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视频标签：三角形内角和定理
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视频课题：北师大版八上第七章第五节7.5.2三角形内角和定理（2）福建
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北师大版八上第七章第五节7.5.2 三角形内角和定理（2）福建省 - 漳州
7.5.2 三角形内角和定理（2）
——三角形的外角
一、教材分析
本节课位于北师大版数学八年级上册第七章第五节第二课时.其教学内容为三角形外角的定义以及三角形内角和定理的推论，这是对三角形内角和定理的拓展和延伸，使学生对三角形的外角由直观感知上升为理性认识，进而掌握三角形外角的定义和性质的应用，旨在利用已经学习过的知识来推导出新的定理以及运用新的定理解决相关问题.它既是对图形进一步认识的重要内容之一，也是用以研究角相等的重要方法之一.因此，作为八年级上册最后一节新课的内容，本节课起着承上启下的作用. 二、学情分析
1. 学生已经具备了一定的图形感知能力，所以能够把握好三角形的外角所具备的位置特征.
2. 在《三角形内角和定理的证明》一节中，学生已掌握了三角形的内角和定理的严密证明及相关应用，这使得学生能够在充分理解的基础上对三角形内角和定理进行拓展和延伸，关于三角形外角性质的推导就会比较顺利. 3. 以往学习中，学生已经掌握了邻补角的有关知识、两条直线平行的条件及平行线的特征，便于学生在本节学习过程中进行三角形外角性质的应用.
由于学生已经具备了上述知识和一定的逻辑推理能力，为切实理解和掌握本节课的内容奠定了良好的知识和认知基础. 三、教学目标分析 1. 知识技能
（1）三角形的外角的概念
（2）三角形内角和定理的两个推论 2. 过程与方法
（1）经历探索三角形内角和定理的推论的过程，进一步培养学生的推理能力 （2）理解掌握三角形内角和定理的推论及其应用 （3）进一步学会数学说理
2
3. 情感与价值观要求
（1）通过观察和动手操作，体会探索过程，学会推理的数学思想方法，培养学生主动探索、勇于发现，敢于实践及合作交流的习惯.
（2）通过探索三角形内角和定理的推论的活动，来培养学生的论证能力。在体验一题多变、一题多解得过程中发散思维拓宽他们的解题思路，提高空间想象能力，从而使他们灵活应用所学知识. 四、教学重难点
教学重点：三角形内角和定理的推论
教学难点：三角形的外角及三角形内角和定理推论的应用 五、设计思路
本节课是典型的几何特点的课程，我利用多媒体为学生创设生动、直观的学习环境，充分调动学生的学习兴趣和积极性.先以三角形内角和定理的证明为导入，用辅助线“延长BC至点D”为学生观察三角形外角的特征铺平道路，引导学生通过观察、比较、讨论、总结的方式，明确三角形外角的定义和位置特征.接下来以△ABC的外角∠1为研究对象，引导学生利用三角形内角和定理、邻补角的定义及不等式的性质，探究总结三角形外角的性质，即三角形内角和定理的两个推论，在此过程中，引导学生通过对锐角三角形、钝角三角形和直角三角形的观察，明确“和它不相邻”的意义，纠正学生的认识误区.要求学生用自己的语言正确表述两个推论，并用几何语言表达.在应用部分，先以两道基础练习，让学生熟悉两个推论的应用，再通过课本例题，巩固学生应用推论，同时引导学生总结两个推论所适用的数学问题，帮助其形成一定的分析能力，鼓励学生一题多解，拓展思路，最后以随堂练习再次提高,规范书写.课堂小结部分，以三个问题的形式，层层递进,引导学生总结本节知识点和应用技巧，明确所学和所缺，便于课后复习。分层布置作业，必做题为基础训练，选做题为适当提高，激发学生的积极性和挑战心理，更进一步巩固知识应用. 六、教学方法：启发诱导法、合作学习法、归纳总结法 七、教具准备：多媒体课件 八、教学过程 （一）复习回顾
3
问1：上节课我们学习了什么内容？（三角形内角和定理及证明） 问2：定理的内容是什么？（三角形的内角和等于180°） 问3：结合△ABC如何表示？（∠A+∠B+∠C=180°）
问4：其中∠A、 ∠B、 ∠C是△ABC的什么角？（三个内角） 引入：今天我们继续来研究三角形的角. （二）定义解析
将△ABC的一边BC延长
问1：这时在△ABC的外部得到哪个角？（∠ACD） 问2：观察它的顶点和边，有何特征？
① ∠ACD的顶点（点C）在三角形的一个顶点上； ② ∠ACD的一条边（AC）是三角形的一条边；
③ ∠ACD的另一条边（CD）是三角形的某条边（BC）的延长线 问3：所以，∠ACD是由什么组成的角？
（∠ACD是由三角形的一边与另一边的延长线组成的角） 问4：我们把这样的角叫做？（三角形的外角） 板书定义：
三角形的一边与另一边的延长线所组成的角，叫做三角形的外角.如∠ACD是△ABC的外角.
