联系本站客服加+微信号15139388181 或QQ：983228566 |
视频标签：阅读与思考,圆周率π
所属栏目：初中数学优质课视频
视频课题：人教版初中数学九年级上册24.3阅读与思考---圆周率π-福建
本视频配套资料的教学设计、课件 /课堂实录及教案下载可联本站系客服
人教版初中数学九年级上册24.3阅读与思考---圆周率π-福建省 - 莆田
阅读与思考---圆周率π
学科
数学
教材分析
本节课是以人教版初中数学九年级上册第二十四章《圆》中的第24.4节“圆与正多边形”为内容依托，是课本第109页和110页的阅读与思考的内容。学生在学习“圆与正多边形”和锐角三角函数的基础上,对圆周率的计算进行初步探究和对圆周率的历史进行初步的了解。这个数学阅读内容：1.介绍了利用正多边形的周长逼近圆的周长，从而得到了圆周率π的计算方法，其中涉及极限思想、转化思想；2.教材罗列了在圆周率研究历史中最为重要的人物及方法，从古至今，涵盖中外，以圆周率的探索过程为主线，以体现圆周率的文化价值为主格调，来满足孩子们的好奇心：也为学生打开了一扇窥视数学文化发展史的窗户，为进一步理解圆周率的意义，及今后对数学的学习，留下一片想象的空间。通过阅读来挖掘圆周率蕴含的教育价值，感受数学的魅力，激发研究数学的兴趣。
学情分析 学生已经学习了圆的相关知识、圆与正多边形的关系、锐角三函数的相关知识的基础上，进行学习《阅读与思考---圆周率π》。
教学目标
知识与技能 1.利用圆的内接正多边形的周长逼近圆的周长，学会用圆的相关知识和锐角三角函数等求出圆的内接正多边形的周长、圆的内接正多边形的周长与直径的比值，从而得到了圆周率π的计算方法。
2.阅读和了解圆周率的发展简史，感受数学知识的探索过程。 过程与方法
1.通过动手操作探索圆的周长和直径的比值，并会用式子表示，理解圆周率的意义；
2.通过几何画板软件动态演示“逼近”过程，同时表中的数据在变化及表格的行数在增加和伸长，给学生直观形象的感觉、增强学习兴趣。 3.了解圆周率的历史，体会它的文化价值。通过自主搜集圆周率的相关资料、交流体验，培养收集信息、整合信息，提高质疑、理解的能力。在阅读理解过程中，体验数学研究方法发展的过程、极限思想、圆周率精确位数的现代价值等，为今后的数学学习提供一定的参考价值。
情感、态度、价值观
经历求圆周率π的过程，体会转化、逼近、数学建模、方程、从特殊到一般、数形结合等数学思想的应用。通过阅读“圆周率的历史”，体验数学文化的魅力，激发研究数学的兴趣，在阅读刘徽、祖冲之的相关成就时激发民族自豪感。
教学重 难点
重点
1.将圆的周长转化为圆的内接正多边形的长，计算圆的内接正多边形的周长、圆的内接正多边形的周长与直径的比值，体会其中涉及到的数学思想。
2.阅读圆周率的发展简史，感受数学知识的探索过程。体验数学文化的魅力，激发研究数学的兴趣；在阅读刘徽、祖冲之的相关成就时激发民族自豪感。
难点
将圆的周长转化为圆的内接正多边形的长，计算圆的内接正多边形的周长、圆的内接正多边形的周长与直径的比值。通过自主搜集圆周率的相关资料、交流体验，培养收集信息、整合信息，提高质疑、理解的能力。
