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视频标签：函数的单调性
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视频课题：高中数学人教A版必修一1.3.1《函数的单调性》黑龙江省优课
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高中数学人教A版必修一1.3.1《函数的单调性》黑龙江
函数的单调性
一、内容与内容解析
本节课是普通高中课程标准试验教科书《数学》（必修1）中第一章《集合与函数概念》第三节的第一课时.
观察函数图象时，首先注意到的是图象的上升或下降（单调性），但是由图象直观获得的结论还需要从数量关系的角度通过逻辑推理加以确认.应充分利用函数图象，让学生观察图象获得对函数基本性质的直观认识，这样可以充分体现数形结合的思想.要特别重视一般性质的概括过程，引导学生用数学语言表达出来，是形成数学概念，培养学生探究能力的契机.
函数是描述事物变化规律的的数学模型，如果了解了函数的变化规律，那么也就基本掌握了相应事物的变化规律，因此研究函数性质是非常重要的.在探究函数性质的过程中，首先，观察图象，描述函数图象特征；其次，结合图、表，用自然语言描述函数图象特征；最后，用数学符号的语言定义函数性质.这体现了研究函数性质的一般过程. 因此，函数单调性的学习为进一步学习函数的其它性质提供了方法依据.
函数单调性的探究过程蕴含了丰富的数学思想方法.首先，由图象概括自然语言和数学符号语言的过程充分渗透了数学结合的思想，由一些函数满足的特征推广为一般函数的性质体现了特殊到一般的推理方法.由区间上增函数类比得到区间上的减函数的概念让学生体会到类比推理的方法.在习题处理中能够培养学生严谨的逻辑推理能力.
函数的单调性是函数众多性质中的非常重要性质之一，函数的单调性一节中的知识是今后研究具体函数的单调性理论基础；在解决函数值域、定义域、不等式、比较两数大小等具体问题中均有着广泛的应用；在历年的高考中对函数的单调性考查每年都有涉及；数形结合思想的应用将贯穿于我们整个高中数学教学.
因此，本节课的教学重点是：对区间上的增函数概念的探究过程.
二、目标和目标解析
（一）教学目标
1.通过对大量函数图象的观察，总结函数图象的变化趋势，根据图象上点的坐标的数值对比抽象概括变化规律，掌握单调性的相关概念.
2.学会把图形语言、自然语言及数学符号语言的逐步转换.在转换过程中渗透数学结合、特殊到一般的思想方法.并能理解应用数形结合思想解决相关函数性质的探究过程.
3.突出语言表达能力、抽象概括及逻辑推理能力的培养和良好思维习惯的养成，并能运用图形计算器等信息技术手段解决问题的能力，增强学生的应用意识.
（二）目标解析
1.学生学习了函数的表示方法，对函数图象仅仅停留在直观感知基础上，对于函数变化规律的抽象概括经验缺乏，因此通过学生的亲自动手绘图感受函数单调性的图形语言，进而抽象概括相应概念作为本节课的重要学习目标.
2.有效的数学学习活动，不应只限于接受、记忆、模仿与练习，数学思想的领悟和知识的灵活运用更是如此．利用生活中的数学问题，让学生在学习过程中自主探索、动手实践、合作交流，共同探究.鼓励学生在学习过程中，养成独立思考、积极探索的习惯.让学生体验数学发现和创造的历程.
3.以函数的单调性为基本探究内容，为学生提供充分自由表达、质疑、探究、讨论问题的机会，让学生通过个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动，在知识的形成、发展过程中展开思维，逐步培养学生发现问题、探索问题、解决问题的能力和抽象概括、严谨性思维的能力，渗透利用图象发现、概括、抽象数学问题的探究方法。培养利用信息技术手段解决问题的能力.
