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视频标签：函数的单调性
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视频课题：高中数学人教A版必修一1.3.1《函数的单调性》重庆市优课教学设计
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高中数学人教A版必修一1.3.1《函数的单调性》重庆市优课教学设计
§1.3.1函数的单调性
一、教学内容解析
本节课内容是《普通高中课程标准实验教科书数学》人教A版必修1第一章《集合与函数概念》1.3《函数的基本性质》中第1.3.1节《单调性与最大（小）值》的第一课时，本节教学内容为函数的单调性．函数的单调性是学生在了解函数概念后学习的函数的第一个性质．也是第一个用数学符号语言来刻画的概念.函数的单调性与函数的奇偶性、周期性一样，都是研究自变量变化时，函数值的变化规律；学生对于这些概念的认识，都要经历直观感受、文字描述和严格定义三个阶段，即都从图象观察，以函数解析式为依据，经历用符号语言刻画图形语言，用定量分析解释定性结果的过程.因此，函数单调性的学习为进一步学习函数的其它性质提供了方法依据.
函数的单调性既是函数概念的延续和拓展，又是后续研究指数函数、对数函数、三角函数的单调性等内容的基础，在研究各种具体函数的性质和应用、解决各种问题中都有着广泛的应用．函数单调性概念的建立过程中蕴涵诸多数学思想方法，对于进一步探索、研究函数的其他性质有很强的启发与示范作用．函数的单调性是学习不等式、极限、导数等其它数学知识的重要基础，是解决数学问题的常用工具，也是培养学生逻辑推理能力和渗透数形结合思想的重要素材.
在研究单调性过程中，经历观察图象，描述函数图象特征；结合图、表，用自然语言描述函数图象特征；用数学符号语言定义函数性质的过程．体现了对函数研究的一般方法．加强“数”与“形”的结合，由直观到抽象；由特殊到一般．为进一步学习函数其他性质提供了方法依据．
在对函数单调性的探究过程中，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过对函数单调性的证明，提高学生的推理论证能力；让学生感知从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程．
二、教学目标设置
（一）学习目标
1．知识与技能：能从形与数两方面理解函数单调性的概念，掌握判别函数单调性的方法；
2．过程与方法：通过实例让学生亲历函数单调性从直观感受、定性描述到定量刻画的自然跨越，体会数形结合、分类讨论和类比等思想方法。
3．情感态度与价值观：通过探究函数单调性，让学生感悟从具体到抽象、从特殊到一般、从局部到整体、从有限到无限、从感性到理性的认知过程，体验数学的理性精神和力量。
（二）目标解析
1．能够以具体的例子说明某函数在某区间上是增函数还是减函数；能够举例，并通过绘制图形说明函数在定义域的子集（区间）上具有单调性，而在整个定义域上未必具有单调性，说明函数的单调性是函数的局部性质.对于一个简单的函数能够用单调性的定义，证明它是增函数还是减函数.
2．在探究函数单调性定义时，领悟到数形结合思想、转化思想、变化与对应思想，并能运用这些数学思想观察、分析函数的图象，探究、归纳、概括函数单调性的概念．
3．通过对函数单调性定义的探究，经历观察、分析、探究、归纳的认知过程，将函数图象的“上升”或“下降”这一特征能用该区间上“任意的
，都有
”的数学语言进行刻画.从函数
入手归纳函数单调性定义推广到一般函数的单调性定义.培养良好的思维品质，提高思维能力．
三、学生学情分析
学生已有的认知基础是，初中学习过函数的概念，初步认识到函数是描述事物运动变化规律的数学模型，并且学习了一次函数、二次函数及反比例函数，能熟练的利用描点法画出这些函数的图象.进入高中以后又进一步学习了函数概念，认识到函数是两个非空数集间的一种对应．知道函数有三种表示方法，充分认识到一个函数中自变量与函数值的对应关系，可以利用图象表示函数中函数值随自变量
的变化而变化的规律和性质.