教学资源利用和教学策略 利用白板播放视频、相关的教学内容，利用几何画板进行动画演示圆的内接正多边形的变化及表格中的数据的相应的变化，来启发学生思考，培养学生的思维能力，在收集、分享、思考中体会数学知识和历史，感受数学文化的博大精深，及在探索过程中所隐含的数学方法。
学生课前准备 学生课前阅读课本第109页和110页的内容及搜集的各种信息、资料，课前阅读之后的感受、想法。
教具准备
白板、几何画板、圆规、三角板
本节课的主要内容的思维导图：
教学 环节
教学活动设计 师生活动 设计意图 创设问题情境
活动1:播放钢琴曲《song form π》：
这首钢琴曲是把无限不无限小数π=3.141596……变成音符写成的曲子。竟然也如此美妙动听!圆周率π真是太神奇了。
师生一起聆听钢琴曲。听完之后教师提出一些问题，学生回答。
用美妙动听的钢琴曲，激发学生的学习兴趣，及对圆周率π的好奇，对探索圆周率π的奥秘的欲望。感受数学的美！ 探索新知 活动2:圆周率π=3.14159……是怎么求出来的？ 分析：从圆的周长公式C=2πR，可得到π=R
C2,
如果已经求得了圆的周长，那么将圆的周长与直径相比，就可以求出圆周率π了。因此，在某种意义上求圆周率π的问题就转成求圆的周长的问题。
教师引导，
学生先思考
一下并回答。 引导学生回忆圆的周长公式，并将公式变形，求圆周率π的问题转化成求圆的周长的问题。体会“转化思想”。 探究与合作
活动3：如何求圆的周长？ 分析：1.测量法：（1）用一根绳子绕圆的一周，然后再测量一下绳子的长度。（2）把一个圆向右滚动一周，再测量一下它的运动轨迹的长。 2.可以用圆的内接正多边形近似替代圆的周长。几何画板验证如下：
n = 12.00B
A
归纳：当圆的内接正多边形的边数越来越大，圆的内接正多边形越来越贴近圆了。所以可以用圆的内接正多边形的周长来近似地替代圆的周长。 学生先分组合作讨论，然后小组代表发言。对学生的回答，教师点评并给予鼓
励。
学生观看几
何画板动画的演示，并总结当圆的内接正多边形的边数越
来越大，圆的内接正多边形与圆的接近程度。
用圆的内接正多边形的周长来近似替代圆的周长。体会“转化思想”。
体会“逼近思想” 探究与合作
活动4：已知圆的半径，如何求圆的内接正多边形的周长？不妨设圆的半径R=1。
分析：正多边形的性质：各条边都相等、各角也相等，所以圆的内接正n边形的周长就会等于它的边长的n倍。
回顾一下圆的内接正三角形、正方形、正五边形的边长、周长是如何求的？ （分组讨论）
分析：
（1）如图1，分别连接OB、OC,再过点O作ODBC于点D,易得∠BOC=120°， ∠BOD=
2
1
∠BOC=60°，在直角△BOD中，BD=OBsin∠BOD，又OB=1，所以
BD=sin60°=
2
3
，BC=2BD=3， 所以圆的内接正三角形的周长P3=3BC=33. 如图2，分别连接OB、OC,易得BC=2,圆的内接正方形的周长
P
4
=24
图1 图2
教师先引导学生回忆正多边形的定义。 学生先独立思考后分作合作讨论交流。教师巡视。 小组代表起来表达自己的解法，其他同学补充，老师点评和补充。 教师提示：已知圆的半径，要求圆的内接正n边形的边长，要求这条边所对的圆心角的度复习与回顾：圆的内接正三角形、正方形、正五边形的边长、周长的求法。同时也为求圆的内接正多边形的周长做铺垫。体会从特殊到一般、转化、方程等思想。
