联系本站客服加+微信号15139388181 或QQ：983228566 |
视频标签：函数的单调性
所属栏目：高中数学优质课视频
视频课题：高中数学人教A版必修一1.3.1《函数的单调性与最大（小）值》甘肃省优课
本视频配套资料的教学设计、课件 /课堂实录及教案下载可联本站系客服
高中数学人教A版必修一1.3.1《函数的单调性与最大（小）值》甘肃省优课
1.3.1函数的单调性与最大（小）值
（第一课时）教学设计
一、教材分析
(一) 教材的地位和作用
从单调性知识本身来讲.学生对于函数单调性的学习共分三个阶段，第一阶段是在初中学习了一次函数、二次函数、反比例函数图象的基础上对增减性有一个初步的感性认识；第二阶段是在高一进一步学习函数单调性的严格定义，从数和形两个方面理解单调性的概念；第三阶段则是在高三利用导数为工具研究函数的单调性。
单调性是函数的第一个重要性质，从知识结构上看，它既是函数概念的延伸和扩展，又为后续研究指数函数、对数函数、幂函数的单调性奠定了基础，对进一步探索、研究函数的其他性质有着示范作用,它在整个高中数学知识中起着承上启下的作用 (二)教材的重难点
重点：函数单调性的概念，判断并证明函数的单调性. 难点：引导学生归纳出函数单调性的定义以及根据定义证明函数
的单调性.
二、学情分析
1.有利因素：在初中阶段，学生对函数的单调性已经有了“形”的直观认识，知道用“y随x的增大而增大或减小”描述图像的“上升”或“下降”， 具备一定的观察、类比、分析、归纳的学习能力. 2. 不利因素，甘肃甘南是民族地区，绝大多数学生是民族生，
根据民族生的特点，识记是强项，但逻辑思维水平不高,抽象概括能力不强,推理论证能力也比较薄弱,还需要在单调性定义的形成和用定义证明函数的单调性的过程中进一步培养和加强. 三、教学目标 (一)知识与技能：
1、理解函数单调性的概念。
2、会根据函数的图像判断函数的单调性。 3、能根据单调性的定义证明函数的单调性。 (二)过程与方法：
1、培养学生利用数学语言对函数单调性概念的概括能力。
2.利用函数图像判断函数的单调性，使学生领会数形结合的数学方法。
3、通过用定义法证明函数的单调性，进一步加强学生的逻辑推理能力。
(三)情感态度与价值观：
1.通过学生熟悉的生活背景导入，激发学生学习数学的兴趣。 2.通过问题串的引入，学生积极参与教学活动，获得成功的体验，增强了学生学习数学的信心。 四、教学模式：
(一) 教学模式：四步导学
1.创设情境，导入课题； 2.探索归纳，形成概念 3.实践训练，深化理解； 4.总结反思，提高认识
(二) 模式的基本理念：以学生为主体，注重概念的形成过程和定义
的应用实践。
(三) 模式的基本原则：直观感受，启发引导，巩固训练。 (四) 模式的实施策略：以学生熟悉的生活背景导入，以单调性定义
的形成和应用为主线，按“四步导学法”完成一本节课的教学。 五、教学方法
1.教法：启发引导法、从抽象到具体，从特殊到一般的方法. 2.学法：数形结合法、小组合作探究法、类比法。 六、教学过程：
教学环节 教学内容
学生活动
设计意图 环 节 一
一、创设情境，导入课题
情景1.上图是2016年8月20日在我们甘肃省甘南藏族自治州举行的
“2016早子沟金矿杯甘南藏地传奇自
行车赛”24小时内的气温变化图，请同学们
观察图象，然后思考两个问题。
问题1 怎样描述气温随时间的增大而变化的情况？
问题2 怎样用数学语言来刻画上述时段内“随着时间的增大气 温逐渐升高”这一特征？
学生通过对图像的观察，进行思
考问题1,2.