三、教学问题诊断分析
学生学习了函数相关概念之后，对于函数图象还停留在直观感知和操作层面上，对于概念的形式化定义缺乏经验，要求用准确的数学符号语言去刻画图象的上升与下降，这种由形到数的翻译，从直观到抽象的转变对高一的学生是比较困难的；这个困难主要发生在概念形成过程中由特殊到一般的过渡，也就是定义中任意的理解.利用单调性定义判断函数的单调性的过程中，学生比较大小的能力不够，主要原因还是数学的符号表达能力欠缺.由于是学生第一次接触函数的性质，所以对于定义的探究过程和理解需要更加的明确和扎实，进而为后续学习打好坚实的基础．
教学难点：把函数单调性的自然语言转化为数学符号语言.
四、教学支持条件分析
教材的编写有其严密的逻辑体系．函数知识的编写遵循着由简单到复杂，由特殊到一般再到特殊的认知规律．由“静”到“动”，“微观”到“宏观”地展现知识的形成过程，有利于学生构建完整的知识体系．课程标准中也要求利用图形计算器等多媒体辅助学生理解学习中的概念、性质和结论.在函数单调性定义的学习过程中，如果仅利用几个学生已知的函数图象，观察一下，然后给出定义，学生对于概念的理解牵强且不够深刻全面.因此利用图形计算器可以让学生自己画函数图象，尤其还可以画一些不认识的函数图象，使得图象类型越丰富学生理解越全面.在抽象归纳定义时可以在函数图象上追踪点的坐标，进而利用对偶图实现图与表的动态对比，充分体会形与数的变化规律，有助于学生对概念的抽象概括和理解.总之，利用图形计算器进行过程化教学，突出数学本质；利用图形计算器展开数学实验，培养探究能力.
五、教学过程设计
（一）图象感知，初步描述
引例 ：请同学们解决下面的问题：（教材23页第二题改编)
寻找与下述三件事分别吻合度最好的图象？（横坐标为时间，纵坐标为离家的距离）
1、你离开家不久，发现自己把作业忘在家里了，于是返回家里找到了作业本再上学；
2、我骑着车一路匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽误了一些时间；
3、我出发后，为了赶时间逐渐加速.
A B C
同学们，我们把时间作为自变量，离家的距离作为函数值.利用函数图象的不同变化趋势反映生活中的不同运动背景.也就是说可以利用函数的变化规律研究相应事物的变化规律.
师生活动：教师提问，学生思考、回答.从身边的数学问题中感受函数图象的变化趋势.
【设计意图】通过贴近生活的实例，让学生积极参与到问题的探究中来，渗透研究函数性质可以解决生活中的实际问题.函数图象中蕴含丰富的函数性质，向学生渗透借助函数图象发现并研究函数性质的方法，使学生体会数形结合的数学思想.
设问1：请同学们利用手中的计算器画3个函数图象,观察函数图象的变化趋势,选择其中一个图象，总结函数图象从左至右的升降情况.
师生活动：教师提问，学生思考、回答.教师引导学生利用图形计算器通过已有的认知基础绘制函数图象，观察图象，总结归纳.
教师搜集学生画好的图象展示出来，共同明确某些函数都能找到定义域内的一个区间使得图象是连续不断的上升或者是连续不断的下降.这种某个区间上的连续上升或连续下降反映了函数的一个局部性质单调性.
需要说明的是常函数和图象为离散点的函数不具备单调性.单调性是函数的局部性质.
学生理解说明常函数的图象没有升降变化，离散的点不连续.单调性是针对定义域的某个子区间讨论的.
【设计意图】既复习了上节课函数图象的内容，又可以调动学生的积极主动性参与到课堂中来，在图象中寻找特征，自主观察、发现函数性质，感受用图形语言描述定义.函数图象类型越丰富学生的体验越全面.
（二）提高认识，定性描述
设问2：初中是如何描述函数图象是从左至右逐渐上升和函数图象是从左至右逐渐下降呢？
师生活动：教师提问，学生思考、回答.
设问3：利用解析式
来描述随自变量
值的变化，函数值
的变化情况.
师生活动：教师提问，学生思考、回答. 教师明确函数的单调性利用图形语言刻画为升降变化，利用自然语言刻画为随自变量的变大函数值变大或变小.高中阶段继续研究利用数学的符号语言(即利用自变量和函数值的数量关系)刻画单调性.
设问4：已知函数在区间
上随自变量的增大函数值也增大，（1）比较
的大小；（2）比较
的大小.
