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视频课题：人教A版必修二高二 2.1.1平面-湖南省- 安徽
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人教A版必修二高二 2.1.1平面-湖南省- 安徽省滁州中学
教学设计
章节名称
必修2．1．1 平面 （第一课时）
学时
1
本节(课)
教学目标
情境与问题：通过一开始房屋、教室的图片，激发学生的兴趣，促进学生思考。 知识与技能： 理解平面的概念；能用文字语言、符号语言和图形语言表述空间中的直线与平面、平面与平面的位置关系，了解三个公理及其作用；通过实例和多媒体直观教学，培养学生的观察能力和空间想象能力；在数学试验中，提
高学生的抽象概括的能力。
思维与表达：通过对生活中平面及其性质的举例、分析、总结归纳过程，培养学生的逻辑推理能力以及体会类比的思想方法；学生经历自我概括抽象公理的过程，提高自身的抽象概括的能力。
交流与反思：这节课主要通过得到三个公理，培养学生数学抽象的能力，还是直观想象能力，提高学生的数学素养。
本节(课) 教学内容 的分析
“平面”是人教版高中数学必修2第2章的起始课．在第1章学生已经从整体角度认识了柱、锥、台、球等简单几何体的结构特征，接下来则需从局部的角
度认识空间几何元素点、线、面的位置关系，从而进一步认识空间图形，提高空间想象能力．通过本节课的学习，首先学生认识了新的几何元素“平面”及其性质，其次，学生首次经历将自然语言转化为图形语言和符号语言的过程， 再次，在直观感受的基础上形成三个公理，学生初步体会欧几里得公理化体系， 为后续学习做好准备．因此这节课是有其重要的地位与价值．
与本节
(课)相关 的学生特 征的分析
学生在初中初步学习了平面几何的相关知识，掌握了平面内点、直线的概念和
性质．在教学设计时，可以类比“直线”来研究“平面”．通过以前的学习，学生对平面几何已有一定的分析和推理能力，初步具备了学习点、直线、平面之间的位置关系的能力．但学生以前接触的大多是平面图形，习惯于在平面上解决问题，空间想象能力、思维能力较弱．
学法指导
在教学中我会尽量给学生灌输他们才是认知的主体，是教学的主体，更是课堂
的主角这一思想．遵循学生的认知规律，尽可能地激发学生的积极性，让学生经历知识的形成与发展过程，让学生自己成为学习知识的主动者，同时引导学生走出学习数学概念的烦琐与困境．让学生进一步学会学习，学会探究．
2
教学方法 启发式，问题导学法，实验法
教学重点 理解平面的特点和三个公理，以及能用三种语言表述直线与平面、平面与平面的位置关系．
教学难点
符号语言和图形语言的准确表示，学习公理的作用和意义．
教学过程
一、概念的引入
问题1：观察图中的房屋，有你熟悉的空间图形吗?
