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人教A版高中数学必修一第一章《信息技术应用 用计算机绘制函数图像对勾函数的单调性与最值》浙江省 - 绍兴

视频标签：算机绘制,函数图像对勾函数,单调性与最值

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视频课题：人教A版高中数学必修一第一章《信息技术应用 用计算机绘制函数图像对勾函数的单调性与最值》浙江省 - 绍兴

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信息技术应用 用计算机绘制函数图像 
                 ——对勾函数0a
yxax的单调性与最值 
 
1 教材分析 
本节内容是人教A版必修一1.3节函数的基本性质——信息技术应用 用计算机绘制函数图像.函数图像将抽象的函数直观化，具体化，丰富了函数在人们脑中的知识网络，为我们研究函数及其性质提供了便捷. 
笔者将本节内容放在了学生学习了第二章基本初等函数之后，并以对勾函数为依托进行授课.此举主要出于以下3个原因.（1）教材将用计算机绘制函数图像放在函数基本性质之后，可能是考虑到学生初学高中函数定义及其基本性质，理解上有一定难度，而函数图像可以降低函数的抽象性，降低理解难度.而且之后学基本初等函数时，学生也可自己画函数图像，帮助他们学习.但笔者考虑到如果在函数基本性质之后直接教用计算器画函数图像，可画的函数一般都是学生已经会画的，对学生的吸引力较小.而基本初等函数是高中数学的几个重要函数.如果加入了这些函数， 课堂的函数素材会大大增加，增加对学生的吸引力，激起他们的求知欲望，也更能让学生体会到用计算器画函数图像的强大性与便捷性.（2）函数图像是研究函数性质的有力工具.因此本节课在教学生画图时，进一步教学生如何利用函数图像读取函数性质.（3）选取对勾函数作为教学内容是因为对勾函数是高中数学中一个比较重要的函数模型，有丰富的函数性质.而人教A版教科书（2007）没有单独给对勾函数安排课时，因此将它放在这一节.学生在系统学习对勾函数知识的同时，也可将他们在必修一第一章，第二章所学函数知识进行巩固应用. 
2 学情分析 
此课面向高一学生，他们刚学完人教A版必修一第一章、第二章，有一定知识基础.对勾函数在平时作业会遇到，但没有系统学过.用图形计算器画函数图像的过程学生在课堂上多次看教师演示过，但没有进行实际操作.学生早已这个图形计算器充满好奇，跃跃欲试.因此，本节课的内容处于学生的最近发展区，是学生迫切想要学习的知识. 
3 教学目标 3.1知识与技能 
 
                    
             
                    
                            （1）会用图形计算器画具有函数解析式的函数图像. （2）掌握用函数单调性定义证明对勾函数单调性. 
（3）会根据对勾函数及其复合函数的图像研究函数单调性与最值. 3.2过程与方法 
（1）经历用图形计算器画对勾函数图像的过程来熟悉用图形计算器画函数图像的操作，熟悉对勾函数图像. 
（2）经历用图形计算器变换对勾函数图像的过程，研究对勾函数单调性与最值. （3）利用图形计算器画出复合函数及其里函数、外函数的图像来研究复合函数单调性. 3.3情感态度与价值观 
体会用计算器画函数图像的便捷性和实用性，感受函数图像变换之美.培养数学抽象、直观想象、数学运算、逻辑推理、数据分析等核心素养. 
4 教学重难点 
教学重点：利用图形计算器探究对勾函数单调性与最值. 教学难点：利用图形计算器探究对勾函数及其复合函数的单调性. 5 教学工具 
Microsoft Office PowerPoint、图形计算器与白板的交互使用.图形计算器使用的是德州仪器TI-nspire CX-C. 
6 教学过程 
6.1新知引入——探究具体对勾函数的单调性与最值 问题1：你能利用图形计算器画出函数的图像，并探究它的单调性与最值吗？ 师生活动：生可能的操作为运用图形计算器①新建文档，添加图形，输入；②利用菜单中的“窗口缩放”功能，缩放窗口，观察图形的整体与细节，大致确定函数单调
区间；③ 利用菜单中的“图像分析”功能，研究函数在0，与的最值.师观察指导.预设部分教学片段如下. 
师：从函数的图像中，你们观察出了它具有怎样的单调性，有几个单调区间吗？ 
1
yxx