师生活动：教师提问，学生思考、回答.
【设计意图】以学生已有的认知为基础，回忆初中用图形语言、自然语言描述函数的单调性.实现初高中的知识衔接，体会知识的螺旋式上升，为后续精确的定量描述做好铺垫.
设问5：若函数满足
，能否推出函数在区间上随自变量的增大函数值也增大？
师生活动：教师提问，学生小组讨论研究举出反例.选择两名学生到黑板画出反例，在选择两名学生利用图形计算器画出相对复杂的函数图象作为反例.
【设计意图】选择学生容易出现错误认知的环节，充分探讨研究，明确利用确定的几个自变量和相应函数值的大小关系无法推出函数在区间上随自变量的增大函数值也增大，为后续定量刻画提供思考的方向.
（三）抽象概括，定量描述.
设问6：借助手中的图形计算器，选择某个函数的一段上升图象，结合对偶图功能 ，研究如何利用自变量的大小关系和函数值的大小关系来刻画函数在此区间上随自变量的增大函数值也增大？
师生活动： 给学生充分的发现、总结、探讨的空间和时间.尝试从图形语言和自然语言描述转换到数学语言的定量刻画.
教师做好探究的引导工作：
1、函数图象上点的纵坐标等于横坐标为自变量所对的函数值即函数图象上的点可以记为
.
2、利用图形计算器追踪点和对偶图功能，从左至右观察函数图象上的点，其坐标是如何变化的？
3、一个点无法刻画升降，图象中坐标的大小变化是两两比较得出的结论，所以需要用两个点的高低比较明确升降.
4、如何用两个点
的横、纵坐标的数量关系刻画随自变量的增大函数值也增大？
5、为了实现利用有限的两个点代替这段图象上所有的点的变化，这两个点在函数图象上应该如何选取？
【设计意图】在定义的探究过程中，有两个方面是学生理解的难点：其一，利用两个点的坐标值的大小关系来描述图象的上升趋势；其二，两个自变量取值的任意性。为此教师的引导学生，从形的角度看点的变化.从数的角度看坐标的变化. 从函数的角度看自变量和函数值如何变化.利用图形计算器的对偶图的功能，实现图和表的动态同时对比，帮助学生实现形和数的转化，最终感知利用描述任意的两个点的坐标大小的不等式，刻画整个函数图象的上升趋势，通过“任意”实现有限和无限之间的转化.同时体现图形计算器辅助教学的作用.
设问7：梳理整个探究过程，请同学们概括若满足什么条件，则是区间上的增函数.
师生活动：教师提问，学生思考、回答.教师引导学生区间上的增函数初中阶段描述是图象在此区间上呈上升趋势，函数值随自变量的增大而增大.高中阶段我们要从数量关系上利用数学的符号语言加以精确刻画.
回顾探究过程中的关键点：定义域的子区间—函数的局部性质；任意两个自变量的值；自变量与函数值的同增.教师在整个探究中适时设问点拨，帮助学生明确关键点.进而明确定义
一般地，设函数的定义域为
：如果对于定义域内某个区间
上的任意两个自变量的值
，当
时，都有
，那么就说函数在区间上是增函数.
【设计意图】回顾总结探究的关键环节，为定义做好充分的铺垫，使得定义的归纳水到渠成. 区间上的增函数的探究过程非常重要，不仅对减函数的定义具有类比作用，而且对后续函数的学习都有积极的示范作用，学生探究的过程要充分、深刻，争取形成一定的指导性作用.
（四）巩固认识，深化概念
习题1、选择图形计算器中绘制一个函数图象，寻找此函数的增区间.
师生活动：学生动手操作，利用单调性的图形语言寻找单调区间.
【设计意图】从最基础的图象语言学会寻找单调区间，利用图形计算器增大课堂的知识容量.体会形的直观，渗透数的精确，感受如果没有计算器要想确定单调区间，需要从数量关系上即数学语言研究函数的单调性的必要性.
2、证明函数是上的增函数.