学生感受到“已知圆的半径，如何求圆的内接正多边形的周长”，因为圆的内接正n边形的n条边都相等，所以圆的内接正n边形的周长=边长的n倍，即求正n边形的周长转化成求边长的问题，体会转化思想。
图3 图4 (2) 如图3，分别连接OB、OC，再过点O作OMBC于点M，
BM=OBsinBOM=1×sin36=sin36°,BC=2BM=2sin36°。圆的内接正五边形的周长
P
5
=5BC=10sin36°。
(3) 如图4，圆的内接正n边形的边长BC=2BD=2OBsin∠BOD =2×1×sin
n
180 圆的内接正n边形的周长（圆的半径为1）
P
n
=n×2×1×sinn
180 追问：如果圆的半径为R，那么圆的内接正n边形的周长
Pn
=
（用含R、n的式子表示）
P
n
=n×2×R×sinn
180 数，这是隐含的条件，同学们要注意挖掘。
个别同学单独回答。
引导学生用含n、R等参数来表示圆的内接正多边形的周长，用函数的模型来刻画圆的内接正多边形的周长。
已知圆的半径R=1，圆的内接正n边形的周长
P
n
=n×2×1
×sin
n
180，体会“函数建模思想”、“数学结合思想”。 再次感受从特殊到一般的思想、数建模思想”等。
探究
与合作
活动5：计算圆的内接正多边形的周长与直径的比值。不妨设圆的半径R=1。分组合作讨论并把计算结果填到本小组的答题板中。从表格中，你有什么发现？
具体分工如下：
第1、2小组：计算：当n=3，4，5，6，7，8 时，圆的正n边形的周长与直径的比值。
第3、4小组：计算：当n=9，10，11，12，13，14 时，圆的正n边形的周长与直径的比值。 第5、6小组：计算：当n=28，56，112，224，448，896 时，圆的正n边形的周长与直径的比值。
分析：（用几何画板演示）
学生分组合作讨论，教师巡视，参与到各组的讨论中。然后
每个小组派代表把答题贴到黑板上。
教师用几何画板展示动画（圆的内
通过小组活
动，每个学生都参与计算，并做组内交流自己的看法和计算结果，也培养团队合作精神。
归纳：当圆的内接正多边形的边数越来越大时，它的周长
P
n
越来越接近圆的周长C，
R
P
n
2也越来
越接近圆的周长与直径的比值
R
C
2,这个数就是圆周率π，π是一个无理数=3.141592653793……
接正多边形的边数的变化，它的形状的变化，及表格中的数据和相应的行数也跟着变化）。
教师操作几何画板，并且与学生一起比对每个小组的计算结果，并做出点评。
学生观察几何画板动态的演示和表格中的数据的变化，试着归纳：当圆的内接正多边形的边数越来越大时，它的周长与直径的比值的变化趋势。教师及时点评。
通过几何画板的演示，学生可以直观正n边形的形状的动态变化过程，同时表格也会跟着动、拉伸且表中的数据也跟着变。这样学生能够清楚地比对他们的计算结果的是否正确，也能更直观对比数据和更进一步发现变化的规律，同时学生对圆周率π的兴趣也提高很多了。用几何画板进行动画演示，课堂气氛更加活跃了。
探究与合作
活动6：圆周率π的由来
圆周率π的探索历程大致可以分为以下五个阶段：
（1）最早的圆周率:在我国东汉初年的《周髀算经》（如图1）里就有记载“径一而周三”的古率，即圆周率π≈3.
