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视频课题：北师大版数学九年级下册第一章《直角三角形的边角关系--回顾与思考》河南省 - 平顶山
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北师版数学九年级下册第一章
《直角三角形的边角关系--回顾与思考》 教学设计
一、 学生状况分析
学生的知识技能基础：学生在本章以前，已经掌握了直角三角形三边之间的关系、三角之间的关系、以及有一锐角是30°的特殊直角三角形的边角关系。而通过本章的学习，学生才更多的认识到一般直角三角形的边角关系，掌握了特殊角（30°、45°、60°）的三角函数值，并能用三角函数将直角三角形的边与角联系起来，也能利用锐角三角函数知识解决简单的实际问题。
学生活动经验基础：学生经历了对特殊角三角函数值的探究及总结过程，尝试了利用计算器进行一般角的度数与其对应的三角函数值的互换，也能把简单的实际问题转化为数学问题。因此，学生能熟练使用计算器，并具备了一定的探究能力和解决实际问题的能力。
二、教学任务分析
本节是章末复习课，主要是让学生复习并熟练一章知识点，并能站在新的高
度总结、梳理本章知识结构；能够运用锐角三角函数解决简单的实际问题。教学中继续渗透“数形结合”、“数学建模”等思想，培养学生的创新意识、应用意识和应用能力。
由此，制定的教学目标是：
1. 复习、梳理本章内容，进一步理解锐角三角函数的相关定义，理解各知识点之间的联系及本章与已学相关章节的深层联系。
2. 熟练掌握特殊角的三角函数值，会运用锐角三角函数解直角三角形，解决与直角三角形有关的实际问题，增强应用能力。
3. 经历运用数形结合思想、数学建模思想解决实际问题的过程，提升学生数学 思维品质；经历对知识梳理、知识结构重构的过程，加深对三角形的边、角及图形的理解，体会数学中的创新之美、模型之美。
三、教学过程
本节设计了六个教学环节：了解课标——复习概念——梳理知识——典型练习
——总结思路——畅谈收获
环节（一） 了解课标
教师带领学生一起了解《课程标准》中对本章的要求： 1.了解锐角三角函数的概念；
2.掌握300，450，600角的三角函数值；
3.会使用计算器求三角函数值，或由三角函数值求对应锐角；
4.会用锐角三角函数解直角三角形，能用三角函数解决有关的简单实际问题。 设计意图：让学生了解《课标》要求，对接下来的学习有的放矢。
环节（二） 复习概念
1.锐角三角函数的概念
在Rt ΔABC中，∠C=90°，则正弦 sinA= 余弦 cosA= 正切 tanA=
B
2、直角三角形的边角关系
（1）三边之间的关系： （2）两锐角之间的关系： （3）边角之间的关系： 3、特殊角的三角函数值
思考：锐角A的正弦值、余弦值有无变化范围？ 4、实际生活中的应用：
仰角、俯角、坡度、坡角、方位角
设计意图：回顾复习本章基础概念，唤醒学生记忆，加深对概念的理解。
环节（三）梳理章节结构
1. 同学们在小组内交流、完善自己的章节思维导图（课前，学生梳理本章知识脉络,初步绘制思维导图或章节结构图）。教师在班内巡视指导. 2.推选2个学生代表上台展示,教师补充提升. 学生绘制的思维导图举例:
设计意图：学生通过自己动手画思维导图，对本章的知识进行再加工创造。通过利用思维导图的放射性思维训练，引导学生对知识点进行梳理、对考点进行归纳、对易错点进行强调，在这个过程中，进一步巩固本章知识，形成知识间的系统联系，达到对本章乃至相关章节的知识重构，提高学生学习效率。提升学生思维品质。
环节（四）典型练习
１. 如图，△ABC的三个顶点在正方形网格的格点上，则tan A的值是（ ）
A
56 B 65 C 3102 D 20
103
师生共同明确考查知识点和解答方法，即，求解三角函数需要构造直角三角形。 设计题图：本题意在复习考察三角函数的概念。学生在求一个角的三角函数值时容易忽略“直角三角形”这一前提条件。通过典型例题为切入点，复习三角函数的概念，明确三角函数值是在直角三角形中定义的，但是三角函数值的大小只和角的大小有关，和它所在的三角形无关。
2.变式：如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，tanA=5
6
,tan∠BCD=2, AC=30,求BD 的长。
(1) 首先学生独立完成,教师在班内巡视，指导学生并及时发现学生做题过程中的问题。
(2) 挑选学生代表上台讲解分析.