证明：任取
且, ………………………设元
………………………作差
………………………整理
又
即 ………………… 定号
∴函数是上的增函数． ……………………结论
师生活动：教师示范板书，学生口答，探讨推理步骤.教师引导学生总结利用单调性定义证明函数单调性的步骤：设元，作差，整理，定号，结论.
【设计意图】巩固、强调定义的内容，培养学生的逻辑推理和抽象表达能力.
3、设函数是定义在区间
上的减函数， (1)试比较
的大小；（2）若
，求
的取值范围.
师生活动：教师提问，学生思考、回答.教师引导学生从不同角度解决问题.
【设计意图】明确定义是等价命题.
设问8：请同学们类比区间上的增函数的定义得出区间上的减函数的定义.
一般地，设函数的定义域为：如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值，当时，都有
，那么就说函数在区间上是减函数.
教师给出单调性、单调区间定义
如果函数
在区间上是增函数或减函数，那么就说函数在这一区间具有（严格的）单调性，区间叫做的单调区间.
【设计意图】类比得出区间上的减函数的定义，渗透类比推理的方法，对后续函数的学习具有积极的示范作用.
（五）知识梳理, 总结回顾
设问7：通过本节课的学习，大家从知识和能力上谈谈你的收获.
【1】明确定义中注意事项
1、定义域的子区间—函数的局部性质，任意，同增异减；
2、单调区间可以是定义域，也可以是定义域的子区间；
3、单点不具备单调性；
4、单调区间不要随便写并集，多个区间用逗号相隔.
【2】利用定义证明单调性的基本步骤：设元，作差，整理，定号，结论.
【3】定义的等价性
1、利用已知条件推出函数的增减性；2、已知函数增减性比较大小.
【4】探究定义中用到的数形结合、从特殊到特殊、类比转化等数学思想方法.
师生活动：教师引导学生从基础知识和方法手段、注意事项等方面进行总结.
【设计意图】由学生总结整节课中学习的内容，教师适时补充，帮助巩固学习成果，提高学习的系统性和规范性.
思考题1、判断正误，说明理由：（1）若函数满足对于任意的
，则此函数在区间上是增函数.（2）函数满足是
上的减函数，同时也是
上的减函数，则满足是
上的减函数.
思考题2、讨论函数
函数的单调性
授课教师：哈尔滨师范大学附属中学 王健
一、内容与内容解析
本节课是普通高中课程标准试验教科书《数学》（必修1）中第一章《集合与函数概念》第三节的第一课时.
观察函数图象时，首先注意到的是图象的上升或下降（单调性），但是由图象直观获得的结论还需要从数量关系的角度通过逻辑推理加以确认.应充分利用函数图象，让学生观察图象获得对函数基本性质的直观认识，这样可以充分体现数形结合的思想.要特别重视一般性质的概括过程，引导学生用数学语言表达出来，是形成数学概念，培养学生探究能力的契机.
函数是描述事物变化规律的的数学模型，如果了解了函数的变化规律，那么也就基本掌握了相应事物的变化规律，因此研究函数性质是非常重要的.在探究函数性质的过程中，首先，观察图象，描述函数图象特征；其次，结合图、表，用自然语言描述函数图象特征；最后，用数学符号的语言定义函数性质.这体现了研究函数性质的一般过程. 因此，函数单调性的学习为进一步学习函数的其它性质提供了方法依据.
函数单调性的探究过程蕴含了丰富的数学思想方法.首先，由图象概括自然语言和数学符号语言的过程充分渗透了数学结合的思想，由一些函数满足的特征推广为一般函数的性质体现了特殊到一般的推理方法.由区间上增函数类比得到区间上的减函数的概念让学生体会到类比推理的方法.在习题处理中能够培养学生严谨的逻辑推理能力.
函数的单调性是函数众多性质中的非常重要性质之一，函数的单调性一节中的知识是今后研究具体函数的单调性理论基础；在解决函数值域、定义域、不等式、比较两数大小等具体问题中均有着广泛的应用；在历年的高考中对函数的单调性考查每年都有涉及；数形结合思想的应用将贯穿于我们整个高中数学教学.
因此，本节课的教学重点是：对区间上的增函数概念的探究过程.