问5：△ABC还有其他外角吗？如果有，请你画出来，并标上数字. （学生自主探究作图后，小组交流，观察比较所画的外角是否相同，分析问题所在）
展示两位同学的作业，一个画3个外角，一个画6个外角，引导学生观察图形，发现易错点.将每条边向两边延长，即可得到所有的外角.
问6：一个三角形有几个外角？每个顶点处有几个外角？这些外角之间有怎样的数量关系？为什么？ 小结：
① 一个三角形有6个外角； ② 每个顶点处有2个外角；
③ 其中有三个外角与另外三个外角相等. （对顶角相等）
4
所以我们在研究外角时，一般只研究其中的三个.
引入：三角形的内角有和为180°的性质，那么三角形的外角是否有特殊的性质呢？下面我们一起来探索. （三）性质探索
问1：如图，∠1与△ABC有何关系？（∠1是△ABC的一个外角） 问2：∠2、∠3、∠4是三角形的什么角？
问3：∠1与三个内角之间有怎样的大小关系？为什么？（小组合作，列出它们之间的等量关系及不等关系，并探究理由） 由学生代表发言
① ∠1 +∠4 =180o ② ∠1 = ∠2 +∠3 ③ ∠1 > ∠2 ， ∠1 > ∠3
证明：∵ ∠2 +∠3 +∠4 =180°（三角形的内角和为180°）
∠1 +∠4 =180°
（平角的定义）
∴ ∠2 +∠3 =180°- ∠4
∠1 = 180°- ∠4 （等式的性质） ∴ ∠1 = ∠2 +∠3 （等量代换）
∴ ∠1 > ∠2 ， ∠1 > ∠3
问4：改变外角∠1的位置，这些关系还成立吗？
问5：改变三角形的形状，这些关系还成立吗？
5
（四）性质归纳
问1：所以我们发现，对于任意三角形的任何一个外角，这些关系都成立.你能用文字语言归纳这些性质吗？（独立思考后小组讨论，代表回答，师注意引导强调“不相邻的内角”）
问2：符号语言如何表示？ 板书性质：
定理1：三角形的一个外角等于和它不相邻．．．．．的两个内角的和. ∵ ∠1是△ABC的一个外角 ∴ ∠1 = ∠2 +∠3
（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）
定理2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻．．．．．
的内角. ∵ ∠1是△ABC的一个外角
∴ ∠1 > ∠2 ，∠1 >∠3
（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）
问3：这两个结论是由什么推导出来的呢？（三角形内角和定理） 引导：我们把由一个公理或定理直接推导出的定理叫做这个公理或定理的推论.因此这两个结论称为三角形内角和定理的推论，可当做定理直接使用.
问4：这两个定理有何作用？
（五）知识应用
1. 求出下列图形中∠1的度数.
∠1= ； ∠1= ； ∠1= ；
2.如图，在△ABC中, ∠1是它的一个外角, E为边AC上一点,延长BC
6
P
C
B
A
到D, 连接DE，则∠1 ∠D.（填“>，<，=”）请说明理由.
注：本题一题多解，可借助∠2进行过渡，也可直接延长 DE与AB相交于点F，使得∠1是△DBF的一个外角. （六）方法巩固
例1 已知: 如图，在△ABC中，∠B=∠C ，AD平分∠EAC.
（1）找出图中△ABC的外角； （2）求证：AD∥ BC
问1: 如何证明两条直线平行？ 同位角相等，两直线平行 内错角相等，两直线平行 同旁内角互补，两直线平行
问2：用“ 内错角相等，两直线平行”要证明哪两个角相等？如何证？（生独立思考后发言，师板书）
问3：还有其他方法吗？（生发言） （七）合作提升
例2 已知，如图，P是△ABC内一点，连接PB，PC.求证:∠BPC ＞∠A.