(3) 反馈学生做题中出现的现象，分析原因。
设计意图：在例1的图形和数据基础之上进行改编，从而复习考察解直角三角形这一知识点，实现一题多变，提高复习效率。教师提供机会，让学生展示不同思路，体会数学中的创新之美。
3.推广：如果把∠A，∠BCD变成任意角，AC长不变，你还能求出BD吗？ 学生动手计算：设∠A=α,∠BCD=β，AC=a，求BD。 设BD=x，则AD=
tanx，CD=
tanx
, B
A
C
D
B
A
C
D
由AD-CD=a,可列方程：
tanx-
tanx
=a
从中解出x的值。
（1） 学生独立完成 （2） 小组内交流不同方法。
（3） 教师用PPT出示一份学生作业，引导学生规范书写过程，并注意解决方
法的多样性。
教师点拨：（1）解出x的值后，便可继续求出图中任何一条线段。
（2）利用三角函数求线段长度，常用辅助线做法是构造直角三角形。 设计意图：通过这一活动，引导学生从特殊情形推广到到一般情况，抽象出数学模型，归纳出一般方法，从而掌握解决这一类问题的技能，并为接下来的实际应用打下基础。同时利用“独立完成--小组交流--班内统一”的形式，在学生有充分体验和思考的基础上进行小范围交流及班内汇总，着眼于学生主体地位，注重思维的多样性和课堂实效。
4.如图所示，我国两海监船A、B在南海海域巡航，某一时刻，两船同时收到指令，立即前往救援遇险抛锚的渔船C.此时，B船在A船的正南方向5海里处，A船测得渔船C在其南偏东45°方向，B船测得渔船C在其南偏东53°方向.已知A船的航速为30海里/小时，B船的航速为25海里/小时，问C船至少要等待多长时间才能得到救援？
（参考数据：，，，）
（1）选派一名学生演板，其他学生独立完成，教师在教室内巡视并指导。 解：过点C作CD⊥AB交AB的延长线于点D，则∠CDA=90° 已知∠CAD=45°，设CD=x，
在Rt△ADC中AD=45tanx
=x， 在Rt△BDC中，BD=53tanx
∵BD=AD-AB=5x
∴53tanx
=5x
即x=53tan)5(x
解得201
3
434
5153tan53tan5
x ∴255
4
2053sin
CDBC
∵B船的航速为25海里/小时 ∴至少需要航行1小时。
（2）教师带领学生点评学生演板情况。
（3）总结易错点和注意事项。易错点：计算出错。注意事项：构造直角三角形，并恰当选择三角函数。
设计意图：本题为2017河南中考19题，考察三角函数的实际应用。本题让学生对总结的数学模型加以应用和巩固。并且用中考题让学生进行实际操练，对于九年级学生来说非常必要，也有针对性。另外，在多个情境中培养学生利用图形解决问题，渗透数形结合思想和模型思想。
5. 高低杠”是女子体操特有的一个竞技项目，其比赛器材由高、低两根平行杠及若干支架组成，运动员可根据自己的身高和习惯在规定范围内调节高、低两杠间的距离．某兴趣小组根据高低杠器材的一种截面图编制了如下数学问题。 如图所示，底座上A，B两点间的距离为90cm．低杠上点C到直线AB的距离CE的长为155cm，高杠上点D到直线AB的距离DF的长为234cm，已知低杠的支架AC与直线AB的夹角∠CAE为82.4°，高杠的支架BD与直线AB的夹角∠DBF为80.3°．求高、低杠间的水平距离CH的长．（结果精确到1cm）
参考数据sin82.4°≈0.991，cos82.4°≈0.132，tan82.4°≈7.500，sin80.3°≈0.983，cos80.3°≈0.168，tan80.3°≈5.850）
视频来源：优质课网 www.youzhik.com