教学中，通过一次函数、二次函数等具体的函数图象及数值变化特征的研究，得到“图象是上升的”，即“
随着的增大而增大”，仅就图象角度直观描述函数单调性的特征，学生并不感到困难.困难在于，把具体的、直观形象的函数单调性特征抽象出来，用数学的符号语言描述.即把某区间上“随着的增大而增大”这一特征用该区间上“任意的，都有”进行刻画.其中最难理解的是为什么要在区间上“任意”取两个大小不等的
．并初步提出单调递增的说法，通过图象观察，提出猜想，经历讨论、交流、验证使学生克服思维障碍，经历从直观到抽象、具体到一般的形成知识的过程．
四、重、难点分析
重点：函数单调性的概念；
难点：函数单调性概念的形成过程。
五、教学策略分析
在学生认识函数单调性的过程中会存在两方面的困难：一是如何把“y随x的增大而增大（减小）”这一描述性语言“翻译”为严格的数学符号化语言，尤其抽象概括出用“任意”刻画“无限”现象；二是用定义证明单调性的代数推理论证。对高一学生而言，作差后的变形和因式符号的判断也有一定的难度。
为达成课堂教学目标，突出重点，突破难点，我们主要采取以下形式组织学习材料：
（1）创设生活情境，找准切入点．函数是描述事物运动变化规律的模型，生活中很多运动变化的现象都值得去关注，让学生通过观察江津区四面山某天气温变化曲线图的变化趋势，完成对单调性直观上的一种认识，并为概念的引入提供了必要性．让学生带着问题（什么是函数的单调性？怎样判定函数的单调性？）进入新课．
（2）探索概念阶段，紧扣主线．在函数图象上“谱好”函数单调性教学的“三步曲”．
①以学生熟悉的函数为例，让学生从图象上获得“上升”“下降”的整体认识，初步认识函数单调性．
②通过观察函数的
对应值表格提出猜想，通过几何画板软件加以验证，用数学语言“随着的增大而增大” 来描述 “函数
的图象在
轴右侧是上升的”，进一步认识函数单调性．
③通过观察、猜想、分析、验证、证明的过程，从而用数学符号语言定描述函数在
的单调性.最后通过类比，用数学符号语言定义一般函数的单调性．
（3）注重思想方法的培养．从函数图象的观察出发，经历从直观到抽象，从图形语言到数学符号语言，进而理解增函数、减函数、单调区间概念的过程中，感悟数形结合思想、特殊到一般思想．掌握通过观察图象，先对函数是否具有某种性质做出猜想，然后通过逻辑推理，证明这种猜想的正确性，这一研究函数性质的常用方法．
（4）在“引导探索”阶段。 首先创设认知冲突，让学生意识到继续学习的必要性；然后设置递进式“问题串”，借助多媒体引导学生对“y随x的增大而增大”进行探究、辨析、尝试、归纳和总结，并回顾已有知识经验，实现函数单调性从“直观性”到“描述性”再到“严谨性”的跨越。
（5）在“学以致用”阶段。 首先通过看图说出单调区间，形成对概念正确、全面而深刻的认识。 然后教师示范用定义证明函数单调性的方法，一起提炼基本步骤，强化变形的方向和符号判定方法。
六、学习探究过程
实例: 请观察江津区四面山某日24小时内的气温变化图，你能说出这一天的气温变化趋势吗？
预设：学生的关注点不同，如气温的最值，某时刻的气温，某时间段气温的升降变化（若学生没指明时间段，可追问），等。 图象在某区间上（从左往右）“上升”或“下降”的趋势反映了函数的一个基本性质——单调性（板书课题）。
设计说明：从气温变化图导入新课，直观形象感知气温变化，自然引入函数的单调性。
函数是描述事物变化规律的数学模型。 如果清楚了函数的变化规律，那么就基本把握了相应实物的变化规律。在事物变化过程中，保存不变的特征就是这个事物的性质。因此，研究函数的变化规律是非常有意义的。
（二）自主探究
