问：有时候我们也把上式写为：
，大家能看懂吗？什么意思呢？此时点
在哪？
师生活动：同学们研究发现，此时的点
在直线上．教师提醒，有些时候，我们可以根据题目条件直接选取直线上的向量作为它的方向向量，之后表示直线去参加运算．
【设计意图】以问题串的形式，引导学生逐步探索，层层递进，直到获得问题的本质．通过引导学生有逻辑的思考，培养其逻辑推理的能力．
探究三：如何用向量表示空间中的一个平面？
1.问题引入：如何用向量表示平面
？
师生活动：教师引导，学生发现还用点
和方向向量
不能唯一确定平面
，想要唯一确定平面
，还需添加什么条件？（再添加一个不与向量
共线的向量，比如向量
）为了表示的方便，令
．
追问：如何借助点
以及两个不共线的向量
和
来表示平面
？
学生活动：根据已有的知识和经验，自主探究平面的向量表示式．
学生展示：教师随机拍取一位同学的研究成果，并让此同学描述研究过程．
师生活动：根据学生的展示，教师将此研究过程具体展开以“一问一答”的形式进行详细的讲解（
⟺
，
共面⟺
）．
追问：非得用点
做基点吗？如果用空间中任意一点
作为基点，又该如何表示平面
上任意一点
的位置向量？
师生活动：教师引导学生类比直线的向量表示，得出
，从而得到
．
追问：有时候，我们也把上式写为：
，大家能看懂吗？什么意思呢？点
和点
在哪？
师生活动：根据前面的经验，学生可以很快发现
此式的意义所在，即在有些题目中，通常用平面内的两个不共线的向量来确定此平面，有时是很方便的．
【设计意图】在学生已经掌握了点和直线的向量表示的基础上，引导学生运用类比的手段进行自主探究．通过动手操作，给出平面的向量表示式的猜想．学生可以得出
，但对于这个式子为何可以成为平面的向量表示式还会有疑虑．通过追问（什么样的向量才满足此式？为什么会共面？反之，是否成立？），逐步打消他们的疑惑，以使学生确认此表示式的正确性．从而使学生进一步体会几何问题向代数运算的转化过程，体会直观感知、操作确认、思辨论证的研究问题一般过程，发展直观想象和逻辑推理的核心素养．
2.问题引入：请同学们对比
与
，哪个更为简洁？能否也只借助一个点和一个向量来表示一个平面呢？
师生活动：大部分学生都会在平面内去找可以表示平面的那个向量，但很快又都发现平面内的哪一个向量都不能唯一确定这个平面，所以教师引导学生跳出这个平面去寻找．
通过陀螺的轴与陀螺圆盘始终保持垂直关系的实例，让学生直观想象可以刻画平面方向的向量应该是一个什么样的向量，从而引出“法向量”的概念．
追问：在长方体情境下，平面
的法向量都有谁？只给出平面的一个法向量是否可以将这个平面唯一确定？
师生活动：教师引导，学生发现平面的法向量不唯一，只有平面的一个法向量无法唯一确定这个平面，还需再加一个定点．于是点
和法向量
（令
）就唯一确定了平面
．
追问：如何借助点
和法向量
来表示平面
？
学生活动：点
为基点，向量
为点
的位置向量，根据法向量的定义可知，
，从而得到
，即平面可以用集合
来刻画．
师生活动：教师与学生共同总结平面的两种向量表示方法．并对点线面的向量表示进行简单系统的整理．
【设计意图】实例引出“法向量”的概念，培养学生数学抽象的核心素养．由法向量的定义，学生可以自主探究得出垂直关系，继而得到数量积为零的运算关系，使学生再次体会转化的数学思想．
（三）例题分析，巩固新知
例 如图，在长方体
中，
，
是
的中点.以
为原点，
所在直线分别为
轴、y轴、
轴,建立如图所示的空间直角坐标系．
-
求长方体六个面的法向量；
-
求平面
的法向量．
师生活动：教师引导学生说出第（1）问中平面
的法向量的坐标
．
追问：还可以写成其它的坐标来表示平面
的法向量吗？如果可以，哪个更好？
师生活动：根据教师的问题，学生经过思考，发现写为
更为简练．
学生活动：请同学们自主完成长方体其余几个面的法向量的坐标表示，并思考为什么要选择更为简练的结果？
师生活动：此题第（2）问中平面
的法向量，并不像第（1）问中平面的法向量那么容易得出，教师引导学生从法向量的定义出发，找到向量的垂直关系，向量的垂直关系再转化为向量的数量积运算，从而利用待定系数法求出法向量．教师根据学生回答，写出主要步骤，之后在PPT中给出完整解题步骤，并和同学们一起进行解题步骤的归纳总结．
【设计意图】此题使学生初步体会平面的法向量的求法，对于简单易找的，如何做；对于不能直接找出的，如何求.掌握解题方法和解题的一般步骤．
变式训练 如图，在长方体
中，
，
是
的中点.以
为原点，
所在直线分别为
轴、y轴、
轴,建立如图所示的空间直角坐标系.求平面
的法向量．
学生活动：学生独自完成此变式．
学生展示：教师利用希沃Link将其中两位同学的解题过程传送到大屏幕，通过对比，发现两位同学所选的平面内的向量不完全相同，但并不影响结果，从而说明平面
可以由向量
中的任意两个来表示．
【设计意图】通过例题教学以及变式训练，使学生掌握求平面法向量的一种具体方法，结合题目的分析过程，培养学生的逻辑推理能力，并且进一步学会独立思考与归纳总结．
（四）课堂小结
师生活动：教师引导学生从以下三个方面对本节课进行小结：知识内容，研究方法和数学思想．具体来说，知识内容方面：点线面的向量表示以及如何得到的这些向量表示式；研究方法方面：从始至终抓住了一条主线——点的位置向量；思想方法方面：本节课主要运用了转化与化归的数学思想，具体体现在点线面的位置关系转化为向量的位置关系，向量的位置关系转化为向量的运算关系，也就是几何问题转化为代数运算来解决，使得原本复杂的问题变得简单，原来不能解决的问题可以解决．今后同学们遇到貌似不能解决的问题或是无法逾越的困难时，想一想转化思想，换一个角度，多一个视角，或许能够柳暗花明！
【设计意图】通过小结，梳理本节课所学的知识，并回顾本节课的学习过程，进一步体会转化与化归的数学思想，培养学生对学习内容的反思意识和习惯，帮助学生在更广的范围内把所学的知识系统化、结构化，并掌握相应的学习方法．最后，让学生感受“数学来源于生活，又服务于生活”，提高利用数学解决实际问题的能力，让生活数学化．
（五）作业布置
【必做题】第41页 习题1.4 第1、2题
【选做题】第42页 习题1.4 第3、4题
【设计意图】通过分层作业的布置，使学生清楚，哪些是必须做到的，哪些是需要努力去做到的，从而使本节课所学知识得以巩固和运用．
视频来源：优质课网 www.youzhik.com
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