人教A版高中数学必修二第三章《3.3.4两条平行直线间的距离》黑龙江

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视频标签：两条平行,直线间的距离

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视频课题：人教A版高中数学必修二第三章《3.3.4两条平行直线间的距离》黑龙江 - 牡丹江

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《3.3.4两条平行直线间的距离》  教学设计

一、教学目标
1、使学生理解什么是两条平行直线间的距离； 2、如何求两条平行直线间的距离。
3、让学生学会转化思想，灵活应用所学知识，加强与实际生活的联系； 4、用有现实意义的实例，激发学生的学习兴趣，培养学生勇于探索，善于发现的创新思想；培养学生掌握“理论来源于实践，并把理论应用于实践”的辨证思想。
二、教学重点、难点、突破方法
教学重点：两平行直线间距离公式的求法。教学难点：两平行直线间的距离的求法及灵活应用。
突破方法：学生自主探究和合作探究后，将成果投影展示，再共同学习研究。三、教学方法、教学辅助教学方法：合作探究式。    教学辅助：多媒体屏幕和投影仪。实施过程与方法：
（1）从生活实例中，抽象出数学的模型“两条平行直线”，培养学生直观想象和数学抽象的核心素养；
（2）通过探究方法的深入，理解求两条平行直线间的距离的方法，培养学生逻辑推理、数据分析、数学运算的核心素养。
（3）在两平行直线间距离公式求解方法的探究和展示中，培养学生分析问题、解决问题和转化问题的能力。
四、教学过程（一）、温故
1、两点间的距离公式？
学生：已知两点 ),(11yxP和),(22yxQ，这两点间的距离为




                            212212)()(||yyxxPQ

2、点到直线的距离公式？
学生：点),(00yxP到直线0:CByAxl的距离为：
2
2
00B
ACByAxd。

3、类比：两点间距离，点到直线的距离，我们下面还需要学习什么呢？  学生：线线之间的距离。
教师：什么样的直线间距离？平面内两条直线的位置关系是怎样的呢？引导学生说出，两条平行直线间的距离。
设计意图：设置情境，导入新课，温故知新。
（二）、知新
1、请列举，观察生活中能抽象出两条平行线的实物，你发现了什么？
学生：铁轨的两个轨道，课桌相对的两边，黑板相对的边，跑道的直道处等等。教师：从这些生活中的实例中，我们可以抽象出两条平行的直线，观察这些平行的直线，有何不同？学生：间距不同。
2、什么是两平行线间的距离？请给出定义。学生活动：尽量表述的准确。
教师活动：教师针对学生的表述，引导出定义：两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间公垂线段的长。
3、探究问题1：什么是两条平行直线间的公垂线段？是两条直线上各自任意取一点连线的线段么？




                            学生活动：学生会比较容易画出两条平行直线间的公垂线段。
教师活动：引导学生准确画出公垂线段，并说出画法，说明只有公垂线段的长能刻画出两条平行的直线间的距离。
设计意图：让学生明白究竟什么是两平行线间的距离。
4、探究问题2：两条平行直线间距离的特征：夹在两条平行直线间公垂线段的长处处相等。
学生活动：学生发现并证明，两条平行直线间的公垂线段处处相等。教师活动：引导学生到黑板前给大家展示说明。 5、深入探究：如何求两条平行直线间的距离？学生活动：求公垂线段的长。
教师活动：根据学生黑板上展示的公垂线段，说明两条平行直线间的距离就是求线段AB的长。特殊举例说明求法。
例1：求平行直线042:1yxl与062:2yxl间的距离。学生活动：学生小组讨论，分组展示不同的作法。
教师活动：引导学生将导学案上的作法投影到屏幕上，给大家讲解不同的思路和方法，师生互补共同总结。
设计意图：通过这道简单的例题，使学生能够进一步对点到直线的距离理解应用，能逐步体会用代数运算解决几何问题的优越性。
学生A展示方法一：几何法
利用平行线的性质和相似三角形相应边之间的比例关系，说明EF是两条平行直线间的公垂线段的长。
52524
225252
5
23
ABOAOBOEOEOEOFOEEF

师生活动：引导说明这是把求两条平行直线间的距离转化为求两点E、F之间距离。所用的方法是平面几何的方法。同时说明此法，是在两条平行直线之间取坐标原点，分别作两条平行直线的垂线段，求距离。
引导学生发现，若取平行线之间的点，取的不是坐标原点，是其他位置上的




                            点，能不能求解？引发思考回答。
学生B展示方法二：代数法
在直线042:1yxl上取一个特殊点P，求点P到直线062:2yxl的距离，即可。
师生活动：将求两条平行线间距离的问题转化为了求点到直线距离的问题。取点位置是取直线上的某特殊点P。也可以为了计算简单，取直线与坐标轴的交点作为点P。