二、目标和目标解析
（一）教学目标
1.通过对大量函数图象的观察，总结函数图象的变化趋势，根据图象上点的坐标的数值对比抽象概括变化规律，掌握单调性的相关概念.
2.学会把图形语言、自然语言及数学符号语言的逐步转换.在转换过程中渗透数学结合、特殊到一般的思想方法.并能理解应用数形结合思想解决相关函数性质的探究过程.
3.突出语言表达能力、抽象概括及逻辑推理能力的培养和良好思维习惯的养成，并能运用图形计算器等信息技术手段解决问题的能力，增强学生的应用意识.
（二）目标解析
1.学生学习了函数的表示方法，对函数图象仅仅停留在直观感知基础上，对于函数变化规律的抽象概括经验缺乏，因此通过学生的亲自动手绘图感受函数单调性的图形语言，进而抽象概括相应概念作为本节课的重要学习目标.
2.有效的数学学习活动，不应只限于接受、记忆、模仿与练习，数学思想的领悟和知识的灵活运用更是如此．利用生活中的数学问题，让学生在学习过程中自主探索、动手实践、合作交流，共同探究.鼓励学生在学习过程中，养成独立思考、积极探索的习惯.让学生体验数学发现和创造的历程.
3.以函数的单调性为基本探究内容，为学生提供充分自由表达、质疑、探究、讨论问题的机会，让学生通过个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动，在知识的形成、发展过程中展开思维，逐步培养学生发现问题、探索问题、解决问题的能力和抽象概括、严谨性思维的能力，渗透利用图象发现、概括、抽象数学问题的探究方法。培养利用信息技术手段解决问题的能力.
三、教学问题诊断分析
学生学习了函数相关概念之后，对于函数图象还停留在直观感知和操作层面上，对于概念的形式化定义缺乏经验，要求用准确的数学符号语言去刻画图象的上升与下降，这种由形到数的翻译，从直观到抽象的转变对高一的学生是比较困难的；这个困难主要发生在概念形成过程中由特殊到一般的过渡，也就是定义中任意的理解.利用单调性定义判断函数的单调性的过程中，学生比较大小的能力不够，主要原因还是数学的符号表达能力欠缺.由于是学生第一次接触函数的性质，所以对于定义的探究过程和理解需要更加的明确和扎实，进而为后续学习打好坚实的基础．
教学难点：把函数单调性的自然语言转化为数学符号语言.
四、教学支持条件分析
教材的编写有其严密的逻辑体系．函数知识的编写遵循着由简单到复杂，由特殊到一般再到特殊的认知规律．由“静”到“动”，“微观”到“宏观”地展现知识的形成过程，有利于学生构建完整的知识体系．课程标准中也要求利用图形计算器等多媒体辅助学生理解学习中的概念、性质和结论.在函数单调性定义的学习过程中，如果仅利用几个学生已知的函数图象，观察一下，然后给出定义，学生对于概念的理解牵强且不够深刻全面.因此利用图形计算器可以让学生自己画函数图象，尤其还可以画一些不认识的函数图象，使得图象类型越丰富学生理解越全面.在抽象归纳定义时可以在函数图象上追踪点的坐标，进而利用对偶图实现图与表的动态对比，充分体会形与数的变化规律，有助于学生对概念的抽象概括和理解.总之，利用图形计算器进行过程化教学，突出数学本质；利用图形计算器展开数学实验，培养探究能力.
五、教学过程设计
（一）图象感知，初步描述
引例 ：请同学们解决下面的问题：（教材23页第二题改编)
寻找与下述三件事分别吻合度最好的图象？（横坐标为时间，纵坐标为离家的距离）
1、你离开家不久，发现自己把作业忘在家里了，于是返回家里找到了作业本再上学；
2、我骑着车一路匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽误了一些时间；
3、我出发后，为了赶时间逐渐加速.
A B C
同学们，我们把时间作为自变量，离家的距离作为函数值.利用函数图象的不同变化趋势反映生活中的不同运动背景.也就是说可以利用函数的变化规律研究相应事物的变化规律.
