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视频标签：高考专题复习,圆锥曲线,离心率
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视频课题：人教A版高中数学选修1-1高考专题复习《圆锥曲线的离心率》甘肃省 - 兰州
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<<圆锥曲线的离心率>>教学设计
一、内容及其解析
（一）内容
1. 历年来平面几何和解析几何部分是高考的“重头戏”，而圆锥曲线内容又是解析几何部分的重中之中，其中圆锥曲线的离心率问题是高考中常考的问题，通常有两类题型:一是求椭圆和双曲线的离心率的值;二是求椭圆和双曲线离心率的取值范围.
圆锥曲线的内容如下：
2、近三年圆锥曲线离心率内容主要考查的问题
考点问题一：利用椭圆、双曲线的定义式和基本量间的关系求值.
考点问题二：利用三角函数、正余弦定理、勾股定理、三角形面积公式、向量的计算和性质等来求值.
考点问题三：利用平面几何的相关性质以及圆锥曲线的性质，通过转化与化归与方程等思想方法，解离心率有关问题.
(二)解析
离心率是圆锥曲线的一个重要的基本量，求离心率的题目是高考常见的题型，这类问题涉及到的知识点比较多，综合性比较强，对学生的思维能力和运算能力有较高的要求，所以学生在解决这类问题时，往往会感到无从下手.其实解决这类问题就是想方设法找到a,b,c三者之间的关系，然后转化为关于离心率c
ea
的问题，其关键是如何分析题意，深人挖掘出题目所隐含的条件.本文结合近三年的高考题，总结出了几个求圆锥曲线离心率的常用方法.
求离心率的问题主要考查的是圆锥曲线的几何性质以及平面几何的应用.会涉及到勾股定理、三角函数、圆、正余弦定理、三角形的面积公式以及向量的有关性质和计算等问题.其中会应用到的数学思想方法有方程思想方法，利用圆锥曲线的相关性质和满足题意的几何图形的等量关系和已知等式，列出关于a、b、c三者中某两个或三个元素的方程；再结合转化与化归的思想方法，结合a、b、c三者间的关系式，将所列的方程进行变形、化简求值.
二、目标及其解析 (一)目标
1.掌握椭圆、双曲线的定义式、离心率的定义及求离心率的基本方法;
2.能有意识的应用数形结合思想和方程思想方法，通过分析椭圆、双曲线的基本量“a、b, c”之间的关系，几何图形的等量关系和已知等式列出某个关于a、b、c 三个中任意两个或三个间的等量关系式；
3.能应用转化与化归思想方法，并结合a、b、c三者的关系，将所列的方程进行有目的的变形、化简，从而求值；
（二）解析
1.高考圆锥曲线试题主要靠圆锥曲线的定义、几何图形、标准方程及其几何性质; “掌握椭圆、双曲线的定义式、离心率的定义及求离心率的基本方法”就是要求在解决这一问题时，首先要掌握椭圆和双曲线中基本量之间的等量关系式，并能根据这些关系及已知条件列出相关的等量关系式；
2. “能有意识的应用数形结合思想和方程思想方法”要求在解决圆锥曲线的问题时，首先要能够依据题意准确画出图像，并根据题意列出所求量的方程或表达式，并知道根据a、b、c三者的关系、图形的等量关系式和已知等式来具体列出方程；并采用数形结合的思想，要渗透的是用代数的方法研究几何问题的思想——即解析的思想，因此要重点掌握方程的思想和曲线与方程的关系，淡化数值计算，所以，要重视方程与函数的思想、数形结合的思想的应用，这是解析几何复习的本源；
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3. “能应用转化与化归思想方法”在这里是指，当列出一系列的方程后，要有目的地去变形、化简、求值，所谓有目的是指围绕所求量，消去、代换或减少其他无关的量，从而求出所求量的值；
三、教学问题诊断分析
高考中对于圆锥曲线的几何性质基本是围绕着“离心率、范围”考查，根据对高考试题分析可知:离心率问题是高考对圆锥曲线考查的又一个重点，求离心率及取值范围问题是解析几何中常见的问题，其归根结底是利用定义寻求关于a、b、c的相应等式，并把等式中的a、b、c转化为只含有a,c的式子，再转化为含
c
a
的等式，最后求出e，该类题型较为基础，一般以选择题或解答题的第一问的形式出现，而对于选择题中常常可结合图形或者定义来解决，这样就可以有效地避免了复杂的运算.学生最大的问题就是不能准确的列出所需要的等量关系式，对于这一问题通过引导提问激发学生的思考，并跟学生讲清楚如何根据具体题意准确的构造出所需要的等量关系式；
历年来平面几何和解析几何部分是高考的“重头戏”，而圆锥曲线内容又是解析几何部分的重中之中，但这却是考生的“软肋”，考生对圆锥曲线部分“又爱又恨”，“爱”是因为这是高考的重点，在备考复习的过程中不敢掉以轻心;“恨”是因为圆锥曲线这部分内容对考生来说比较难，常以“压轴题”的面目呈现，且常考常新、综合性强、字母符号多，运算量过程复杂，考生在解题中经常会“卡壳”，往往会出现“想得到、算不出、做不对”的现象.综观近三年的圆锥曲线考题可知:在高考中重点考查的知识内容是轨迹问题、最值问题(尤其是与距离有关的最值问题)、定点或定值、切线问题(或切点弦)和曲线特征(性质)探究性问题，在注重考查图形直观的同时，不再刻意回避韦达定理在代数运算中的作用，在本质上更加突出“用代数方法解决几何问题”这一核心，即兼顾考查韦达定理与图形探究，在能力上注重图形探究能力的考查，突出用“数”研究“形”的方法，同时通过“形”的特征简化“数”的运算，体现多思巧算的思想及减少运算量的技巧，而在考查的过程中贯穿函数与方程、转化与化归、特殊与一般的思想考查和关注对整体处理问题策略的方法.