问题1:任意写出一个函数的解析式及定义域(1) 列出一些自变量x的值，计算相应的y值；(2) 画出草图，观察图像的上升、下降趋势，并指出y值随x的增大如何变化。
步骤：
1．个人独立完成或学习小组合作完成 2分钟
2. 展示探究成果 2分钟
设计说明：学生回答时可能会漏掉“在某区间上”，规范表达“函数在哪个区间上具有怎样的单调性”。 借此强调函数的单调性是对定义域内相对某区间而言的，是函数的局部性质。
问题2.（1）如何用数学符号描述函数图象的“上升”特征，即“y随x的增大而增大”？
以二次函数
在区间
上的单调性为例，用几何画板动画演示“y随x的增大而增大”，生成表格（每一秒生成一对数据）。
横坐标为X，纵坐标为Y，横坐标与纵坐标的变化情况y随x的增大而增大”，用数学符号语言表示这一变化趋势，学生思考、讨论得出，若
，则必须有
。
（2）已知
，若有
。能保证函数
在区间
上递增吗？
在区间
上取两个点，能保证递增吗？拖动“拖动点”改变函数
在区间
上的图象，可以递增，可以先增后减，也可以先减后增。
（3）已知
，若有
，能保证函数
在区间
上递增吗？
在区间
上取三个点，能保证递增吗？
拖动“拖动点”，观察函数
在区间
上的图象变化。
设计说明：先让学生讨论交流、举反例，然后借助几何画板动态说明验证两个定点不能确定函数的单调性，三个点也不行，无数个点行不行呢？引导学生过渡到符号化表示，呈现知识的自然生成。
（4）已知
，若有
，能保证函数
在区间
上递增吗？
在区间
上取无数个点呢？大家讨论一下
设计说明：可先请持赞同观点的同学说明理由，再请持反对意见的学生画出反驳，然后追问：无数个
也不能保证函数递增，那该怎么办呢？若学生回答全部取完或任取，追问“总不能一个一个的验证吧？”
紧接着师生一起回顾子集的概念，（PPT展示教材上子集定义）再次体验对“任意一个”进行操作，实现“无限”目标的数学方法，体会用“任意”来处理“无限”的数学思想。
问题3：对于一般的函数
定义域为I，在区间D上，我们应当如何给增函数下定义？
一般地，设函数
的定义域为
：
如果对于定义域
内的某个区间
上的任意两个自变量的值
，当
时，都有
，那么就说函数
在区间
上是增函数．
师生活动：学生思考、发言，教师补充、板书．
【
设计意图】体现了对函数研究的一般方法：由特殊到一般的思想方法．
问题4：类比增函数的定义，对于一般的函数
，我们应当如何给减函数下定义？
教师引导学生通过类比、观察、验证、交流后，得出减函数定义
师生活动：小组讨论，代表发言交流．
例1 下图是定义在区间
上的函数
，根据函数图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？
师生活动：学生观察图象，独立完成，教师解答学生在解决问题过程中出现的问题．如：
注意：①单调区间是定义域的子集，在书写时区间与区间之间用逗号隔开。如果用并集符号，不符合单调性定义；
②本题中，因为孤立的点没有单调性，所以区间端点处若有定义写开写闭均可
【
设计意图】学生能够通过函数图象说出函数的单调区间，加深对函数单调性概念的理解．
例2．反比例函数
的单调性
①画出反比例函数
的图象，并说出函数的定义域
是什么？
②它在定义域
上的单调性是怎样的？证明你的结论．
师生活动：学生讨论，代表发言，提出猜想，证明猜想．、
分析：问1：除了图象法判定函数单调性还有什么方法？
2：如何用定义法判定函数单调性？
3：用定义判定函数单调性的关键是什么？（提示如何比较3和2的大小，从而引入作差法）
【
