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视频课题：第十一届全国高中青年数学教师优质课大赛《函数的零点与方程的解》河南—范娟—设计—
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第十一届全国高中青年数学教师优质课大赛《函数的零点与方程的解》河南—范娟—设计—
教学设计：4.5.1 函数的零点与方程的解
郑州外国语学校 范娟
一、内容和内容解析
（一）内容
函数零点的概念和函数零点存在定理．
（二）内容解析
本节课选自人教A版(2019年)高中数学必修第一册第4章第5节《函数的应用（二）》的第一课时，前期学生们已经学习了用二次函数的观点认识一元二次方程，初步具备函数与方程的思想，在此基础上探究用函数的观点解决不能用公式求解的方程的实数解的问题，具有承前启后的作用．
本节课首先复习一元二次方程的实数根与相应二次函数的零点的关系，然后求三个具体方程的实数解，把它们的实数解叫做相应函数的零点．由这三个具体函数的零点的概念引入一般函数的零点的概念．接下来从具体的存在零点的二次函数入手，分析得到函数零点附近的图象“穿过” 轴并用函数零点附近的函数值的符号刻画这种关系．再让学生画出几个存在零点的函数的图象，观察函数零点所在区间以及这一区间内函数图象与 轴的关系，探究用函数的取值刻画这种关系的方法，进一步思考满足这种特征的函数是否存在零点，从而总结出函数零点存在定理．这种由特殊到一般的过程便于学生接受，有利于培养学生数学抽象和直观想象的核心素养．最后通过例题及其变式加强学生对定理的理解与应用，提高学生分析问题，解决问题的能力．
本节课着重突出函数的核心地位，注重用函数的特征来判定方程实数解的存在，体现用函数的观点研究方程实数解的基本方法，让学生在函数零点存在定理的探究过程以及定理的应用中感悟函数与方程的思想，化归与转化的思想，数形结合的思想，帮助学生通过直观想象进一步领悟函数的本质，提升学生的逻辑思维能力．
基于以上分析，将本节的重点定为函数零点与方程实数解的关系，函数零点存在定理及其应用，难点定为函数零点存在定理的理解．
二、学习目标设置
（一）《普通高中数学课程标准》中关于本节课的相关要求：
结合学过的函数图象，了解函数零点的概念；结合具体的连续函数及其图象的特点，了解函数零点存在定理．
从认知角度分解课标：
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认知水平
了解
过程与方法
类比，转化，特殊到一般，归纳总结
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学科内涵
在学习了用二次函数的观点认识一元二次方程的基础上，得到一般函数的零点的概念，探究出函数零点存在定理并对定理进行初步应用．
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从能力层次分解课标：
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类比一元二次方程的实数根与相应二次函数的零点的关系得到一般函数的零点的概念，将方程实数解的问题转化为相应函数零点的问题.
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（二）根据《普通高中数学课程标准》及学生的情况，确定本节课的学习目标为：
（1）类比二次函数零点的概念，了解一般函数零点的概念．
（2）了解“方程 有实数解”、“函数 有零点”、“函数 的图象与 轴有公共点”之间的转化关系．
（3）通过由特殊到一般的过程探究并理解函数零点存在定理，应用函数零点存在定理解决问题．
（4）让学生体会函数与方程的思想，化归与转化的思想，数形结合的思想．
（5）提升学生数学抽象，直观想象和逻辑推理的核心素养．
（三）依据本节课的学习目标及“教评学一致性”的思想，设计了如下评价任务：
评价任务一：类比一元二次方程的实数根与相应二次函数的零点的关系，由具体到抽象得出一般函数的零点的概念．
评价任务二：引导学生思考发现“方程 有实数解”、“函数 有零点”、“函数 的图象与 轴有公共点”之间的转化关系．