1fxxx

0+，
1
yxx

                    
             
                    
                            生（全体）：函数图像像两个对勾，有4个单调区间. 
师：（投影多个采用不同坐标尺寸的学生的计算器屏幕）因为图像像对勾，所以人们叫它对勾函数，还有些人叫它耐克函数、勾函数、双飞燕函数等.那具体是哪四个单调区间呢？ 
生1：（投影生1的计算器屏幕，如图1）函数在1，上单调递增，在10，上单调递减，在01，上单调递减，在上单调递增.   
图1 生1所做的图像 师：你是怎么做出这个单调区间的？ 生1：边说边操作. 师：函数的最值呢？ 
生(全体)：在整个定义域上不存在. 
师：在0x，上是否存在最值？在上是否存在最值？ 生（全体）：当0x，时，，无最小值.当时，，无最大值. 
设计意图：学生实际操作，实际演示，可以让他们更加熟悉图形计算器的操作，为后续画图打下基础.选取最基础的对勾函数进行研究，符合学生认知规律. 6.2新知探究——探究对勾函数单调性与最值的一般性结论 问题2：你能利用图形计算器探究的单调性与最值吗？ 1
yxx

1
+，1
yxx

0+，
max12fxf0+x，min12fxf1
yxx

0a
yxax


                    
             
                    
                            师生活动：生可能的操作为利用图形计算器的“游标”功能，建立参数的游标，拖动a的值，进行观察探究.师观察指导，然后展示生2的计算器屏幕（如图2），让他动态展示对于不同的，单调区间的变化.引导他说出函数在a，，
a，上是增函数，在0a，，
0a，上是减函数.且当0x，时，，无最小值.当时，，无最大值. 
 
图2 生2所做的图像 设计意图：合理利用图形计算器功能，探究参数a对函数图像的影响，从而让学生归纳出函数的单调性与最值规律，锻炼学生直观想象、数据分析和逻辑推理等核心素养. 
6.3新知证明 
问题3：你能证明函数的单调性吗？ 师生活动：生在草稿纸上写下证明过程.师巡视指导，并邀请生3上去板演，再对板演过程进行点评. 
设计意图：华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形少数时难入微.因此利用图形得到的结论，还需用代数证明，这体现了数学的严谨性与数形结合思想，考察了学生利用单调性定
0aa0aaa
yxx

0a
yxax


max2fxfaa0+x，
min2
fxf
aa0a
yxax

0a
yxax
0a
yxax


                    
             
                    
                            义证明函数单调性的知识掌握情况. 
6.4新知深化——探究函数00b
yaxabx

，的单调性 问题4：你能说出函数00b
yaxabx

，的单调区间吗？ 师生活动：生可能的操作为①从形的角度：利用图形计算器，探究参数的变化对函数图像的影响，从而归纳出函数00b
yaxabx

，的单调区间.②从数的角度：将函数解析式变形为00bb
ayaxaxabxx

，，所以
00byaxabx，在区间ba，，上是增函数，在0ba，，0ba
，上是减函数.③从数的角度：利用单调性定义，类比问题3进行求解.师巡视观察，并请采用不同方法求解的生4，生5，生6回答问题，再进一步请学生回答函数00b
yaxabx

，的最值情况. 设计意图：探究对勾函数更一般情况的单调性与最值，推广了结论的适用范围，锻炼了学生数学抽象、数学运算、数据分析等核心素养. 
6.5知识应用 
例1：求下列函数的单调减区间： 
（1）；  
（2）. 师生活动：生可能的操作为①利用纸笔求解.②利用图形计算器画出复合函数及其里函数、外函数的函数图像，根据图像结合数学运算求出复合函数单调区间.教师引导学生可利用②的方法进行求解.具体讲解时，例1（1）教师现场演示画函数图像过程，并引导学生集体回答解题过程，理解复合函数“同增异减”.例1（2）展示生7所做的函数图像（如图3），并叫他分享解题过程，教师板演. 
,ab+ba，212
21
logxfxx1x
x
fxee
 