以学生熟悉的事物为背景提出问题， 激发学生的学习兴趣，为突破难点做好铺垫,从而自然导入课题。
二、探索归纳，形成概念
温故知新 ：由已知的直观图象探究函数单调性的概念 问题1：观察如图一次函数和二次函数的图象，指出上面两个图象在哪个区间是上升的，哪个区间是下降的？
学生回答： 1）函数y=x的图象从左到右上升，即在区间（-∞，+
用提问的方式，引导学生用图形语言和自然语言对函数单调性进行描述，合理设置层次，为揭示函数单调性定义
环 节 二
﹙1﹚y=x ﹙2﹚2yx
问题2;观察2
yx 的图象，换一种角度
分析随自变量x 的变化，对应函数值y 的
变化情况？
问题3：如何用符号语言描述“随着 x 的增大，相应的 y 随着增大”“随着x 的增大，相应的 y 随着减小”
图形语言→文字语言→符号语言
特殊→一般 抽象→具体 感性→理性
1.增函数的定义：
一般地，设函数f(x)的定义域为I:如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2 ，当12xx时，都有
12()()fxfx，那么就说函数f(x)在区间
D上是增函数。
问题4：同学们能否类似地得出减函数的定
∞）都上升. 2）函数2yx在y轴的左侧(-∞,0]下降、右侧（0,+∞)上升.
图形语言→文字语言
在y轴右侧，y随x增大而增大； 在y轴左侧，y随x增大而减小.
任取 x1、x2∈（0,+∞)，
当12xx时，都有12()()fxfx，
任取
x1、x2∈(-∞,0)， 当12xx时，都有12()()fxfx，
问题3：同学们能否类似地得出减函数的定义？（学生
讨论、回答）
的本质做好铺垫。
从图象直观感知函数单调性，完成对函数单调性的第一次认识．
引导学生将图像语
言、自然语言转化为符
号语言，把对单调性的
认识由感性上升到理性
认识的高度。
.
把对单调性的认识由感性上升到理性认识的高度,完成对概念的第二次认识．事实上也给出了证明单调性的方法，为第三阶段的学习做好铺垫.
环 节 二 环 节 三
义？（学生讨论、类比回答） 学生回答：略 师生共同得出： 2.减函数的定义：
一般地，设函数f(x)的定义域为I:如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2 ，当
12xx时，都有
12()()fxfx，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数。
3.单调区间定义：
如果函数yfx在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数yfx在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做
yfx的单调区间.
三、实践训练，深化理解
例1 下图是定义在区间
5,5上的函数
yfx，根据函数图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？ 师生活动：学生观察图象，独立完成，教师解答学生在解决问题过程中出现的问题．如： ①单调区间是定义域的子集； ②本题中，如果用并集符号，不符合单调性定义； ③本题中，区端点处有意义，那么区间开
通过问题进一步分析概念中关键词的含义，提
升对概念的准确
理解。
学生能够通过函数
图象说出函数的单调区间，加深对函
数单调性概念的理解．分析解决问题
针对学生可能出现
的问题，组织学生
讨论、交流。
例1的解决让学生
学会通过函数图象来判
断函数的单调区间及在
各区间的单调性。
学生进一步理解单
调函数定义，巩固证明单调函数的方法，并谨
慎使用并集符号。
环 节 三
闭都可以． 强调：多个单调区间用“，”或“和”字，不用并集符号“∪” 例2.证明函数()21fxx在R上是减
函数．
证明：任取2121,∈,xxRxx<且, 取值 1212()()(21)(21)fxfxxx
1212
12212121222()2()xxxxxxxx ,021xx<< 0-12>∴xx
∴,0)(-)(21>xfxf即),()(21xfxf> ∴函数()21fxx在R上是减函数
总结证明函数单调性的步骤：
1.取值:任取x1、x2属于给定区间，且
12xx；
2.作差:差12()()fxfx；
3.变形：变形的常用方法有:因式分解、配
方、有理化等；
4.定号:确定12()()fxfx的正负； 5.判断（下结论）:由定义得出函数的单调性。 练习：
1.用定义法证明函数1
yx
的单调性.
2.证明 函数(0)k
ykx
的单调性.
分析：
根据学情分析，在
处理例2时，考虑
到学生对作差后的变形和对因式符号
的判断有一定的难度，教学中，我采
取一边分析，一边板演证明过程的方
法来解决这一难题，然后提炼基本
步骤，强化变形的
方向和符号判定方
法，接着让学生板
演实践。
学生独立完成。教师解答学生遇到的问题。如：区间分别为减函数，是否能将两个区间并起来说是减函数。 学法指导： 1、分区间判断函数的单调性. 2、一般地，作差后要变形到因式的积或商的形式利于判断性质符号.
通过例2，既巩固了函数单调性的概念，也让学生领悟到利用定义证明函数单调性的基本步骤。
练习为了使学生对函数单调性的定义和判断函数单调性的方法有更进一步的理解和掌握。
环 节 四
四、归纳小结，提高认识
1.增函数、减函数的定义； 2.图象法判断函数的单调性：增函数的图象
从左到右上升，减函数的图象从左到右下降. 3.（定义法）证明函数单调性的步骤：设值、作差、变形、判号、下结论。
学生小组合作，交
流展示，教师指导
评价 学生回顾，总结.