评价任务三：在学生回答探究1至探究3的问题时，关注学生表述是否精准，作图是否规范，总结是否全面，不足之处及时纠正．
评价任务四：从特殊的函数到一般的函数，经历“类比—归纳—辨析—总结”的过程，通过自主探究和合作交流，感悟从具体到抽象的研究过程，理解函数零点存在定理．
评价任务五：在对函数零点存在定理的内容的辨析过程中，通过独立思考，提升学生的逻辑推理能力．
评价任务六：设计例题及其变式，通过本节课的学习，使学生初步掌握求不同类型的函数零点的方法，会用数形结合的思想和函数零点存在定理解决函数零点的问题．
三、学生学情分析
对于高一的学生来说，在知识方面他们已经学习了二次函数零点的概念，对基本初等函数的图象和性质有了较深的认识和理解，在情感方面他们具有强烈的求知欲和积极探索的精神．这些为本节课的学习做了很好的铺垫，但他们的观察能力和分析归纳能力还不是很全面，逻辑不够严谨，因此在函数零点存在定理的探究中会遇到一些困难．为了克服这些困难，在教学过程中我从学生的认知规律出发，环环紧扣提出问题引导学生积极思考，让学生主动参与到课堂中，自主探究总结出函数零点存在定理，进一步提升学生发现问题、分析问题、解决问题的能力，激发学生学习的热情．
四、教学策略分析
本节课主要采用以学生为主体的启发探究式教学方法，按照“概念—定理—应用”的线
索展开课堂教学．
首先，类比二次函数零点的概念，得出一般函数零点的概念．接下来通过问题“方程 有实数解吗？”得到“方程 有实数解，就是函数 有零点，也就是函数 的图象与 轴有公共点”的结论，从具体到抽象，利于学生把握函数零点的本质．
其次，在函数零点存在定理的探究过程中，引导学生认真思考，仔细分析．在对具体的存在零点的二次函数的研究中，学生可以观察出“函数的图象与 轴相交”，用函数取值刻画就是“零点两侧端点的函数值异号”，这是一个数形结合，将形转化为数的过程．再让学生画几个存在零点的函数的图象，观察特征，得出一般性结论．进一步引导学生思考函数满足“两侧端点的函数值异号”时是否有零点，经过小组合作探究出函数零点存在定理，然后对函数零点的个数做初步的研究，让学生了解定理中的两个条件是充分不必要的．
最后，在知识的应用中，引导学生探究求不同类型的函数零点的方法，问题的设置从简单到复杂，层层递进．再根据函数零点存在定理及函数的单调性判断函数零点的个数，探究解法的多样性．
五、教学过程设计
（一）新知引入
我们学习了用二次函数的观点认识一元二次方程，知道一元二次方程的实数根就是相应二次函数的零点，请同学们完成以下表格：
【学习评价】回忆旧知，得到新知，关注学生类比的能力．
【设计意图】通过回忆一元二次方程的实数根与相应二次函数零点的关系，类比得到三个具体函数零点的概念，为得出一般函数零点的概念做铺垫．使学生利用已有知识与经验，同化和索引出当前学习的新知识，这样获取的知识，不但易于保持，而且易于迁移到陌生的问题情境中．
（二）函数的零点
追问（1）：对于一般函数 ，你认为它的零点应如何定义？
预设答案：对于一般函数 ，我们把使 的实数 叫做函数 的零点．
追问（2）：函数的零点是点吗？
预设答案：函数的零点不是点，是实数．
追问（3）：方程 有实数解吗？
预设答案：观察函数 和 的图象，发现它们有一个交点，所以方程 有实数解．
师生活动：教师指出根据函数零点的定义，这个方程有实数解就是相应的函数有零点，也就是相应函数的图象与 轴有交点，因此也可以把这个问题转化为研究相应函数的零点或相应函数的图象与 轴的交点．
追问（4）：方程 有实数解，函数 有零点吗？
预设答案：函数 有零点．
追问（5）：方程 有实数解，函数 的图象与 轴的关系是什么？
预设答案：函数 的图象与 轴有公共点．
解决预设：当学生回答函数 的图象与 轴有交点时，引导学生思考函数 的图象与 轴是否一定相交，从而让学生发现函数 的图象与 轴有公共点．
教师指出：“方程 有实数解”、“函数 有零点”、“函数 的图象与 轴有公共点”之间可以相互转化，根据这种转化关系我们可以把方程的实数解与相应函数的零点联系起来，通过判断相应函数是否有零点来看方程是否有实数解．
【学习评价】关注学生能否由函数零点的概念得到方程的实数解与相应函数零点的关系．
【设计意图】得出一般函数零点的概念，将方程实数解的问题转化为函数零点的问题，这对学生而言是顺其自然的，体现了从具体到抽象的过程，让学生感悟化归与转化的思想，函数与方程的思想．激发学生的好奇心，求知欲．
