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视频标签：空间向量,加减运算
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视频课题：高中数学人教A版选修2-1第三章《空间向量及其加减运算》沧州
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高中数学人教A版选修2-1第三章《空间向量及其加减运算》沧州市第一中学
教学目标
1.知识目标:
(1)经历向量及其运算由平面向空间推广的过程;
(2)理解并掌握空间向量的概念,掌握空间向量的集合表示法和字母表示法;
(3)掌握空间向量的加减运算及其运算律等内容.
2.能力目标:
能够正确应用空间向量的加法交换律和加法结合律.
3.情感目标:
承前启后,感悟数学与生活的和谐之美 ,体现数学的文化功能与人文价值.
2学情分析
本课的学习对象高二学生,他们已掌握了平面向量坐标运算及规律,并学会了空间向量的几何形式及其运算;数学基础较为扎实,学习上具备了一定观察、分析、解决问题的能力,但在探究问题的内部联系和内在发展上还有所欠缺所以通过教师的引导学生的自主探索,不断地完善自我的认知结够。
3重点难点
(1)教学重点:理解空间向量、掌握加减运算;
(2)教学难点:应用向量解决立体几何问题。
4教学过程
4.1第一学时
4.1.1教学活动
活动1【导入】从几何学的发展史引入
【师】同学们好!现在开始我们今天的数学课!那么,大家想一想,什么是数学呢?我们伟大的革命导师恩格斯在自然辩证法中说过:数学是研究现实世界中数量关系和空间形式的学科,简单地说,是研究数和形的科学。对于形,也就是几何学,大家普遍比较感兴趣,因为它比代数更形象、更具体、更有趣。那大家知道几何学的演变史吗?初中我们学习了平面几何,高中又学习了立体几何,这些都属于欧式几何的范畴。那大家知道这里的“欧式”是哪位数学家吗?欧几里得是古希腊数学家,早在公元前300年他就写成了《几何原本》,利用公理化的体系研究几何,《几何原本》曾经一度风靡全世界,成为全球销量第二的书,仅次于《圣经》.直到两千年后的17世纪初,笛卡尔创立了坐标系,成功的将几何图形置于坐标系中,创立了解析几何,实现了我们常说的数形结合,这样,就使得几何学更加别开生面了。
直到19世纪有了向量之后,情况又发生了改变,向量成为超越坐标几何的有力工具。我们在《必修4》中学习了《平面向量》,那你们告诉我,向量可以解决平面几何的什么问题?
【生】可以证明平行、垂直;求角,求距离。
【师】那么,这一章我们把视野放到空间中,利用空间向量研究立体几何问题,进一步体会向量带给我们的奇迹。先来欣赏一下我们生活中的空间向量!
那什么是空间向量呢?我们就从《3.1.1 空间向量及其加减运算》来需找答案。
活动2【讲授】类比平面向量的概念得出空间向量的概念
【师】孔子曰温故而知新,今天的学习就让我们从“温故”开始吧!
问题1:请同学们回忆平面向量的有关概念。你能类比平面向量,填写空间向量的有关概念吗?
【师】请大家分小组讨论,找代表发言。(学生活动)
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内容 |
平面向量 |
空间向量 |
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定义 |
在平面上,既有大小又有方向的量 |
在空间,具有大小和方向的量 |
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画法及其表示 |
用有向线段画出来;
表示方式:或 |
用有向线段画出来;
表示方式:或 |
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模 |
有向线段的长度表示向量的模,
记为或 |
有向线段的长度表示向量的模,
记为或 |
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零向量 |
长度为零的向量叫做零向量,零向量的方向是任意的 |
长度为零的向量叫做零向量,零向量的方向是任意的 |
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单位向量 |
平面中模为1的向量 |
空间中模为1的向量 |
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相反向量 |
平面中长度相等,方向相反的两个向量 |
空间中长度相等,方向相反的两个向量 |
相等向量
(同一向量) |
平面中方向相同且模相等的向量 |
空间中方向相同且模相等的向量 |
【师】
大家发现什么问题?空间向量的概念和平面向量是一样的,为什么呢?
【生】因为平面是空间的一部分。
【师】
这样,我们就类比平面向量的有关概念得出了空间向量的概念,其实高中阶段研究数学问题时经常用到类比思想,谁能给我举个例子呢?