以自我小结的形式，回顾与梳理本节知识。可帮助学生自行构建知识体系，理清知识结构，尽快将所学知识内化为素质。
环 节 五 布置作业：
1、课本习题P39页A组1、2（必做） 2、画出函数 的图像，判断它的单调性，并加以证明。（选做）
学生通过作业进行课外反思，通过思考发散
针对我校高一学生素质的差异，采取分层作业，满足不同层次学生的要求。
七、板书设计：
1.3.1函数的单调性与最（大）小值
一. 情景导入 二、概念形成
1.增函数的定义 2.减函数的定义
3.单调函数
三.应用举例 例1
例2
设计意图：加深学生对重点知识的理解和掌握，反馈学生的评价信息。 七、教学反思与评价：
课题：函数的单调性
【学法指导】
学生利用15分钟先精读一遍教材 ，用红色笔进行勾画；再针对预习自学二次阅读并回答，找出自己的疑惑和需要讨论的问题准备课上讨论质疑。
【学习目标】
`1.准确了解增函数，减函数的概念及其定义；
2. 掌握某些简单的函数单调性的判定方法及用定义证明函数的单调性的方法；
【学习重点与难点】
重点：掌握判断函数单调性的判断方法：定义法和图象法，学会运用函数图象研究函数的性质；
难点：..能够熟练的掌握用定义法证明函数单调性及其步骤.
【预习案】阅读教材第27-29页，找出疑惑之处，完成新知学习
1、增函数：设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1) f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是 .
2、减函数：设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1
、x2，当x1<x2时都有f(x1) f(x2).那么就是f(x)在这个区间上是 .
3、单调区间：如果函数f(x)在某个区间D上是增函数或减函数，就说f(x)在这一区间上具有（严格的）单调性，区间D叫f(x)的单调区间.
【预习自测】首先完成教材上P32第1、2、3题； P39第1、3题；然后做自测题
1．判断
在（0，+∞）上是 函数（填“增”、“减”）
【借助图象，抛物线开口向_____，对称轴为直线_______，当
（0，+∞）时，图象呈_____趋势，因此，在（0，+∞）上是______函数】
2．判断
在（ —∞，1）上是 函数（填“增”、“减”）【方法同上】
3．下列函数中，在（0，2）上为增函数的是（ ）
（A）y=
（B） y=2x-1 （C） y=1-x （D）y=
4． 函数y=-1的单调递 区间为
5．证明函数f(x)=3x+2在R上是增函数。【利用定义进行证明】
【我的疑问】
【课内探究】首先独立思考探究，然后合作交流展示
探究一：单调性相关概念
实践：画出函数y=x 和 y= x2的图象.
讨论：1、（1）你能描述上面函数的图像特征吗？
（2）根据y=x 和 y= x2的图象随x的增大，函数值怎样变化？当x
>x
时，f(x)与f(x)的大小关系怎样？
(3)写出函数的单调区间
2：根据下图说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，函数是增函数还是减函数.
增区间：_______________,函数是____函数；
减区间：_______________,函数是____函数.
思考：答案能否写成
在区间
上是减函数，在区间
上是增函数？
思考并回答：（1）在增函数(减函数)的:定义中指出定义中的关键词句。
（2）增函数的定义中，把“当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)”改为“当x1>x2时，都有f(x1)>f(x2)”，这样行吗?增函数的定义中，“当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)”反映了函数值有什么变化趋势?函数图象有何特点?
（3）从图象上来看增函数：从左向右看,图象是＿＿＿（选填：上升、下降）的；
从图象上来看减函数：从左向右看,图象是＿＿＿（选填：上升、下降）的；
（4）所有函数是不是都具有单调性？
（5）函数的单调区间与函数定义域有何联系？
探究二:增函数、减函数的证明或判断
问题1 判断函数单调性的方法有哪些？
问题2 根据增函数或减函数的定义，你认为证明函数f(x)在区间D上单调性的一般步骤有哪些？
例1 下图是定义在区间
上的函数
，根据函数图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？
师生活动：学生观察图象，独立完成，教师解答学生在解决问题过程中出现的问题．
探究点三: 用定义证明函数单调性的应用
例2.证明函数
在
上是减函数．
随堂练习：
1. 函数
的单调增区间是（ ）
A. 
B. 