教师先把圆周率的探索历程大致分成五个阶段。接下来，学生分组合作讨论。
学生通过对圆周率的历史阅读、收集、分享，培养收集2）阿基米德与圆周率：公元前3世纪，古希腊数学家阿基米德（如图2），用圆的内接正多边形和圆的外切正多边形，从内外两个方向逼近圆，得到圆周率的值介于
71223和7
22
之间。阿基米德是当时世界上第一个用科学的方法寻求圆周率的
人。
（3）刘徽的割圆术：魏晋时期的数学家刘徽（如图3）首创“割圆术”求圆周率的方法，在数学史占有有重要的地位。下面我们就一起来看看刘徽是怎么割圆的？刘徽的方法是用圆的内接正多边形从一个方向逐步地逼近。首先是用正六边形来逼近圆，进而再对圆十二等分，用一个正十二边形来逼近……，这个时候他发现“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”。也就是，当我分割的越细，这个时候正多边形，则与圆越接近，刘徽用这种方法不断地“割圆”，一直到圆内接正192边形，得到圆周率的近似值是3.14.刘徽把圆周率精确到了小数点后的2位。刘徽的割圆术与阿基米德的方法类似，都是用正多边形逼近圆，而不同的是阿基米德是从两个方向同时逼近圆，而刘徽是从一个方向来逼近圆。
图3 图4
(4)祖冲之计算圆周率：在我国南北朝时期的数学家祖冲之（如图4）在公元5世纪又进一步求得圆周率的值介在3.1415926和3.1415927之间，还得到两个分数形式的近似值：密率为113
335
，约率为
7
22
，用分数来代替π，极大地简化了计算，这种思想比西方也早一千多年。他是第一个将圆周
接下来，小组代表发言。教师点评与补充。
学生体会到阿基米德用圆的内接正多边形和圆的外接正多边形，从内外两个方向逼近圆，从求得圆周率π。
而刘徽的割圆术也是利用用内接正多边形，从一个方向上逼近圆。 师：科学家们追求真实令人佩服啊！圆周率是圆的周长与直径的比值，是一个固定值，且是一个五限不循环小数，3.14是它的近似值。
教师引导学生对阿基米德求圆周率的方法与刘
信息、整合信息，提高质疑、理解的能力。会进一步感受科学家们追求真理的坚强的精神与品质。 在阅读理解过程中，体验数学研究方法发展的过程、极限思想、圆周率精确位数的现代价值等，为今后的数学学习提供一定的参考价值；
体验数学文化的魅力，激发研究数学的兴趣，在阅读刘徽、祖冲之的相关成就时，激发学生的民族自豪感。
这个数学阅读
率的计算精确到小数点后7位的人。这是中国人的骄傲。
师：随着时代的发展，人们利用高等数学的知识来计算π的值，先后得出了许多π的计算公式，π的近似值的位数也迅速增长。
（4）计算机出现以后：电子计算机问世以后，圆周率的计算突飞猛进，π的小数点后的位数不断地增长。20世纪50年代，π的近似值得到千位以上，60年年代则达到50万位，80年代得到10亿位，到21世纪初，科学家已计算出π的小数点后超过万亿的位数。
图5
徽的求圆周率的方法进行对比，找出相同与不同的地方。
学生举手回答，各抒己见。教师点评与总结。
内容，为学生展示了圆周率的研究简史，介绍了相关的圆周率的研究历史和方法，为学生打开了一扇窥视数学文化发展史的窗户，为进一步理解圆周率的意义，及为今后中学的相关数学学习，留下一片想象的空间。。
探究与合作
活动7：圆周率π的作用与生活.
1. 在数学、物理学、航天、统计学等领域有重要的作用。
2. 当今时代，π的计算成为测试超级计算机的各项性能的方法之一。运算速度与计算机的稳定性对计算机至关重要。这正是超高精度的π的计算直到今天仍然有重要意义的原因之一。
3. 人们对π的研究从未停止过。为了纪念圆周率π，还把每年的3月14日，规定为圆周率日。你看还有π的爱好者制作一个π形单车、π形地标等。有关于π的作用与生活还有很多，可以说生活中处处有π。留着你们课后去发现与研究。
教师讲述，学生认真倾听。学生感受的圆周率π在生活的应用很广。
学生感受圆周率π的重要作用及意义。体会圆周率π与我们的生活息息相关。激发学生学习数学的兴趣。
小结
活动8：
1.本节课，你有什么收获？ 2.本节课的数学思想有哪些？ 教书聆听学生的回答。并做点评与小结。
再次回顾本节所学的内容与数学思想。 作业 活动9：阅读与收集有关于π的资料。
进一步了解圆周率π的知识。
视频来源：优质课网 www.youzhik.com