设计意图】学生体会：通过数形结合思想的运用，观察图象，先对函数是否具有某种性质进行猜想，然后通过逻辑推理，证明这种猜想的正确性，是研究函数性质的一种常用方法．
思考：物理学中的玻意耳定律
(
为正常数)告诉我们，对于一定量的气体，当其体积
减小时，压强
将增大．试用函数的单调性证明之．
【
设计意图】利用单调性证明物理学中的玻意耳定律，学生感受到函数单调性的初步应用；熟悉用定义证明函数为增（减）函数的基本步骤．
（四）回顾反思，深化认识
课堂小结： 通过本节课的学习，你的主要收获有哪些？
（关键词：三种语言，证明方法，数学思想，情感体验，等。）
① 概念探究过程：直观到抽象、特殊到一般、感性到理性．
2证明方法和步骤：取值并规定大小、作差并判断差值的正负、下结论．
③数学思想方法和思维方法：数形结合，等价转化，类比等．
【
设计意图】使学生深切体会到本节课的主要内容和思想方法．
（五）布置作业
1.基础达标：第39页习题1.3 A组：1、2；
2.思考探究：函数
定义域内的某个区间D上任意两个自变量
的值，当
时，都有
，则函数
在区间D上是 ．（填“增函数”或“减函数”）
（六）板书设计
函数的单调性
递增：（板书定义）
递减：（学生类比） |
例题（提炼步骤，明确变形方向）
练习（学生板演） |
§1.3.1 函数的单调性
重庆市江津田家炳中学校 曹坤容
【学习目标】
1．知识与技能：能从形与数两方面理解函数单调性的概念，掌握判别函数单调性的方法；
2．过程与方法：通过实例让学生亲历函数单调性从直观感受、定性描述到定量刻画的自然跨越，体会数形结合、分类讨论和类比等思想方法。
3．情感态度与价值观：通过探究函数单调性，让学生感悟从具体到抽象、从特殊到一般、从局部到整体、从有限到无限、从感性到理性的认知过程，体验数学的理性精神和力量。
【
学习重难点】
重点：函数单调性的概念；
难点：函数单调性概念的形成过程。
【学习探究过程】
实例: 请观察江津区四面山某日24小时内的气温变化图，你能说出这一天的气温变化趋势吗？
（二）引导探索，生成概念
问题1:任意写出一个函数的解析式及定义域(1) 列出一些自变量x的值，计算相应的y值；(2) 画出草图，观察图像的上升、下降趋势，并指出y值随x的增大如何变化。
问题2：（1）如何用数学符号描述函数图象的“上升”特征，即“y随x的增大而增大”？
（2）已知
，若有
。能保证函数
在区间
上递增吗？
（3）已知
，若有
，能保证函数
在区间
上递增吗？
（4）已知
，若有
，能保证函数
在区间
上递增吗？
问题3：对于一般的函数
定义域为I，在区间D上，我们应当如何给增函数下定义？
问题4：类比增函数的定义，对于一般的函数
，我们应当如何给减函数下定义？
例1. 下图是定义在区间
上的函数
，根据函数图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？
例2．反比例函数
的单调性
①画出反比例函数
的图象，并说出函数的定义域
是什么？
②它在定义域
上的单调性是怎样的？证明你的结论．
思考：物理学中的玻意耳定律
(
为正常数)告诉我们，对于一定量的气体，当其体积
减小时，压强
将增大．试用函数的单调性证明之．
（四）回顾反思，深化认识
课堂小结： 通过本节课的学习，你的主要收获有哪些？
（五）布置作业
1.基础达标：第39页习题1.3 A组：1、2；
2.思考探究：函数
定义域内的某个区间D上任意两个自变量
的值，当
时，都有
，则函数
在区间D上是 ．（填“增函数”或“减函数”）
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