师生活动：教师提问，学生思考、回答.从身边的数学问题中感受函数图象的变化趋势.
【设计意图】通过贴近生活的实例，让学生积极参与到问题的探究中来，渗透研究函数性质可以解决生活中的实际问题.函数图象中蕴含丰富的函数性质，向学生渗透借助函数图象发现并研究函数性质的方法，使学生体会数形结合的数学思想.
设问1：请同学们利用手中的计算器画3个函数图象,观察函数图象的变化趋势,选择其中一个图象，总结函数图象从左至右的升降情况.
师生活动：教师提问，学生思考、回答.教师引导学生利用图形计算器通过已有的认知基础绘制函数图象，观察图象，总结归纳.
教师搜集学生画好的图象展示出来，共同明确某些函数都能找到定义域内的一个区间使得图象是连续不断的上升或者是连续不断的下降.这种某个区间上的连续上升或连续下降反映了函数的一个局部性质单调性.
需要说明的是常函数和图象为离散点的函数不具备单调性.单调性是函数的局部性质.
学生理解说明常函数的图象没有升降变化，离散的点不连续.单调性是针对定义域的某个子区间讨论的.
【设计意图】既复习了上节课函数图象的内容，又可以调动学生的积极主动性参与到课堂中来，在图象中寻找特征，自主观察、发现函数性质，感受用图形语言描述定义.函数图象类型越丰富学生的体验越全面.
（二）提高认识，定性描述
设问2：初中是如何描述函数图象是从左至右逐渐上升和函数图象是从左至右逐渐下降呢？
师生活动：教师提问，学生思考、回答.
设问3：利用解析式来描述随自变量值的变化，函数值的变化情况.
师生活动：教师提问，学生思考、回答. 教师明确函数的单调性利用图形语言刻画为升降变化，利用自然语言刻画为随自变量的变大函数值变大或变小.高中阶段继续研究利用数学的符号语言(即利用自变量和函数值的数量关系)刻画单调性.
设问4：已知函数在区间上随自变量的增大函数值也增大，（1）比较的大小；（2）比较的大小.
师生活动：教师提问，学生思考、回答.
【设计意图】以学生已有的认知为基础，回忆初中用图形语言、自然语言描述函数的单调性.实现初高中的知识衔接，体会知识的螺旋式上升，为后续精确的定量描述做好铺垫.
设问5：若函数满足，能否推出函数在区间上随自变量的增大函数值也增大？
师生活动：教师提问，学生小组讨论研究举出反例.选择两名学生到黑板画出反例，在选择两名学生利用图形计算器画出相对复杂的函数图象作为反例.
【设计意图】选择学生容易出现错误认知的环节，充分探讨研究，明确利用确定的几个自变量和相应函数值的大小关系无法推出函数在区间上随自变量的增大函数值也增大，为后续定量刻画提供思考的方向.
（三）抽象概括，定量描述.
设问6：借助手中的图形计算器，选择某个函数的一段上升图象，结合对偶图功能 ，研究如何利用自变量的大小关系和函数值的大小关系来刻画函数在此区间上随自变量的增大函数值也增大？
师生活动： 给学生充分的发现、总结、探讨的空间和时间.尝试从图形语言和自然语言描述转换到数学语言的定量刻画.
教师做好探究的引导工作：
1、函数图象上点的纵坐标等于横坐标为自变量所对的函数值即函数图象上的点可以记为.
2、利用图形计算器追踪点和对偶图功能，从左至右观察函数图象上的点，其坐标是如何变化的？
3、一个点无法刻画升降，图象中坐标的大小变化是两两比较得出的结论，所以需要用两个点的高低比较明确升降.
4、如何用两个点的横、纵坐标的数量关系刻画随自变量的增大函数值也增大？
5、为了实现利用有限的两个点代替这段图象上所有的点的变化，这两个点在函数图象上应该如何选取？
【设计意图】在定义的探究过程中，有两个方面是学生理解的难点：其一，利用两个点的坐标值的大小关系来描述图象的上升趋势；其二，两个自变量取值的任意性。为此教师的引导学生，从形的角度看点的变化.从数的角度看坐标的变化. 从函数的角度看自变量和函数值如何变化.利用图形计算器的对偶图的功能，实现图和表的动态同时对比，帮助学生实现形和数的转化，最终感知利用描述任意的两个点的坐标大小的不等式，刻画整个函数图象的上升趋势，通过“任意”实现有限和无限之间的转化.同时体现图形计算器辅助教学的作用.