问1：我们有哪些关于角的不等关系的结论？ 问2：本题能直接运用这个结论吗？ 问3：困难在哪里？
问4：如何构造三角形的外角？
请大家小组合作，你们能想出几种方法？讨论完毕后，组内每人各写出其中一种方法的解答过程.（三位学生上台展示不同的辅助线）
7
问5：本题解题的关键是什么？
（八）反思感悟
问1：本节课学习了什么知识？
问2：三角形外角的两条性质定理有什么作用？ 问3：如果图中没有三角形或三角形的外角怎么办？
承上启下：通过今天的学习，我们发现三角形有内角也有外角，并且都具备特殊的性质，将来遇到四边形、五边形等多边形时，可以类比学习是否存在外角呢？它们又有怎样的性质呢？ （九）课后作业
课本P183 习题7.7：1-4 补充题：
1. 如图1，在△ABC中， ∠A=70°，∠ABC=60°，则∠ACB = ，
图中△ABC的外角有 ，度数分别为 . 2. 如图2， ∠ACD=155°，∠B=35°，则∠A= .
图1 图2 3. 如图3，用“=”、“>”、“<”填空： （1） ∠1 ∠ABC+∠BAC （2） ∠2 ∠ABC
（3） ∠BAC ∠3
图3
4. 如图4，已知∠1= 20°， ∠2= 25°，∠A=35°，求∠BDC的度数。
图4 图5
5. 如图5，直线a∥b, 则∠A= __________.
60°
70°
C
EFBA155°
35°
A
DC
B3
1
2CBA
70°31°C
D
A
ba
D
C
B
A
21
8
6. 如图6，已知∠1= 100o， ∠2= 140o
，则∠3= _____
7. 如图7，点P是△ABC内部一点，则∠1、 ∠2、 ∠A的大小关系为：
§7.5三角形内角和定理（第1课时）
【北师大版八年级上册】
一、内容分析
1、课标要求
本节课内容要求：探索并证明三角形的内角和定理。
2、教材分析
知识层面：学生在小学和七年级已经知道三角形内角和等于180°，而本节课是建立在学生掌握了平行线的性质及证明等知识的基础上展开的，不仅是对平行线、平角、三角形相关知识的应用和深化，也为后续学习四边形、多边形内角和，圆周角定理等内容奠定了基础。因此，本节课的内容具有承前启后的作用。
能力层面：学生在前面的学习中，已经对一些几何结论有了直观认识，同时积累了猜想、验证及合情推理的能力。教材从学生实践操作到证明过程的呈现，培养了学生的几何直观能力和演绎推理能力.
思想层面：首先，本节课通过“移动内角（或其它方法）”把三角形的内角拼成一个平角或一组补角的思路蕴含了化归与转化的思想，这种思想是一种重要的解题策略，它可以帮助我们确定思考的方向。其次，实验从测量角度到折纸和撕角拼接，在感受几何直观作用的同时，渗透了数形结合的思想；而“三角形的内角和等于180°”，是初中几何中“第一个数量等式”，是用代数方法解决几何问题常用到的方程模型，让学生体会到模型思想．
3、学情分析
认知特点：八年级学生的抽象逻辑思维开始由“经验型”向“理论型”转化，这为证明三角形内角和定理提供了基础。而学生在学习三角形内角和定理的证明过程中，其认知顺序是建构型的。平行线是他们原有知识储备的主要图式，他们利用原有图式可以同化三角形内角和定理。
知识经验：学生在小学和七年级已经接触过三角形内角和定理，在八年级上册也掌握了平行线的性质及证明等知识。
能力水平：学生能进行操作、观察、猜想、验证及简单说理，但对于演绎推理，在知识结构和能力上都有所欠缺。尤其是辅助线的作法是学生在几何证明过程中第一次接触，并且辅助线的添法没有统一的规律，要根据需要而定，这对学生来说有一定难度。
二、教学目标
1.知识技能：掌握三角形内角和定理的证明，初步学会作辅助线证明的基本方法。
2.数学能力：经历探索与证明的过程，进一步发展推理能力、几何直观、空间观念和创新思维能力。
3.数学思想：通过对三角形内角和定理证明的探索，进一步体会化归与转化思想、数形结合思想和模型思想的作用。
【教学重点】探索证明三角形内角和定理的不同方法；从拼图过程中发现并正确引入辅助线。
【教学难点】辅助线添加的必要性和具体方法：（1）为什么要添加；（2）在哪里添加；（3）如何添加；（4）哪种添加方法最简单。
三、教学策略
1.让学生经历“动手操作、观察猜想、推理论证、合作交流”的过程；
2.学生“小组讨论”与教师“启发引导”相结合。
四、 教学过程
（一）复习回顾
【问题1】我们知道三角形三个内角的和等于180°.你还记得这个结论的探索过程吗?