（三）函数零点存在定理
如何判断函数是否有零点呢？
探究1：对于二次函数 ，观察它的图象，它在区间 上有零点．这时：
（1）函数图象与 轴有什么关系？
（2）如何利用具体的函数值来刻画这种关系？
预设答案：函数图象与 轴有一个交点， ， ．
追问（1）：函数 在区间 上有零点，以上问题的答案是什么？
预设答案：函数图象与 轴有一个交点， ， ．
追问（2）：这两种情形能否用统一的形式表示？
预设答案： ， ．
探究2：请你再画几个函数的图象，观察函数零点所在区间，以及这一区间内函数图象与 轴的关系，并用函数的取值刻画这种关系．
预设答案：如图，函数 在区间 内有零点，则 ．
探究3：若函数 在区间 上有 ，则函数 在区间 内有零点吗？
预设答案：不一定，小组讨论，学生举出反例．
追问（1）：除此之外，还需加上什么条件可以判断函数 在区间 内有零点？
预设答案：函数 在区间 上的图象是一条连续不断的曲线．
师生活动：学生总结得到函数零点存在定理．
追问（2）：函数零点存在定理能判断出函数零点的个数吗？
预设答案：不能，学生举例说明．
追问（3）：定理中的条件“ ”可以去掉吗？
预设答案：不能，学生举出反例．
师生活动：教师指出，定理中的两个条件是缺一不可的．
追问（4）：定理加上什么条件，函数 在 内的零点有且只有一个？
预设答案：函数在区间 上单调．
追问（5）：若函数 在区间 上单调，且 ，则函数 在区间 内的零点有且只有一个吗？
预设答案：不一定，学生举出反例．
【学习评价】观察学生的探究活动，关注学生能否主动思考、积极参与小组讨论；能否用函数值的符号刻画函数图象与 轴的关系；能否探究出函数存在零点的条件；能否总结出函数零点存在定理．
【设计意图】通过具体的二次函数和学生举出的实例，得出结论“函数 在区间 内有零点，则 ”．接下来让学生思考“函数 在区间 上有 ，则函数 在区间 内有零点”是否正确，这样的反问自然直接，激发了学生学习的热情，通过独立思考和小组合作探究出函数零点存在定理，并对零点的个数做初步的研究．整个探究过程强化了学生的归纳总结能力及辩证分析能力．让学生在探讨的氛围中学会质疑，答疑，养成一种既要善于发现问题，又要勇于严密论证的科学精神．
接下来，请同学们判断下列命题是否正确，并说明理由．
（1）若函数 在区间 上的图象是一条连续不断的曲线，且在区间 内有零点，则 ．
（2）若函数 在区间 上有 ，且在区间 内有零点，则函数 的图象是一条连续不断的曲线．
【学习评价】关注学生能否积极思考，主动参与；能否全面的理解函数零点存在定理；能否严谨的回答问题；能否规范的作图．
【设计意图】通过两个命题一方面加深了学生对定理内容的理解，另一方面提高了学生逻辑的严谨性，强化了学生的逆向思维能力．
（四）新知巩固
-
求下列函数的零点．
（1） ； （2） ．
解：（1）令 得， ，所以函数的零点是 ．
（2）容易证明函数 是增函数，又 ，所以函数的零点是 ．
【学习评价】关注学生能否用函数零点的概念及函数的单调性求函数的零点．
【设计意图】本题中第一个函数的零点可求，第二个函数的零点不可求可试．题目的设置由易到难，符合学生的认知规律，提升了学生逻辑推理的核心素养．
变式 函数 的零点所在的一个区间是（ ）
A． B． C． D．
解：当 时，函数 的图象是一条连续不断的曲线，
因为 ， ，由函数零点存在定理知选A．
【学习评价】关注学生能否用函数零点存在定理找出函数零点所在的大致区间．
【设计意图】本题中函数的零点不可求不可试，它是例1的延伸，同时也为例2的解答做了铺垫，初步让学生利用函数零点存在定理解决函数零点的问题．一条主线“零点可求——零点不可求可试——零点不可求不可试”贯穿起来，层层递进，培养学生的开拓性思维．
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求方程 的实数解的个数．
解：设函数 ，利用计算工具，列出函数 的对应值表，并画出图象．
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1 |
-4 |
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2 |