四、教学过程设计 题型一：利用离心率的定义求值
设计意图：通过测试，了解学生对椭圆和双曲线的定义式及相关量间的关系、三角形的相关应用、根据转化与与化归思想方法化简求值以及分类讨论思想的掌握情况.
分析：求离心率就是要想办法求出ac和的值，或者是列出关于abc、、的方程，很多离心率问题是以平面图形为载体出现的，平面图形背后有一些隐含的性质，比如三角形面积的等价转化、勾股定理、三角函数、正余弦定理等.
例1.若m是2和8的等比中项，则圆锥曲线2
2
1yxm
的离心率是
练习2若双曲线2
2
2
2
1xy
ab的一条渐近线经过点3,4，则此双曲线的离心率为（ ）
（A）7
3 （B）54 （C）43 （D）53
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设计意图：熟练利用平面几何和圆锥曲线的集合性质来解题.本题主要考查的问题是，
利用三角函数、平面几何和方程思想求离心率.主要是能过M点作x轴的垂线，然后利用三角函数计算出M点的坐标，再根据M点在双曲线上则把M点坐标带入双曲线方程，结合abc、、三者的关系求出离心率.
课堂小结:
1.本堂课解决圆锥曲线的离心率的问题，属于圆锥曲线的几何性质的问题，在高考中一般考查：利用圆锥曲线的几何性质及方程和基本量间的关系，通过转化与化归、方程等思想方法，经过代换及运算解有关问题.
2.解决求圆锥曲线的离心率的问题一般需要利用正余弦定理、三角函数、勾股定理、三角形面积公式、向量的数量及运算、所给图形的等量关系式和已知等式，列出关于abc、、三者中任意两个或三个元素间的等量关系式，再次利用基本量abc、、的等量关系式代换出含有ac和的表达式，进而求出离心率.
解决焦三角形的问题一般步骤：1.作图 ；2. 标出已知条件；3.结合有关条件和性质列出等量关系式：
五、作业设计
A组
1. 过椭圆22
22
1xyab
(0ab)的左焦点1F作x轴的垂线交椭圆于点P，2F为右焦点，若
1260FPF，则椭圆的离心率为( )
A．22
B．33
C．12 D．1
3
2. 设椭圆的焦点为21,FF，以21FF为直径的圆与椭圆的一个交点为P，若2212PFFF，
例4：平面直角坐标系xoy中，双曲线22
122:1
xyCab
的渐近线与抛物线22:20Cxpyp交于点O、A、
B
，若OAB的垂心为2C的焦点，则曲线1C离心率
e为 .
例3．如图，在平面直角坐标系xoy中，1
2
1
2
,,,AABB为椭圆
2
2
2
2
1(0)xy
abab的四个顶点，F为其右焦点，直线12
AB与直
线1
BF相交于点T，
线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中
点，则该椭圆的离心率为 .
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则椭圆的离心率为__________.
3. 设1F和2F为双曲线2
2
22
1xya
b
(0,0ab)的两个焦点, 若12FF，，(0,2)Pb是正三角形的三个
顶点,则双曲线的离心率为( )
A．32
B．2 C．52
D．3
B组
1. 设双曲线的—个焦点为F；虚轴的—个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为____________.
2.已知椭圆2
2
22
1(0)xyaba
b
的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BFx轴， 直
线AB交y轴于点P．若2APPB，则椭圆的离心率是( )
A．32
B．22
C．1
3
D．12
3. 已知双曲线22
22
1(0,0)xyabab
的两条渐近线均与22:650Cxyx相切，则该双曲
线离心率等于( ) A．355
B．62
C．32
D．55
C组
（2016全国Ⅲ理第11题）已知o为坐标原点，F是椭圆2
2
22
:1(0)xyCaba
b
的左焦点，A，
B分别为C的左，右顶点，P为C上一点，且PFx轴，过A点的直线l与线段PF交于
点M，与y轴交于点E，若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（ ）
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