【设计意图】鉴于学生对三角形内角和定理已有一定的认识和了解，我并没有从学生身边熟悉的事例创设情境，而是简单地对三角形内角和的知识加以回忆。
实验1：测量.
【设计意图】启发学生回想，我们在小学时是怎样知道这个结论的。通过量角器进行角度的测量（“数”的研究）。
实验2：折纸。
实验3：：将纸片三角形三顶角剪下，随意将它们拼凑在一起。
【设计意图】（1）启发学生回想，七年级下册时是怎样知道这个结论的。通过动手操作折纸或拼图，将分散的三个角“搬”到一起，从而构成一个平角（“形”的研究），为添加辅助线证明这个定理，做好铺垫，同时化解了难点。
|
命题 |
三角形三个内角的和等于180° |
|
数 |
度量三个内角的度数并求和 |
等于180° |
测量 |
|
形 |
三个角拼在一起 |
（1）平角；（2）两角互补 |
证明 |
（2）学生通过观察、猜想、度量得到结论：三角形三个内角的和是180°。但是难免有学生会提出质疑：有时候量出三角形三个内角的度数和高于或低于180°。让学生从中体会通过观察剪拼得到的结论虽然有一定的合理性，但是会存在误差，命题的正确性必须经过严密的推理来验证。从而体会到证明的必要性。
（二）自主探究
【问题2】根据前面学过的知识,你能用自己的语言说说这一结论的证明思路并写出证明过程吗?与同伴交流.
【命题】三角形三个内角的和等于180°。
【追问1】 这是一个文字命题，证明时需要先做什么呢？
（需要先画图形，根据命题的条件和结论写出已知、求证。）
【追问2】这个命题的条件和结论各是什么？
(教师引导学生正确画出图形，结合图形写出已知、求证。)
【追问3】由结论 ∠A+∠B+∠C=180°，同学们想到了哪些与180°相关的结论？
（一个平角或者平行线间的一组补角）
【设计意图】
（1）让学生回顾一个文字命题的证明所需要的主要环节是什么？
（2）为了让学生逐步学会用符号表示命题，发展他们的数学符号表达能力。
【思考】(1)在刚才的拼接过程中∠ACE和哪个角相等？
(2)这两个角具有怎样的位置关系？
(3)由它们的位置关系与等量关系我们可以得到射线CE与线段AB具有什么位置关系？
(4)如果不移动角能否作出某些辅助的线，实现这种移动效果？
【师】（1）通过学生的思考、交流引导他们说出实验3中添加辅助线的方法：延长BC到点D，过点C作射线CE∥AB.这样就可以借助平行线的性质将∠A移到∠ACE的位置，将∠B移到∠ECD的位置。（此时，教师即可给出学生辅助线的定义、作用，以及作辅助线的注意事项）
（2）由学生尝试写出证明过程,教师巡回指导。有一部分学生写证明过程有困难，可给予有针对性的帮助。完成之后让多名学生口答自己的证明过程，培养他们说理有据，有条理的表达自己想法的良好意识。师生共同评议，订正，在交流中发现问题、解决问题，共同提高。
（3）教师规范证明过程，给出证明的书写格式。
【设计意图】
（1）从拼图过程中发现并正确引入辅助线，尝试用几何图形来表示出所拼接的实物图。能够应用运动变化的观点认识数学，进一步培养学生的空间观念。
（2）这是本节课的一个重点，教师在这里要交代：①什么是辅助线，添加时要用虚线画出；②辅助线怎么来的，在证明开始时要交代清楚，后添加的字母要在证明的开始前交代清楚；
已知: 如图，△ABC.
