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视频标签：用频率,估计概率
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视频课题：初中数学九年级上册数学活动《动手实践用频率估计概率》北京
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初中数学九年级上册数学活动《动手实践用频率估计概率》 北京师范大学朝阳附属学校
课题： 数学活动《动手实践用频率估计概率》 授课教师：
授课班级： 授课时间： 年 月 日
教学目标
（一）知识与技能目标：
1.理解通过大量重复实验可以用频率估计概率．
2.了解频率和概率的区别与联系，进一步理解频率的随机性和稳定性． （二）过程与方法目标：
3.经历抛掷硬币和投图钉试验，通过对数据进行收集、整理、描述与分析，获得用频率估计概率的方法, 并能依据特定情境运用方法解决问题． 4.了解用频率估计概率的合理性和必要性，理解求随机事件概率两种方法（列举法，用频率估计概率）的区别和联系． （三）情感与态度目标：
5.通过动手试验，培养随机观念和勇于探究的核心素养及交流协作的精神．
知识 维度 认知过程维度
记忆/ 回忆 理解 应用
分析 评价
创造
事实性知识 目标1 目标4 概念性知识 目标2 程序性知识 目标3 元认知知识
目标5
学情分析
学生在小学对事件发生的可能性大小已经有了初步的认识，有了在具体环境中对可能性的体验. 在七年级时学习了用全面调查、抽样调查的方法收集数据，用简单的统计图表整理和描述数据，对统计活动的基本过程已经比较熟悉，有能力开展试验活动、统计分析试验数据．在本章前两节的学习中，学生们也已经接触了概率的古典定义，能够在“结果有限和各种结果出现的可能性相等”的前提下计算一些简单事件发生的概率．学生已有的统计与概率知识为本节课的学习打下了较好的认知基础．
学生可以从试验中归纳、总结得到一个事件发生的频率，进而可能就认为这个频率就是这个事件发生的概率，较难理解概率是一个客观存在的数值，是这些频率的一个稳定的趋向值．
教学 重点与难点 重点：用频率估计概率
难点：用频率估计概率的合理性；频率的随机性
设计思路
在本节教学中，充分考虑了本阶段学生的数学学习特点，根据学生的认知基础，设置恰当的试验过程，引导学生对试验数据进行分析、发现、归纳和辨析。合作探究实验有利于激发学生的学习兴趣，引起学生的数学思考．在试验的过程中逐渐体会到大量重复试验中，随机事件发生的频率具有稳定性，可以用频率的稳定值作为概率的估计值，加深对概率统计意义的理解．为了尽可能减小用频率估计概率的误差，需要进行大量的重复试验，课堂上运用Excel软件的统计功能和程序软件的投币结果图来提高试验数据分析的有效性，更好地呈现大量数据中蕴含的规律性，即让学生直观形象地看到事件发生的频率随着试验次数的增加而呈现出的稳定性．
在学以致用环节考虑了数学本身的特点，在学生获得的基本数学活动经验基础上，重视学生已有经验，进行投掷图钉探究钉尖朝上的概率．这种探究的过程是从
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实际背景中抽象出数学问题、构建数学模型、寻求结果、解决问题的过程．
学材选择与分析 “用频率估计概率”是 人教版九年级上25章《概率初步》这一章的第三节，本节课是在试验的基础上对课本知识和实验操作的一种整合，学生初步了解概率的意义及会用概率的古典定义求一些简单等可能事件的概率之后对概率的进一步研究. 教材这样编排其主要意图有三：1、遵从概率的产生及发展规律. 历史上概率（指
客观概率）的定义经历了三个阶段：①概率的古典定义；②概率的统计定义；③概
率的公理化定义. 2、符合学生的认知规律. 概率的古典定义相对简单，所涉事件的概率有确定的结果，学生易于接受，而概率的统计定义其内涵更为深刻. 3、相对于概率的古典定义，用频率估计概率的方法更具一般性与普遍性，它不受列举法求概率两个条件的限制，适用范围更广．
教与学的方法 启发式、归纳总结式教法 自主试验与合作、探究式学习法 一课一问
列举法求概率的条件是什么？
板书设计
动手实践用频率估计概率
一．悟
结论1： 结论2： 归纳小结： 二．行
由此可以估计图钉钉尖朝上的概率为_____________
教学环节
师生活动
设计意图
活动一 作业展示 问题呈现
一课一问：列举法求概率的条件是什么？
引入问题：问题：抛掷一枚图钉，你能估计出“钉尖朝上”的概率吗？
钉尖朝上 钉尖朝下 思考：能否用列举法求上述事件的概率？为什么？
由分析可知：钉尖朝上和钉尖朝下两种结果出现的可能性不相等，列举法无法解决此类问题，我们需要一种新的方法．在此基础上，导出课题．
首先复习列举
法求概率的两个条件，再从学生熟悉的事物引入，激发学习兴趣的同时，得出投掷图钉中结果的可能性不相等，由此引发认知冲突，导入新课.