设问7：梳理整个探究过程，请同学们概括若满足什么条件，则是区间上的增函数.
师生活动：教师提问，学生思考、回答.教师引导学生区间上的增函数初中阶段描述是图象在此区间上呈上升趋势，函数值随自变量的增大而增大.高中阶段我们要从数量关系上利用数学的符号语言加以精确刻画.
回顾探究过程中的关键点：定义域的子区间—函数的局部性质；任意两个自变量的值；自变量与函数值的同增.教师在整个探究中适时设问点拨，帮助学生明确关键点.进而明确定义
一般地，设函数的定义域为：如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说函数在区间上是增函数.
【设计意图】回顾总结探究的关键环节，为定义做好充分的铺垫，使得定义的归纳水到渠成. 区间上的增函数的探究过程非常重要，不仅对减函数的定义具有类比作用，而且对后续函数的学习都有积极的示范作用，学生探究的过程要充分、深刻，争取形成一定的指导性作用.
（四）巩固认识，深化概念
习题1、选择图形计算器中绘制一个函数图象，寻找此函数的增区间.
师生活动：学生动手操作，利用单调性的图形语言寻找单调区间.
【设计意图】从最基础的图象语言学会寻找单调区间，利用图形计算器增大课堂的知识容量.体会形的直观，渗透数的精确，感受如果没有计算器要想确定单调区间，需要从数量关系上即数学语言研究函数的单调性的必要性.
2、证明函数是上的增函数.
证明：任取且, ………………………设元
………………………作差
………………………整理
又
即 ………………… 定号
∴函数是上的增函数． ……………………结论
师生活动：教师示范板书，学生口答，探讨推理步骤.教师引导学生总结利用单调性定义证明函数单调性的步骤：设元，作差，整理，定号，结论.
【设计意图】巩固、强调定义的内容，培养学生的逻辑推理和抽象表达能力.
3、设函数是定义在区间上的减函数， (1)试比较的大小；（2）若，求的取值范围.
师生活动：教师提问，学生思考、回答.教师引导学生从不同角度解决问题.
【设计意图】明确定义是等价命题.
设问8：请同学们类比区间上的增函数的定义得出区间上的减函数的定义.
一般地，设函数的定义域为：如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说函数在区间上是减函数.
教师给出单调性、单调区间定义
如果函数在区间上是增函数或减函数，那么就说函数在这一区间具有（严格的）单调性，区间叫做的单调区间.
【设计意图】类比得出区间上的减函数的定义，渗透类比推理的方法，对后续函数的学习具有积极的示范作用.
（五）知识梳理, 总结回顾
设问7：通过本节课的学习，大家从知识和能力上谈谈你的收获.
【1】明确定义中注意事项
1、定义域的子区间—函数的局部性质，任意，同增异减；
2、单调区间可以是定义域，也可以是定义域的子区间；
3、单点不具备单调性；
4、单调区间不要随便写并集，多个区间用逗号相隔.
【2】利用定义证明单调性的基本步骤：设元，作差，整理，定号，结论.
【3】定义的等价性
1、利用已知条件推出函数的增减性；2、已知函数增减性比较大小.
【4】探究定义中用到的数形结合、从特殊到特殊、类比转化等数学思想方法.
师生活动：教师引导学生从基础知识和方法手段、注意事项等方面进行总结.
【设计意图】由学生总结整节课中学习的内容，教师适时补充，帮助巩固学习成果，提高学习的系统性和规范性.
思考题1、判断正误，说明理由：（1）若函数满足对于任意的，则此函数在区间上是增函数.（2）函数满足是上的减函数，同时也是上的减函数，则满足是上的减函数.
思考题2、讨论函数
视频来源：优质课网 www.youzhik.com
