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视频标签：习题的探究,构造全等三角形
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视频课题：初中数学人教版八年级上册《习题的探究—构造全等三角形》北京
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初中数学人教版八年级上册《习题的探究—构造全等三角形》北京市前门外国语学校
教学内容：本节内容主要是通过研究问题，让学生体会角的轴对称性，探究利用角平分线构造全等三角形的本质，学会利用截长补短这一构造全等三角形的方法，对角平分线的作用形成整体认识。利用变式练习，让学生体会解决探究题的喜悦和幸福。
学生情况：我班学生学习数学的习惯较好，多数同学能够做到课前预习，课后复习，因此基础知识掌握较为扎实。我对学生进行了课前的角平分线定义和性质定理的随机检测，其中班中28名同学可以准确的用文字语言和数学语言描述定义和性质定理；5名同学虽文字语言明确但数学语言描述不清；1名同学性质定理表述不正确。
基础知识是根本和前提，在了解了学生基础知识的掌握情况后，又进一步以访谈的形式，针对本节课“利用角平分线构造全等三角形”的知识重点对学习成绩处在中等或偏下的14名学生进行了访谈，深入了解了他们对于角平分线的具体认识。发现学生们普遍存在缺乏主动质疑、发现、提出问题的能力。因此本节课着重带领学生由浅入深、层层递进，引领学生发现提出并解决问题。
班中仍有一些数学能力较好的学生，他们具有了一定的分析问题和解决问题的能力。针对这样一些学生，学案上设置了变式题、更深层次的探究题等待着他们去攻克。
教学方式：在新课程环境下，教学过程是师生交往、共同发展的互动过程，多以引导质疑、观察、探究，使学生在实践中学习，形成认知冲突，层层递进。根据学生的实际情况，结合本节的教材的特点我采用“启发诱导—探索发现”的教学方法。让学生在观察、比较、分析、概括等活动中，体验知识的生成、发展与应用。 教学手段：引导启发，探究归纳
技术准备：几何画板、白板、希沃授课助手
教学目标(内容框架)
知识技能：会用角平分线的轴对称性和全等三角形的判定定理解决问题。
数学思考：通过对习题的探究，加深学生利用角平分线的轴对称性构造全等三角形方法的理解。 问题解决：通过观察、实践、验证、探究，提高学生利用截长补短方法构造全等三角形解决问题的能力。
情感态度：培养学生探究问题的兴趣，让学生体会解决问题的喜悦和幸福，同时增强解决问题的自信心。
教学重点：利用角平分线的轴对称性构造全等三角形，掌握利用截长补短构造全等三角形的方法。 教学难点：利用截长补短的辅助线添加方法解决问题。
3
问题框架
1. 期中考试选择第10题还会吗？通过考试题复习全等三角形和轴对称的知识。
2. 变式1可以用多种方法完成吗？学生不仅学会截长补短的构造全等三角形的方法，更要体会利
用角分线还原轴对称性的本质。
3. 变式2你有思路吗？进一步探究利用角平分线的轴对称性构造全等三角形的方法。
4. 完成练习。综合变式1和变式2学习的方法和探究的本质，学以致用，体会解决问题的喜悦。 5. 本节课你有怎样的收获？总结学习到的方法和本质。
教学流程示意(可选项)
期中考试题复习全等三角形和轴对称知识
变式1学习截长补短构造全等的方法 体会角分线构造全等的本质 变式2深入探究 学以致用，巩固练习 课堂小结
教学过程(文字描述)
本节课分为以下几部分：
第一部分是复习引入，由期中考试题复习全等三角形和轴对称的知识。深入挖掘已知条件，分析图形，为下一道变式题1的引出做铺垫。
第二部分是变式探究，在此设置了两道练习。引导学生利用截长补短方法的方法构造全等三角形，同时带领学生挖掘本质，探究利用角平分线的轴对称性构造全等三角形的本质。这一变式题运用了多种方法，设置了学生活动，让学生组内交流分享，看看能不能更全面灵活的解决这个问题。习题后总结方法和基本图形，回归本质。第二道变式题图形相对复杂，是变式1的升华。让学生体会由发现到猜想到验证到证明的思维过程。结论的改变给证明增加了难度，让学生体会截长补短方法的根本作用，即证明线段和差倍分关系。学生在独立思考的基础上分组讨论，完成习题。习题后让学生总结角分垂等腰归这一基本图形。
第三部分是学以致用。第三题充分的运用了前面所学知识，可以通过截长的方法，利用角平分线的轴对称性构造全等三角形，还可以通过补短的方法，构造角分垂等腰归的基本图形。充分体会构造全等三角形的方法和本质。
最后是课堂小结。总结了本节课的教学重点即发现利用角平分线的轴对称性构造全等三角形的本质，掌握利用截长补短构造全等三角形的方法。以及突破难点体会截长补短的辅助线添加方法对于解决问题的作用。同时我们还总结了三种基本图形。希望通过本节课的学习，学生能灵活解题，提升几何逻辑分析能力。
4
ED
CAB
教学阶段
教师活动
学生活动 设置意图 复习引入 （期中选择第10题）.如图，在△ABC中， ∠A=90°， AB=AC，BD平分∠ABC，DE⊥BC于E，若BC=10cm，则△DEC的周长是（ ）．
A. 5 cm
B. 10 cm C. 15 cm D. 20 cm
学生完成期中考试题目,找出图形中的全等三角形和轴对称图形，复习全等和轴对称知识。
学生代表说解题思路。
通过已做过的题目复习全等三角形和轴对称的知识，深入挖掘已知条件，分析图形，为变式题1做铺垫。
变式探究 变式1.如图，∠A=90°， AB=AC，BD平分 ∠ABC，求证：AD+AB=BC．
D
C
BA
分析：
思路1：截长
（1）过D作DE⊥BC于E
（2）在BC截取BE=BA，连接DE
ED
C
BA
思路2：补短
（1）延长BA至F ，使得BF=BC,连接FD
（2）延长BA至F，使得AF=AD,连接FD
FD
C
A
B
总结：
添加辅助线的方法：截长补短；
实质：利用角平分线的轴对称性构造全等三角形.
