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视频课题：初中数学人教版八年级上册第十四章x2+(p+q)x+pq型式子的因式分解-天津
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初中数学人教版八年级上册第十四章x2+(p+q)x+pq型式子的因式分解-天津市武清区杨村第九中学
x2+(p+q)x+pq型式子的因式分解
一、内容和内容解析 1、内容
x2+(p+q)x+pq型式子的因式分解 2、内容解析
因式分解是对整式的一种变形，它与整式乘法是互逆变形的关系。是学生后续学习分式、一元二次方程、二次函数等知识的基础，如后面学生对于分式基本性质的学习、分式加减法中的通分与分式乘除法中的约分等都要用到因式分解。因式分解是解决整式恒等变形和简便问题的重要工具。
前几节课中我们学习了提公因式法和公式法分解因式。但是面对一个在学生已有认知中没有
“规律”的x2
+bx+c的二次三项式，该如何去理解并完成因式分解呢？本节课介绍十字相乘法对这一类多项式进行分解因式，实质上是逆用(x＋p)(x＋q)乘法法则．它的一般规律是：对于二次项系数为1的二次三项式x2+bx+c，如果能把常数项c分解成两个因数p，q的积，并且p＋q为一次项系数b，那么它就可以运用公式 x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)分解因式．这种方法的关键是“拆常数项，凑一次项”．基于以上分析，确定本节课的教学重点：能较熟练地用十字相乘法把形如 x2+(p+q)x+pq的二次三项式分解因式。 二、目标目标解析 目标
经历探究x2+(p+q)x+pq型因式分解的过程，理解十字相乘法的根据 会用十字相乘法分解形如： x2+(p+q)x+pq的多项式 目标解析
达成目标（1）的标志是：学生能够从特殊的乘法公式的逆向思维转换到更加具有一般性的一次二项式乘一次二项式一般法则的逆运用上来。知道x2+bx+c应满足什么条件时可以因式分解，得出因式分解x2+bx+c的一般规律。
达成目标（2）的标志是：学生对于二次三项式x2+bx+c分解因式时，知道如何确定p、q的值，使它们的乘积等于常数项c，它们的和等于一次项系数b，知道公式中的x可以表示单项式，也可以表示多项式，当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同.并能按照此方法对多项式进行因式分解。 三、教学问题诊断分析
学生通过对前面知识的学习已经对因式分解有了较充分的认识。但是前面所进行的因式分解都是围绕着可以直接提取公因式的二次三项式或可以利用平方差公式和完全平方公式因式分解来展开的。学生在此基础上直接去面对一个既无法提取公因式，又不能运用平方差公式和完全平方公式进行因式分解的二次三项式x2+bx+c，学生会觉得手足无措，因此为了帮助学生理解并能够主动去探究x2+bx+c的因式分解规律，我们从一次二项式乘一次二项式的特殊公式法转换到一般法则，给予学生一个一般的解决问题的思路。这样能够帮助学生更好的理解十字相乘法的出处。学生在用十字相乘法分解因式过程中经常遇到的困难是不知道如何分解常数项，使它同时满足pq=c,p+q=b,解决此问题的关键是根据常数项和一次项系数的符号特点列出常数项分解成两个因数的积的各种可能情况；然后尝试其中的哪两个因数的和恰好等于一次项系数。
本节课的教学难点：把x2+bx+c分解因式时，准确地找出p、q，使p.q=c,p+q=b。 四、教学过程设计 1、复习导入：
问题1 前几节课我们学习了因式分解，首先请同学们先回忆一下什么叫做因式分解？ 因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这样的变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。
因式分解实质是和差化积与整式乘法是“积化和差”的过程正好（相反） 追问：之前我们都学习了哪些分解因式的方法？ 提取公因式法，公式法，
练习：请同学们观察下列多项式，判断它们哪些能用已学的方法进行因式分解？ （1）x2-9 (2)x2-5x (3)x2+8x+16 (4)x2+5x+6 (5)x2-3x+2
师生活动：教师提出问题，学生独立思考并回答问题。教师指出对于（4）（5）目前我们还无法对它进行因式分解，但并不能代表它们无法进行因式分解。这节课我们就来研究一下如何对这一类多项式因式分解。
设计意图：帮助学生回顾提取公因式法、平方差公式法、完全平方差公式法因式分解，同时也为本节课的教学做准备。 2、探索新知:
问题2：我们通过逆运用平方差公式和完全平方公式，得到了公式法因式分解。那么老师给你几个一般的整式乘法的式子，你得到的结果是什么样的呢？ （1）(x+3)(x+2) （2）(x-2) (x-1) （3）（x+4）(x-2) （4）（x-4）(x+1) 提升到字母表示：
pqxqpxqxpx)())((2
这个过程进行的是整式乘法运算，反过来可得 ))(x()(2
qxppqxqpx 这个过
程将和差的形式转化成积的形式,进行的是因式分解. 思考1：你能根据以下图形的面积说明这个公式吗？
追问：观察上面式子的特点，我们可不可以将和等式左边具有相同特点的多项式进行因式分解呢？方法是什么呢？
师生活动：教师提出问题，学生先独立思考，再互动交流，最后学生发现：等式左边的多项式具有如下特点(1)二次项系数是1(2)常数项是两个数之积(3)一次项系数是常数项两个因数之和就可以因式分解了。
设计意图：帮助学生从特殊的乘法公式的逆向思维转换到更加具有一般性的一次二项式乘一
次二项式一般法则的逆运用上来。
3、初步应用十字相乘法
我们可以看到对形如：x2
+(p+q)x+pq的多项式进行因式分解时,主要是通过讨论多项式各个项的系数来分解的,因此我们可以用一个简便的方法来分解这一类因式,即十字相乘法. 定义：利用十字交叉线来分解系数,把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法。
步骤
总结步骤：①竖分二次项与常数项
②交叉相乘，再相加
③检验确定，横写因式
顺口溜：竖分常数交叉验，横写因式不能乱。
师生活动：教师板书讲解师生共同交流。
设计意图：通过例题，让学生感知十字相乘法及其怎样进行“两拆一揍”，并规范学生解题格式。
4、巩固应用十字相乘法分解因式 (1) x2
+ 3x + 2 (2) x2 - 7x + 6 (3) x2 + x - 2 (4) x2 - 2x - 15 归纳填空:
(1)常数项是正数时,它分解成两个_______号因数,它们和 一次项系数符号_____. (2)常数项是负数时,它分解成两个_______号因数,其中绝对值较______的因数和一次项系数符号相同.
师生活动：4名学生板书，然后学生互动交流归纳出常数项分解时符号特点。。 设计意图：通过练习使学生熟练掌握用十字相乘法分解因式。 5、拓展提高
（1）-x2
-6x+16 (2) x2
-5xy+4y2
(3) x4
-5x2
+4 (4) (2x+y)2
-5(2x+y)+4 师生活动：学生独立思考，师生互动交流。
设计意图：通过此练习，提高学生对 x2+(p+q)x+pq型多项式因式分解的认识，让学生体会数学中的整体思想。
思考2：我们现在所研究的都是二次项系数是1的二次三项式用十字相乘法进行因式分解，那么当二次项的系数不是1，而是其他数字时呢？
例如：3x2
-2x-1
6、归纳小结
这节课主要学了什么？你有什么收获？
设计意图：帮助学生进一步巩固所学知识，并培养学生总结归纳能力。 7、布置作业
1、分解因式：
(1) x2
+ 9x + 8 (2) x2
- 10 + 24 (3) x2
- 9x - 10 (4) x2
- 3x - 28
2、(1)若多项式学x2
-8x+m可分解为(x-2)(x-6）则m的值为 . (2)若多项式x2
-kx-12可分解为(x-2)(x+6）则k的值为 . (3)若多项式x2-2x+m可分解为(x+3)(x-n) 求m、n的值.
3．先阅读学习，再求解问题：
材料：解方程：01032
xx
解：原方程可化为 （x+5）（x-2）=0 ∴x+5=0或 x-2=0 由x+5=0得x=-5 由x-2=0得x=2
∴x=-5或 x=2为原方程的解。 问题：解方程：x2
-2x=3。
设计意图：考查学生十字相乘法因式分解的掌握情况。 8、板书设计
9、课后反思
因式分解与整式的乘法实际上是互逆的两个运算过程。本节课通过类比探究公式法因式分解的由来，从一般的整式乘法算式入手，对公式(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq进行观察研究，发现反过来就是x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)，学生思考后发现，对于二次三项式x2+bx+c的因式分解，关键就是找两个数p、q使：p+q=b，pq=c，，因此，就可以借助十字相乘法将这类因式进行分解。本节课强调了学生的自主探究和分组合作相结合。还给了学生足够的空间，展现了学生的思维过程。不足之处：大部分同学都能积极主动参与，但是少数学生，参与意识不强，在以后教学中本人将努力改进。
视频来源：优质课网 www.youzhik.com