-1．3069 |
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3 |
1．0986 |
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4 |
3．3863 |
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5 |
5．6049 |
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6 |
7．7918 |
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7 |
9．9459 |
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8 |
12．0794 |
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9 |
14．1972 |
由表格和图象可知， ， ，则 ，由函数零点存在定理可知，函数 在区间 内至少有一个零点．
容易证明，函数 ， 是增函数，所以它只有一个零点，
即相应方程只有一个实数解．
【学习评价】关注学生能否用函数零点存在定理求不能用公式求解的方程实数解的个数．
【设计意图】除了数形结合的思想，再让学生用函数零点存在定理求不能用公式求解的方程实数解的个数．一题多解，提高了学生灵活应用的能力，提升了学生的逻辑思维能力．
探究 方程 有_____个实数解．
【学习评价】关注学生能否灵活应用所学知识解决问题．
【设计意图】这是一道课后思考题，需要同时利用函数零点存在定理和数形结合的思想解决这个问题，进一步提升学生对知识和方法的理解和应用，让学生再次体会数学中函数和方程的思想，数形结合的思想．培养学生积极主动，勇于探索的精神．
（五）课堂小结
【学习评价】关注学生对知识的掌握程度；能否领悟到本节课蕴含的数学思想方法．
【设计意图】通过师生的共同小结，发挥学生的主体作用，有利于学生巩固所学知识，也能提高学生的归纳和概括能力．使学生在掌握知识的同时体会数学思想方法，提升数学核心素养．
（六）课后作业
基础巩固：课本144页练习1，课本155页2，3；
拓广探索：课本155页7，课本156页13．
【学习评价】关注学生能否按时完成作业；关注学生的书写过程及正确率；能否根据已学知识完成基础巩固；设置拓广探索，激发学生的潜能．
【设计意图】基础巩固可以反馈知识掌握效果，强化基本技能的训练，培养学生良好的学习习惯和品质；拓广探索是为了给学有余力的学生留出自由发展的空间，符合因材施教的新课标的思想．
六、板书设计
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4.5.1 函数的零点与方程的解 |
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定义
-
转化关系
二、函数零点存在定理
三、应用 |
学生板书 |
PPT展示 |
七、教学反思
1．本节课的内容
本节课的内容就是一个概念（函数的零点）、一种关系（“方程 有实数解”、“函数 有零点”、“函数 的图象与 轴有公共点”之间的转化关系）、一个定理（函数零点存在定理）．它反映了方程与函数的联系，体现了数与形的辩证统一，突出了函数的核心地位，体现了函数应用的广泛性．
2．本节课的成功之处
回顾用二次函数的观点认识一元二次方程，由具体到抽象得到一般函数零点的概念，引入自然，使学生容易接受．
以探究活动为主线，环环相扣，通过逐步探究、辩证分析、独立思考、合作交流、小组展示、师生归纳等环节，引导学生经历由特殊到一般的过程，让学生体会数与形之间的内在联系，提高学生的逻辑思维能力．
例题及其变式，探究的设置层层递进，针对性强，加强了学生对函数零点存在定理及数学思想方法的理解和应用．提高了学生的数学思维能力，提升了学生的数学核心素养．
课堂小结以结构图的形式呈现，内容清晰明朗，展示了知识的构建和联系，总结了数学思想方法．
视频来源：优质课网 www.youzhik.com
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