基本图形：
B
A
OOBC
C
学生独立思考，教师适当引导，完成变式1。通过学生的讨论系统整理多种方法。
学生不仅学会一种解决问题的方法。
学生总结方法，整理基本图形，理解图形本质。 学生进一步挖掘已知条件，初步掌握利用角平分线还原轴对称性构造全等三角形的基本方法。
体会截长补短这一方法，本质在于利用角平分线的轴对称性构造全等三角形。
阶段小结，让学生更好的进行变式练习的探究。变式2.已知：在△ABC中，∠A=90°，AB=AC， ∠ABC的平分线交AC于D，过C作BD的垂线交BD延长线于E.
猜想：BD与CE有怎样的数量关系？
题目分析：本题要求证明BD和CE两条线段的倍数关系，通常我们都是将这些倍数关系转换成证明两条线段相等，即找一条线段可表示2EC，然后让其与BD相等即可（或者找一条线段可表示为BD的一半，再让其与EC相等）。
法一:
方法分析：观察本题的条件可发现，BE这条线与EC垂直（可看做高）且是∠ABC的角平分线，一条线既是高又是角平分线，故可考虑构造等腰三角形，利用其“三线合一”的性质。 补短：延长BA交CE延长线于F.
补充整理基本图形：
C
B
A
O
法二：
方法分析：本题也可以构造线段BD的一半，得到几个等腰三角形，利用角度的计算和全等的知识，转换线段相等。
截长：取BD中点F，过F作FGBD交BC于G，连结GD.
学生在变式1的基础上，完成变式2。先独立思考，再小组讨论完成。研究添加辅助线解决本题的多种方法。
学生代表讲解解题思路，并整理在学案上。
学生总结方法，整理基本图形，理解图形本质。
通过研究变式2，让学生进一步体会构造全等三角
形的基本方法。体会截长补短这一辅助线添加方法的重要作用，即解决线段和差倍分的关系。
在掌握了利用角平分线的轴对称性构造全等三角形的方法后，进一步让学生完成练习，深入探索和体会。
体会如何通过添加辅助线得到等腰三角形。
GFD
EABCD
E
A
BCF
D
E
A
BC
6
学以致用 练习:
1．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠1＝∠2，∠3＝∠4.求证：BC＝AB＋CD.
12
34
D
E
AB
C
分析：
思路1：截长：在BC上截取BF=BA,连接EF 思路2：补短：延长BA交CE延长线于G
12
34F
D
E
AB
C
12
34G
D
E
AB
C
学生自主探究，学以致用，教师引导。
让学生体会解决新问题的喜悦。再次巩固构造全等三角形解决问题的方法。
归纳总结 你有怎样的收获？ 你还有哪些疑问？ 总结：
1、方法：截长补短（线段和差倍分转化成线段
相等）；
2、本质：利用角平分线还原轴对称性，构造全等三角形；
3、数学思想方法：转化思想。
回顾本节课内容，
总结反思.
整体回顾本节课
内容，整体感受构造全等三角形的
方法。并让学生灵
活解题，寻求突
破。充分体会解决综合题过程中的成功感。
拓展提高
2．如图，在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线AD,CE相交于点O， 求证：(1)AE+CD=AC;(2)OE=OD.
OE
DC
A
B
分析：思路：在AC上截取AF=AE
学生课下思考
巩固练习，拓展提高
7
学习效果评价设计
评价方式
1. 书面测验、课后访谈
2. 活动报告：学案多种方法展示分享 3. 课堂观察 4. 课内外作业 5. 错题整理 评价量规
1.主动参与学习活动情况； 2.小组合作交流情况； 3.提出问题和分析问题情况； 4.独立思考问题情况； 5.倾听或理解他人思路的情况； 6.有条理的表述自己的思考过程。
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