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视频标签：空间向量,坐标运算
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视频课题：高中数学人教A版选修2-1第三章《空间向量的坐标运算》山东省优课
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高中数学人教A版选修2-1第三章《空间向量的坐标运算》山东省优课
教学设计
【教材解析】
空间向量的坐标运算是在学生学习了空间向量几何形式及其运算、空间向量基本定理的基础上进一步学习的知识内容.是平面向量坐标运算及其研究方法在空间的推广和拓展,丰富了学生的认知结构,为学生学习立体几何提供了新的视角和新的方法,为运用向量坐标运算解决立体几何问题奠定了知识和方法基础. 【教学目标】
知识层面 ：1、通过类比平面向量能说出空间向量的坐标运算，并进行简单计算。2、会运用公式判断两向量共线和垂直，并用平行和垂直求相应参数。3、能运用空间向量的夹角及其垂直公式解决立体几何问题。
过程与方法层面：体验方程的逐步推导过程，理解各形式之间的内在的实质的联系，体会用代数办法解决几何问题的简单之处。 能力与情感层面：通过空间坐标系的建立和空间向量坐标运算规律的探索，发展学生的空间想象能力、探究能力。培养学生类比，联想的推理能力和勇于探索的精神，并体会它们在数学发展中的推动作用使学生经历数学思维全过程品尝到成功的喜悦 【学情分析】
本课的学习对象高二学生,他们已掌握了平面向量坐标运算及规律，并学会了空间向量的几何形式及其运算.这个班学生数学基础较为扎实，具备一定观察、分析、解决问题的能力.但在探究问题的内
部联系和内在发展上还有所欠缺.所以通过教师的引导,学生的自主探索,不断地完善自我的认知结构. 本节内容学生容易接受，学生在学习的过程中会有很强的求知欲和成就感，对培养数学思想有推动作用。 【教学策略】
问题探究，启发引导的教学策略。以类比为教学方法在学生原有的知识体系上,通过类比逐步引导学生从平面向量向空间向量的过渡,发现两者之间的内在联系,并通过类比方式强化空间向量坐标运算及其规律；以学生为课堂主体:重视学生的自主参与能力与小组合作精神，培养学生探究能力和创新能力的及其合作意识。 【教学过程】
引入语：我们知道数学科学之所以是发展进步的，推理的思想在里面起到了不可替代的作用，今天让我们循着数学家们的步伐，打开我们的脑洞，大胆的类比与联想，把向量的坐标运算，从平面拓展的空间，来一次从二维到三维，从形到数的跨越 。 一：自主学习，探究新知
白板展示教学目标，大家快速阅读教学目标，读完后带着这些任务进入到本节课的学习中.
白板展示平面向量的坐标运算，引导学生用类比思想写出相应空间的坐标运算。学生口答，老师发问：为什么会有这样的猜想呢; 生答;向量从平面推广到空间后，因为维度增加了一维，注意到坐标增加了一项（竖坐标），那么既然是推广，本质应不变，我只是加上
了关于竖坐标的运算
师：特别好。这就是今天我们学得基础知识，也是我们做题的理论依据，大家现在对照学案记牢这些知识。
1.坐标运算:设a＝
123,)（aa,a， b＝123,)（bb,b，则 a＋b＝________________ ； a－b＝____________________
a＝__________________ ；a//b________________ ； a=b ________________ ；ab＝____________________
2.性质的应用： a⊥b____________________a
＝
__________________ ；
cos〈a，b〉＝____________________
3.空间两点A123,)（aa,aB123,)（bb,b，则AB＝__________；|AB
|＝
____________ 二:新知识自测
处理方法：因为题目很简单，直接套公式，所以可以直接对答案，其实这几个简单的小题可以为后面的题目起到铺垫的作用，所以放在了这个位置。
(1). 已知a=(1,-2,1), a+b=(-1,2,-1),则b等于____ A.(2,-4,2) B.(-2,4,-2) C.(-2,0,-2) D.(2,1,-3)
(2)已知a=(1,2,-y), b=(x,1,2),且(a+2b)∥(2a-b
),则
x=____,y=_____
(3)下列与向量a=(0,2,-4)垂直的向量是____
A(2,0,-4) B(3,6,3) C(1,1,-2) D(0,-4,8)
(4)已知空间三点A(1,1,1),B(-1,0,4),C(2,-2,3),则AB
与AC的
夹角大小是____，AB
与CA的夹角θ的大小是____
新知识自测既然没有需要讲的，我们就进入这节课的主战场例题探究
三：例题探究
探究一： 空间向量的坐标运算
例1.已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,2) (1)求AC→＋BC→，AB→－AC
→，AB→·BC
→，|AB
|； (2)2PAPABAC求点的坐标使
处理方法：（1）题目很简单所以请两位同学板演，其余同学下面做，然后核对答案答案（2）请板演的同学说出这个题目考查的知识点
探究二： 坐标形式下的平行与垂直 例2：已知空间三点A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4)，设a＝
AB→，b
＝AC→ .
若kab与2kab互相垂直，求k.(2)若kab与2kab
平行，求k.
变式： a=(1,2,x) , b
=(3,y,6) 求x,y
处理方法：（1）请两位同学板演，其余同学小组合作讨论出答案；扮演的同学讲解（2）在第二问的解答讲解中出现两种做法，有了争执，老师点明各种办法都有优缺点，并请同学思考并说出折衷办法。
有了例1,2的铺垫，进入本节课的高潮，也就是坐标运算在立体几何中的应用。
探究三： 向量夹角与长度在立体几何中的应用
例3：在正方体ABCD－1111ABCDABCD中，点11EF和是分别是1111
,ABCD的一个四等分点，求（1）异面直线11DFBE与所成角的余弦值. （2）若111B,BDMN和B的中点分别是，求证1ADMN
处理方法：（1）把此题分解成分解成3个小问题，层层递进，解决问题
问题一：你能建立恰当的坐标系并写出相应的点和向量的坐标吗？
13(1,1,0),1,,14BE
11(0,0,0),0,14，DF
1311,,1(1,1,0)0,,144BE
1110, 1(0,0,0)0, 1.
44，，DF
F1
E1
C1
B1
A1
D1
D
AB
C
问题二：你能求出向量1BE，1DF
的夹角的余弦吗？
11111115
cos,17||||BEDFBEDFBEDF
问题三：你能说出向量1BE，1DF
的夹角的与异面直线夹角的关联
吗？
此时，学生知道关联后就可以直接来解答异面直线夹角的余弦了 （2）让大家看解答过程，并总结这类题目的步骤，学生回答后老师优化，给出三步曲1) 建系，把点、向量坐标化2)对向量计算或证明3)翻译成几何结论
（3）有了第一问的启发第二问证垂直就很简单了，可以让学生用最简洁的语言说出解答思路，老师可以此时追加线面垂直的证明. 四；归纳小结：
处理方法：学生总结补充，达到知识的系统化。学生总结的知识点方面的，此时老师补充通过这节课对学生的情感，态度方面所起到的引导和促进作用。
五：课后探究:（课后完成）
1.设O为坐标原点，向量OA ＝(1，2，3)，OB ＝(2，1，2)，OP
＝(1，1，2)，点Q在直线OP上运动，则当 QAQB
取得最小值时，求点Q的坐标．
2.直三棱柱111ABCABC，1,90CACBBCA
，12,,AAMN分别是
111,ABAA的中点，（1）求BN
的长；（2）求证：11ABCM。（3）求异面
直线11BA与CB所成角的余弦值；
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