学生C展示方法三：代数法
在直线042:1yxl上任意取一个点bap，，则042ba，
42ba
点bap，到直线062:2yxl的距离为 

525
10
216421622
22
2


bad 平行直线042:1yxl与062:2yxl间的距离为52
师生活动：将求两条平行线间距离的问题转化为了求点到直线距离的问题。取点位置是取直线上的任意点P。计算也很简洁。
说明此时取直线上的特殊点和任意一点都可以求距离，计算量都很简洁。
学生C展示方法四：代数法
在两条平行直线外取一点，比如在直线042:1yxl上方任意取一个点
bap，，则042ba，062ba.
平行直线042:1yxl与062:2yxl间的距离为




525
10
214
6214262214221622
22
22
22
2


babababaMPMQPQ
平行直线042:1yxl与062:2yxl的距离为52




                            师生活动：将求两条平行线间距离的问题转化为了求点到直线距离的问题。取点位置是取与两条平行直线同侧的任意点P。
学生C展示方法五：代数法
求与直线042:1yxl和062:2yxl垂直的直线l。
将l与1l联立求出交点P，再将l与2l联立求出交点Q，再求两点P、Q之间的距离。师生活动：引导说明这是把求两条平行直线间的距离转化为求两点P、Q之间距离。
引导学生发现，在求直线l的过程中，可以直接写出其中一条即可，例如：设直线为02:yxl。引发思考回答，若直线写成012:yxl行不行？若直线写成02:myxl行不行？（其实都可以，最终结果一致）

师生活动：整理学生展示的方法，归类并总结，无论是几何法还是代数法，最终都转化成求两点间距离和点到直线的距离，只是取点的位置有所不同而已。
那么推广至一般，有没有类似点到直线的距离公式那样的结论呢？设计意图：通过这种转化，培养学生“化归”的思想方法。在两平行直线间距离公式求解方法的探究和展示中，培养学生分析问题、解决问题和转化问题的能力。思考：以上方法，无论是怎样的思路、转化和计算，最后都有525
10
d。
这与两平行直线042:1yxl与062:2yxl方程的系数有什么关系呢？
5、推广：任意两条平行线间的距离是多少呢？
学生活动：学生观察后，会比较容易得出结论：已知两条平行线直线1l和2l的一般式方程为1l：01CByAx，2l：02CByAx，则1l与2l的距离为
2
2
21B
ACCd

师生活动：教师引导学生将导学案上的作法投影到屏幕上，给大家讲解针对一般式选用的方法，师生互补共同总结最优方法。
证明：设),(000yxP是直线2l：02CByAx上任一点，则点),(000yxP到




                            直线1l：01CByAx的距离为2
21
00B
ACByAxd

又 0200CByAx 即200CByAx，∴d＝
2
2
21B
ACC
所以，两条平行线直线1l：01CByAx与2l：02CByAx，则1l与2
l的距离为2
2
21B
ACCd
。
设计意图：进一步培养学生化归转化的思想，开拓学生思维，培养学生解题能力。

6、结论：两条平行线直线1l：01CByAx与2l：02CByAx，则1l与2l的距离为2
2
2
1BACCd
。
（三）、习之
1、例2、已知直线1l：0872yx，2l：01216yx，1l与2l是否平行？若平行，求1l与2l间的距离。
学生活动：学生自己做出结果，并投影讲解。
教师活动：注意两条平行线直线1l与2l方程x与y前的系数要统一。再代用公式。总结：求两条平行直线间的距离的方法
转化法：几何法，代数法转化为两点间距离和点到直线的距离；公式法：2
2
21B
ACCd

2、练习1：平行于直线08yx且与其距离为3的直线方程是         。
练习2：求两条平行直线01243yx与0118yax间的距离。
练习3：已知两条平行直线 0623yx与0346yx 。求与它们等距离
王新敞
王新敞




                            的平行线的方程。
设计意图：学习了新的公式，在平时的练习中就要应用公式解决问题，使得问题简洁化，这也是学习新知识的意义。
（四）、总结归纳总结本节课的收获。师生活动：知识层面：
（1）两平行线间的距离的定义：两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间公垂线段的长。
（2）两条平行直线间距离的特征：夹在两条平行直线间公垂线段的长处处相等。公垂线段的长能刻画出两条平行的直线间的距离。（3）求两条平行直线间的距离的方法
转化法：几何法，代数法转化为两点间距离和点到直线的距离；
公式法：两条平行线直线1l：01CByAx与2l：02CByAx，则1l与2l的距离为2
2
2
1BACCd
。

2、方法层面：
（1）类比学习知识的方法；（2）用旧知识解决新问题的方法；
（3）要有分析问题、解决问题和转化问题的能力，用严谨的逻辑思考，能使思路开阔；
（4）体会数学抽象、逻辑推理、数据分析、数学运算的核心素养，对解决数学问题的重要；
（5）数形结合的思想方法在解析几何中的重要作用。设计意图：培养学生理清思路，归纳整理的能力。（五）、板书设计：






（六）、课后作业： 1、课后练习1,2
2、两平行直线0143yx与0386yx关于直线l对称，求l的方程.

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