进一步从该物体中抽取一个长方体出来，追问： 长方体是由哪些几何元素构成的？
设计意图：从整体到局部，从现实世界中抽象出数学模型，这么一栋赏心
悦目的别墅竟然是由一些几何体组成的，让学生感受到自己生活在一个充满几何体的世界里！那么这些几何体到底是怎样的结构呢？接着，以学生熟悉的长方体为载体，提出新的问题，激发学生的兴趣，让学生感到学习数学是必要的、有用的．
点、线、面是空间图形的基本元素，它们构成了千姿百态的世界．本节我们就来研究点、线、面的位置关系。首先我们大家一起来探讨一下平面及其基本性质．
二、概念的生成
问题2：（1）生活中有哪些例子给了我们直线形象？（2）直线有哪些基本特征？（3）怎么表示直线？
学生通过讨论给出如黑板的边缘、空中划过的闪电等都给我们以直线的形象，从而教师明确数学中的“直线”就是从同学们所举的例子中抽象出来的． 学生进而给出直线的基本特征如：①直的；②向两边无限延伸；③无粗细．回忆了直线的表示方法：几何上用线段表示直线，但是两边可以无限延长；符号表
3
示是直线AB或者直线a．
设计意图：“抱住”直线学平面！学生曾经学习过直线这一概念，这是他们已有的经验．任何人在学习时总会与自己已有的知识相联系．把直线这一原始概念议论透．对直线概念的研究方法可以类比、迁移到对平面概念的研究中，这也有助学生理解抽象的平面概念．板书时笔者将以上内容作为一列写在黑板的左边，最上边写直线二字；之后，右边写上与直线相对应的平面的有关内容，最上边写平面二字，形成类比直线认识平面的效果．
问题3：（1）生活中有哪些例子给了我们平面的形象？（2）平面有哪些基本特征？（3）怎么表示平面？
学生交流举出“桌面”、“黑板面”、“光滑的玻璃”、“平静的水面”等，都给我们以平面的形象．再从这些直观印象中抽象出几何里所说的“平面”． 类比直线这一原始概念，不难得出平面具有“平的、无限延展、没有厚薄”的基本特征．再通过类比画线段表示直线，我们画矩形表示平面——观察角度原因——水平放置——成为平行四边形．符号上：类比直线的表示方法，将平面记作：平面ABCD，平面AC，平面．
设计意图：纵观平面概念的生成过程，我们通过类比直线认识了平面，学 生体会到概念形成过程是自然的，对概念理解达到概念学习的水平．同时把直观与抽象，比较与类比这些思维方法贯穿于教学之中．
三、性质的探究 1、公理2
在设计本节教学中，我打破了以往教学的传统，将教材中的公理2放在公理1之前介绍，主要是从学生的认知规律来考虑．首先，你得有一个平面，然后才好说与平面有关的事．
两点确定一条直线，那么两点能否确定一个平面？生说：不能．
老师继续提问：“在空间中至少需要几个点才能确定一个平面？是三个呢？还是四个、五个呢？”
请学生上台，动手做数学实验1． 数学实验1：
用手指头将一块硬纸板平衡地摆放在空间某一位置，至少需要几个手指？ 引导学生归纳出公理2．
设计意图：在动手操作、观察感悟中获取新知．通过做数学实验，让学生感受满足什么条件才可以确定一个平面，有利于降低学习难度，调动学生的学习积极性，增强学习兴趣，体会到该公理2的正确性．
公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．
预设：学生可能会忽略“不在同一条直线上”，教师提出问题：在同一直线上的三点，能否确定一个平面？学生回答不行，进一步让学生举出反例．也有学生可能会疑惑为什么是“三点可以确定一个平面？四点、五点可以吗？”另外，通过提问“经过不在同一条直线上的三点的平面只有一个吗？”让学生感受到“有且只有”的内涵．
师生共同探究：如何用图形语言表示公理2，及公理2的作用？ （因为学生第一次碰到文字语言转换为图形语言，确实对他们来说是一个 难点）
设计意图：给学生时间思考，画出图形，体会图形的直观．
师生共同体会公理2在生活中的简单应用．比如相机、测量仪器的三角架定位、三角形所在平面的稳定性等都是公理2的实际应用．
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公理2的内容不仅给出了确定一个平面的依据，即“过不在一条直线的三点有一个平面”；而且给出了这样的平面具有唯一性，即“有且只有一个平面”．另外，该公理还可以判断直线与平面的位置关系，如不共线的三点中任意取两点可以确定一条直线，则这条直线一定在不共线的三点确定的平面内，从而为公理1打下铺垫．
2、公理1
确定“平面”以后，接下来我们就会想到“点”、“线”和新的对象“面” 之间有什么关系了．我们主要探讨线与面，面与面的关系．
对新对象（平面）与已经有的对象（直线）关系的关注——满足什么条件就可以说直线a在平面内呢？