                    
             
                    
                             
图3  生7在回答例1（2）时所做的图 
设计意图：此题考查了对勾函数分别作为里函数、外函数，和基本初等函数复合后的函数单调区间求解，是新知的一个应用.考虑到复合函数的单调性一直是学生学习的难点，他们较难理解口诀“同增异减”的内涵，容易出错.此次借助图形计算器画函数图像的便捷性，将复合函数及其里函数、外函数的图像均画出，对比求解，帮助学生理解这个知识点. 
6.6知识小结 （1）对勾函数0a
yxax

的单调性与最值. （2）对勾函数与其他函数复合的函数单调性与最值. 6.7作业布置 
（1）利用图形计算器探究函数0a
yxax

的单调性. （2）编制函数0a
yxax

与其他函数复合的函数两个，并利用图形计算器研究它们的单调性与最值，写下解题过程. 
7 教学反思 
近十年，“互联网+”、大数据、人工智能等新词不断进入眼帘，信息技术在生产生活中的应用越来越广泛.在教育领域，国家提出了《教育信息化十年发展规划（2011-2020）》.教育部提出了《教育信息化2.0行动计划》（2018）.因为信息技术融入课堂能给教学带来较大便利.它能多方面的展示知识，增加学生理解知识的角度，让学生眼中的知识更加丰富多彩，“活灵活现”，激起学生的学习兴趣，降低知识的理解难度.对于本课，笔者有如下体会。 
7.1图形计算器加入数学学习顺应时代潮流 
 
                    
             
                    
                            图形计算器的出现源于人们发现中学数学学业难度大，学生家长在辅导孩子作业时感到力不从心[1]，而电子技术发展到了一定的程度，图形计算器便应运而生了.目前，欧美发达国家的中学生几乎人手一台图形计算器，他们大部分考试允许带图形计算器.我国引入图形计算器后，也积极推广，多地多所学校开辟了“数学实验室”，让图形计算器加入到学生的数学学习中.而现在的孩子，出生于信息时代，对电子产品有天生的熟悉感和亲切感，上手容易，乐于把玩，不仅助于他们学习，也为之后适应信息化社会打下基础.值得注意的是信息技术不能代替纸笔演算，纸笔演算的过程是学生思维锻炼的过程，是学生用数学语言表达的过程.在教学过程中应该两者结合，相辅相成. 
7.2图形计算器有助于学生自主探究 
笔者所用的图形计算器版本为德州仪器的TI-nspire CX-C，它功能强大，覆盖中学数学中的函数、数列、不等式、圆锥曲线、几何体、统计与概率等方面，还可自主编程.比如，本课中学生自己画函数图像，利用游标功能展示图像的连续变化.再比如，几何中的动点轨迹，概率中的随机抽样，学生均可自主摸索探究，增加了学习的乐趣，改变了传统的老师讲，学生看的教学模式，实现了让知识在学生手中产生的教学愿景. 
7.3图形计算器帮助学生理解数学知识 
数学知识具有一定的抽象性，复杂性，对于有些学生，理解上存在较大困难.而图形计算器能多方面展示知识，增加学生理解知识的角度，还能让学生自主动手操作，自主探究，让知识更加丰富多彩，“活灵活现”.以本课为例，课中多次让学生自己运用图形计算器画函数图像，探究函数单调性与最值，化抽象为直观，不仅激起了学生学习兴趣，帮助他们更好的理解所学知识，也锻炼了他们的自主探究能力和动手操作能力. 
 
参考文献 
[1]王光生，何克抗.Microsoft Student Graphing Calculator支持下的函数学习[J].中国电化教育，2007（1）：91-94

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