C. R D.不存在
2、若函数
是R上的减函数，则有（ ）
A.
B. 
C. 
D. 
3. 在区间
上为增函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
+5
4.函数y=
的单调减区间为
5. 函数
的单调递增区间是 ，单调递减区间是 .
【个人收获与问题】
知识：
方法：
【课堂小结】
【课后反思】
《函数的单调性》教学反思
在研究函数的性质时，函数的单调性是一个重要的内容，实际上，在初中学习函数时，已经重点研究了一些函数的性质，只是当初时研究较为粗略，未明确给出有关增减性的定义。对于函数增减性的判断也主要根据观察图象得出，而本小节内容，正是初中有关内容的深化和提高。由于函数图象是发现函数性质的直观载体，因此在本节教学时可以充分利用学生熟悉的背景“藏地自行车赛的气温图”创设教学情境，以利于激发学生的学习兴趣，进而探究函数的单调性，还要特别重视让学生经历这些概念的形成过程，以便加深对单调性的理解。
通过函数的单调性教学，我从以下方面对自己的教学作一个完整的反思，以便更好的发现不足之处，及时调整，让学生更好的学习。
1、教学基本流程：
本节课的基本流程如下框图所示，整节课由浅入深，由具体到抽象，符合学生的认知规律。
从观察具体函数图象引入 →直观认识增（减）函数 →定量分析增（减）函数
↓
利用定义证明函数单调性←由图象说出函数单调区间←给出增（减）函数定义
↓
练习、交流、反馈、巩固→学生归纳小结、教师评价
2、教学重点难点：
本节内容的教学重点确立为：函数单调性的概念及判断或证明函数单调性的方法步骤。又因为教学对象是高一新生，并且根据我们民族生的实际情况，准确进行逻辑推理比较困难，所以把判断或用定义证明函数单调性确立为教学难点。
3、难点化解与教法选择：
为了使学生能够更好的掌握重点，理解难点，能够从知识上、能力上、得到尽可能大的发展，我采取启发诱导、从到具体到抽象，从特殊到一般的教学方法，同时又强调了数形结合的思想方法，比较成功的化解了难点。
首先创设情境、激发兴趣。研究实际生活中学生比较熟悉的“藏地自行车赛气温图”问题，充分调动学生积极性，营造亲切活跃的课堂氛围；渗透建模思想，培养学生应用数学的意识，通过实例使学生感受单调性的内涵，缩短心理距离，降低理解难度。
其次，探索新知。引导学生经历直观感知、观察发现、 归纳类比的思维过程， 发展数学思维能力。 针对函数图象，依据循序渐进原则，设计三个问题，让学生先通过画函数y=x 和 
图象感知函数的增减性，同时教师利用多媒体的优势，展示图象，使学生理解增减函数定义。同时鼓励学生各抒己见，教会学生与人合作，强化概念的理解，然后师生合作得出增减函数、函数单调性、单调区间的定义，在对单调性的定义举例应用，最后设计随堂练习，达到细、深、全面的理解定义，学生经历了“再创造知识”的过程，利于发展创新意识。
再次，巩固新知，由感性到理性，引导学生逐步探究利用图象判断函数的单调性和根据定义判断或证明函数的单调性两种方法。体验了数学方法发现和创造的历程。探究时先以基本初等函数为载体，再深化扩展为函数的一般性质。从而理解掌握二次函数、一次函数、反比例函数的单调性。为后面的学习及综合应用奠定基础，同时培养学生的创新意识和逻辑思维能力。
4、教学预设与改进：
原本预设学生在回答二次函数图象变化规律是上升还是下降会出错，结果有两位学生出错，一位回答图象是上升的，一位回答图象是下降的，在强调指出：在同一个观察任务中必须按照一定的标准，观察的顺序应沿x轴的正方向即“从左向右”后，错误理解得到解决。
预设x1>x2 时有f(x1)>f(x2),函数为增函数学生会出错，结果真就多数学生出错，在多次变换形式后，学生对增减函数的定义式才算理解并得以掌握。
总之，本节课的教学过程有得有失，基本完成目标要求，感觉比较成功。数学教学中需要反思的地方很多，我们在教学过程中只有勤分析，善反思，不断总结，我们的教育教学理念和教学能力才能与时俱进，创造更多的辉煌。
今后，我会在上好一堂课的同时，结合新课程的教学理念进行相应的教学反思，以便不断提高自己的业务能力和教学水平，从而更好的服务于学生。
视频来源：优质课网 www.youzhik.com