数学实验2：如果把硬纸板看作一个平面，把你的笔看作是一条直线的话： (1)你能使笔上的一个点在平面内，而其他点不在平面内吗？ (2)你能使笔上的两个点在平面内，而其他点不在平面内吗？ 引导学生归纳出平面的公理1．
设计意图：通过笔和课桌面直观感知原本难以想象的直线和平面的关系，有利于降低学习难度，调动学生的学习积极性，增强学习兴趣，体会到公理1的正确性．
公理1： 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内． 师生共同探究：如何用图形语言表示？
师生共同探究： 数学符号更简洁，如何用符号语言表示？
设计意图：点与面，直线与面之间用什么符号表示，让学生点燃思维的火花，最后体会线，面都是点的集合，所以可以借助集合语言表示．
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用PPT展示长方体ABCD-ABCD 中点、线、面的位置关系，用集合符号表示，由学生总结．
设计意图：进一步熟悉符号语言，也为以后符号语言的使用打下坚实的基础．
最后回到公理1的三种表示，总结三种语言的特点和公理1的作用． 公理1为我们提供了一种判断直线是否在平面内的方法，同时也为我们在纸面上画一条直线在平面内提供了理论依据．进一步分析，直线是向两边无限延伸的，无限延伸的直线放在平面上，说明平面也是向四周无限延展的．公理1用直线的“无限延伸性”来检查平面的“无限延展性”．
师生共同体会公理1在生活中的简单应用．比如工人用直棒检查桌面
是否平整，木匠将绳子拉紧，将两端置于桌旁，通过是否漏光来检查桌面是否平整．公理1用直线的“直”来检查平面的“平”．
3、公理3
数学实验3：把三角板的一个角立在课桌面上，三角板所在平面与桌面所在平面是否只相交于一点B？为什么？
引导学生归纳出平面的公理3．
公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
预设：可能学生在归纳公理3时会忽略“有且只有”，教师可通过提问：“两个不重合的平面，如果有一个公共点，因为平面是向四周无限延展的，那么一定有一条过该点的公共直线．它们还有除了这条交线以外的公共点吗？”帮助学生理解“有且只有”的内涵．
师生共同探究：如何用图形语言和符号语言来表示？ 师生共同体会公理3的作用．
例1 如图，用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系.
例2 空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的点，已知EH和FG相交于点P，求证：P点在直线BD上。
练习： 判断下列命题是否正确, 正确的在括号内划“√”, 错误的划 “×”．（课本练习题改编）
(1)平面与平面相交，它们只有有限个公共点． ( ) (2) 三点确定一个平面． ( ) (3) 经过两条相交直线有且只有一个平面． ( ) (4) 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面． ( ) 设计意图：通过练习，加深学生对三个公理的认识． 四、课堂小结
通过这节课的学习，你有什么收获?
师生共同就上述问题进行讨论、交流、总结，让学生充分发表自己的意见． 知识：通过这节课的学习，我们认识了平面及其基本的特征，初步感知了点、线、面的位置关系，并通过研究得到了三个公理：……．
方法：在本节课中，我们经历从具体与抽象、类比与比较的方法认识了新
A
B
β α a
l (1)
a
b
P l β
α
(2)
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的几何元素“平面”及其性质，同时还学习了用三种数学语言来表示这些知识． 希望大家能通过今天的学习能够初步建立起空间的观念．
思想：公理的出现，是一个由无到有的过程，并通过逐渐演绎推理，由少到多，由简到繁，进而得到我们现在学习、研究的几何体系，我们可以称这种思想方法为公理化思想．
实际上，今天我们不仅仅是在研究平面及其三个公理，也经历了公理的形成过程，即实验操作，直观感受，文字描述，图形、符号表示．
分层作业
必做：
（1) P43练习：1，4
(2) P51习题2．1A组：1,2 探究：如图是一个正方体表面的展开图，如果将它还原为正方体，那么AB， CD， EF，GH 这四条直线相互是什么位置关系?
视频来源：优质课网 www.youzhik.com