【生】类比指数函数研究对数函数、类比正弦函数研究余弦函数、类比等差数列研究等比数列、类比椭圆研究双曲线,类比求三角形内切圆的半径的方法研究三棱锥内切球的半径等等……
活动3【练习】空间向量概念的练习
【练一练】判断下列命题是否正确:
⑴ 且 .( ,两个向量不能比较大小,只能比较它们模的大小)
⑵空间中相反向量的模相等. (√)
⑶空间中任何一个向量与它的相反向量都不相等.( ,零向量与它的相反向量相等)
⑷ .(√)
⑸ .( )
⑹ 且 .(√,向量相等具有传递性)
⑺空间中任意两个单位向量必相等.( )
⑻若两个空间向量相等,则它们的起点、终点相同.( )
活动4【讲授】空间向量的平移
【师】空间中两直线的位置关系有相交、平行、异面,那么空间中两个向量有没有异面的关系呢?
问题2:空间两直线有异面关系,空间两向量是否也可能异面呢?
【师】既然空间中同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量,因此空间任意两个向量都可以平移到同一平面内,成为一个平面内的两个向量.那么也就是说,以后凡涉及空间两个向量的问题时,平面向量中有关结论仍适用于它们。
由于点 可以是空间任意一点,所以 确定的平面不是一个,而是一组互相平行的平面的集合。但在解决具体问题时,一般只要在其中一个平面内考虑即可。
【师】在数学中引进一种量后,一个很自然的问题就是要研究它们的运算。类似于平面向量,我们也可以定义空间向量的加法和减法运算。
活动5【活动】空间向量的加减运算
问题3:既然空间中任意两个向量都在同一个平面内,那么空间向量的加法、减法运算是怎样定义的呢?与平面向量是否一致呢?
【生】由于任意两个空间向量都能平移到同一平面,所以空间向量的加减运算与平面向量的加减运算相同.
(1)平面向量、空间向量的加法法则:
①平行四边形法则:
②三角形法则:“首尾连,指终点”
③几何意义:如图中 为平行四边形的对角线 ,或 中边 。
即:
(2)减法法则:“共起点,指被减”。
几何意义:如图中 为平行四边形的对角线 (方向指向被减向量)
即:
【师】研究过向量的加减运算之后,我们想:如果两个向量不共线,我们能不能在一个平行四边形中找到它们的和向量和差向量呢?
【生】可以,恰好是平行四边形的两条对角线
【探究问题】
(1)求三个、四个,乃至更多个空间向量的和,如何解决?
(2)若首尾相接的若干向量构成一个封闭图形,那么这些向量的和等于什么?
【生】(1)求空间若干向量之和,可通过平移将它们转化为首尾相接的向量,这些向量之和等于起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量。
【生】“首尾相接,首尾连”
【生】(2)零向量;
活动6【活动】加法的运算律
【师】研究过向量的加减运算之后,接下来我们该研究什么了呢?
【师】我们知道,数的运算和运算律紧密联系,运算律可以有效的化简运算。当然向量也不例外。
问题4:平面向量的加法有哪些运算律呢?
【生】交换律 ,结合律
问题5: 空间向量的加法有哪些运算律呢? 它的证明哪些与平面向量运算律一致,哪些有不同,不同之处又该如何证明?
【师】我们刚才学习的加法的平行四边形法则与三角形法则,都和图形有关,所以证明运算律时千万不要忘记画图哟!
【生】证明空间向量的交换律
证明空间向量的结合律:
因为
所以
证实了向量的加法满足结合律。
活动7【练习】例题
例1.如图,在正方体 中,分别以正方体的顶点为向量的起点和终点,求与向量 (均不含向量 本身)
⑴相等的向量的个数;3个
⑵相反的向量的个数;4个
⑶模相等的向量的个数。23个
【师】若是将向量 换为 或 ,这三个问题你还能解决吗?这个问题留作大家课下讨论。我们继续应用空间向量的知识来解决问题。
例2.在平行六面体(底面是平行四边形的四棱柱)
中,化简下列各表达式,并标出化简结果的向量:
(1)
(2)
(3)
【师】一般地,三个不共面的向量的和与这三个向量有什么关系?
【生】 始点相同的三个不共面向量之和,等于以这三个向量为棱的平行六面体中以公共始点为始点的体对角线所示向量
活动8【作业】课后作业
【分层作业】
⑴巩固型作业:教材P86 练习2,3
⑵探究型作业:
在四面体 中, 的重心为 ,
求证:
与例2比较,你能得出什么结论,你能从几何角度给出证明吗?
活动9【活动】课后总结
【课堂小结】(让学生发言)
类比思想、数形结合思想
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平面向量 |
空间向量 |
|
概念 |
具有大小和方向的量 |
加法
减法
运算 |
加法:三角形法则或平行四边形法则
减法:三角形法则 |
|
运算律 |
交换律
结合律 |
【师】同学们,今天我们把以前熟悉的平面向量推广到了空间向量,这种二维到三维的推广,让我们对向量更深刻的认识,我们将在以后的学习中进一步认识向量、研究向量、应用向量,让向量绽放出更加迷人的光彩。
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