求证: ∠A+∠B+∠C=180°
证明：延长BC到D，过点C作直线CE∥AB
∴∠B＝∠ECD（两直线平行，同位角相等）
∠ACE=∠A（两直线平行，内错角相等）
∵∠ACE+∠ECD+∠ACB＝180°
∴∠A＋∠B＋∠ACB＝180°（等量代换）
【设计意图】规范证明过程，给出证明的书写格式，培养学生的推理能力。
【小结】
我们通过推理，得证了命题：三角形的三个内角的和等于180°是真命题，这时称它为定理。即：三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°。
【设计意图】培养学生有“公理化思想”，能运用基本事实和定理证明问题，有学会运用旧知解决新知，从以前的活动中思考获取解决的方法，有合作学习和探究新知的能力。
（三）合作提升
【问题3】在刚才的拼图和探索中，你还有其它的方法证明三角形内角和定理吗？
证明：过点C作直线CD∥AB，则
∠1=∠A（两直线平行，内错角相等）
∵∠1+∠ACB+∠B＝180°（两直线平行，同旁内角互补）
∴∠A＋∠B＋∠ACB＝180°（等量代换）
【问题4】在证明三角形内角和定理时,小明的想法是把三个角“凑”到A处,他过点A作直线PQ∥BC(如图),他的想法可以吗？如果可行，你能写出证明过程吗？与同伴进行交流。
证明:过点A作PQ∥BC
∴∠PAB=∠B(两直线平行,内错角相等) ,
∠QAC=∠C(两直线平行,内错角相等),
∵∠BAC+∠PAB+∠QAC=180° (平角的定义),
∴∠BAC+∠B+∠C=180° (等量代换).
【设计意图】
（1）鼓励学生寻求多样的证明方法，进一步了解三角形内角和定理的证明思路，让学生在多样的证明方法中感受共性：将分散的要素集中到一起。
（2）在一题多解、一题多变中，积累解决几何问题的经验、提升解决几何问题的能力。
【追问】小明的想法已经得到证明,由此你受到什么启发?你有新的证法吗?
教师进行提示：引导学生将辅助线添加在三角形的顶部，边上及三角形内、外部均可。
【设计意图】给学生充分的自我展示的机会，引领学生进一步体会辅助线添加方法的多样性，渗透“最优化”思想。
（四）引导发展
基础练习： 1.在△ABC中，∠C=90°，∠A+∠B=？证明你的结论。
2.在△ABC中，∠A=50°，∠B=∠C，则∠B=？
拓展练习：3.已知:如图，在△ABC中，∠A=60°, ∠C=70°，
点D、E分别在AB和AC上，且DE∥BC。
求证： ∠ADE=50°
【设计意图】通过练习。让学生经历运用所学知识解决问题的过程，使学生对初步感知的结论有更加深刻的认识，进一步发展他们的推理论证能力。促进他们完善本教学点的知识与能力目标。
（五）课堂小结
通过本节课的学习,你有哪些收获?
① 本节课，我们用哪几种方法来证明三角形的内角和定理？（证明的基本思想是：借助辅助线将原三角形中处于不同位置的三个内角集中在一起，拼成一个平角或平行线间的一组同旁内角．）
② 如何添加辅助线？ （通过添加平行线来达到角的移动效果，从而实现转化。）
【设计意图】（1）了解学生学习后的效果；（2）复习巩固本课知识，提高学生的掌握程度．
（六）课后反馈
必做题：1.课本180页（习题7.6）第1,2,3，题
2.如图，在△ABC中，∠B=38°∠C=62°，AD是△ABC的角平分线，
求∠ADB的度数。
选做题：已知：如图，△ABC中， ∠B 和∠C的平分线BE，CF交点O.
求证： ∠BOC=90°+
∠A
【设计意图】分层次留作业，尊重学生的个性差异，让不同的学生在数学学习上都有收获和进步。
五、教学反思
这篇案例经过了精心设计，尤其是从“数”与“形”两个角度对辅助线作法的分析与探索，做了相当大的内容准备。
本节课教师主导作用的发挥也比较好，主要体现在让学生的主体地位得到充分展示。例如：证明方法的多样性，反映学生思维的多样性，学生个性的多样性；放手给学生，自己小结，体现不同学生有不同发展，然后通过小组交流得到互补。使学生感受到了学习的快乐，体会到了探究与发现带来的乐趣。教学中，我遵循的基本教学原则是激励学生展开积极的思维活动，不断的表扬学生，使学生感到自身的价值存在，给学生一个展示个性、享受成功的机会。
总之，本节课力求从学生实际出发，通过他们的实践、思考、探索、交流获得知识，形成技能，发展思维。存在的不足之处还恳请各位评委老师批评指正。
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视频来源：优质课网 www.youzhik.com
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