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活动二 分组实验 探究新知
任务1：考察频率与概率是否相同？
活动1： 抛掷一枚硬币 50 次，统计“正面向上”出现的频数，计算频率，填写表格，思考． 组员分工：
1 号同学 抛掷硬币，约达 1 臂高度，接住落下的硬币，报告试验结果； 2 号同学 用画记法记录试验结果；
3 号同学 监督，尽可能保证每次试验条件相同，确保试验的随机性，填写表格．
全班同学分成若干小组，同时进行试验．
思考1：请观察表中频率栏的数据，你能不能发现事件“正面向上”的频率有什么特点？频率与概率有什么区别？
结论1：频率是在相同条件下进行重复实验时事件发生的次数与试验总次数的比值，是随机的，变化的，在试验前不能够确定的。而一个随机事件发生的概率是确定的数，是客观存在的，与实验无关．
任务2：随着重复试验次数的增加，观察“正面向上”的频率的变化趋势是什么？
活动2：教师引导全班学生一起，把第1组的试验数据记录在表格的第一列，第1、2组的数据之和记录在第二列，第1、2、3组的数据之和记录在第三列……，完成统计表1-2；教师填写完表格后，电脑软件Excel自动绘出频率折线图．
教师展示4组由投币程序软件获得的500次试验的频数图。
在已知概率的情况下引入试验，基于以下原因：（1）抛掷硬币试验所需条件容易实现，可操作性强；（2）硬币试验历史上积累了大量数据，更有利于问题的说明；（3）用频率估计概率可以和前两节学习的概率的古典定义统一，两种不同的方法求得的是同一个概率，且概率的统计定义比古典定义更具一般性.
①“在相同条件下”使数据更真实有效；②合理分组，可以减少劳动强度，加快试验速度，同时在培养动手能力与探索精神中，培养团队协作精神. 通过试验，进一步揭示概率的内涵──概率是针对大量重复试验而言的，大量重复试验
反映的规律并
非在每一次试
验中反映出来.
反过来，试验次数太少时，有时不能合理估计概率.
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活动三 学以致用，
解决问题
任务：抛掷一枚图钉，估计“钉尖朝上”的概率． 活动：抛掷一枚图钉 50 次，统计“钉尖朝上”出现的频数，用 Excel 逐步累加全班数据，观察频率变化 折线图，估计“钉尖朝上”的概率．
注意：水平拿图钉，如图，从视线高度松手，让图钉下落，尽可能保证每次试验条件相同，确保试验的随机性．
试验规则：
①每分成若干小组，每组完成50次，做好记录；
② 每个小组的组长汇总50次试验的结果，并报给教师，同学们都完成下列统计表3-1；
③教师在电脑内设置自动生成统计表3-2；
老师填写完表格后，由此可以估计图钉钉尖朝上的概率为_____________．
结论：当随机试验可能出现的结果有无限多个，或者各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率．一般地，试验次数越多，估计的效果就越好．但是频率不能代替概率．
思考：请你再举出一些与这个例子类似的生活、学习、工作中的案例． 可以举出抛掷瓶盖，求“盖面着地”的概率；抛掷一枚不均匀的骰子，“向上的一面点数为6”的概率等．
通过对生活中
常见实例的研究，经历猜测、实验、验证的过程.
通过抛掷图钉的试验，让学生进一步感受用频率估计概率方法的适用范围，并用概率值来解释生活经验．
通过两次试验，引导学生体会概率定义“从简单到复杂、从特殊到一般、从具体到抽象”的逐步变化，感受概率统计定义是对古典定义的进一步扩充．
活动四 当堂总结，
思维升华
1：目前我们学了两种求随机事件概率的方法，那么这两种方法各有什么特点？ 概率的古典定义应用时需要满足有限性与等可能性，应用范围较窄，但
是求出的是概率的准确值．概率的统计定义应用时没有条件限制，应用范围较广，但通常情况下求出的是概率的估计值． 2：通过本节课的学习，你有哪些收获？
在长期实践中，人们观察到，对一般的随机事件，在做大量重复试验时，随着试验次数的增加，一个事件出现的频率，总在一个固定数的附近摆动，呈现出一定的稳定性．人们就用频率的稳定值作为概率的估计值．这 就是求随机事件概率的新方法“用频率估计概率”．
归纳总结本课时学习的知识与方法，让学生对所学内容有
一个系统、完整的认识．
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活动五 课后作业 感悟提升
1.必做题课本148页第4题《投针试验》
作业说明：（1）针可以用小木棒来代替。（2）分组进行探究。 2.选做题: 阅读投针试验相关材料,思考在蒲丰试验中应用了本节课那些相关知识,并在网上进行拓展阅读。
数学家的故事：蒲丰试验
一天，法国数学家蒲丰请许多朋友到家里，做了一次试验。蒲丰在桌子上铺好一张大白纸，白纸上画满了等距离的平行线，他又拿出很多等长的小针，小针的长度都是平行线的一半。蒲丰说:“请大家把这些小针往这张白纸上随便仍吧!”客人们按他说的做了。蒲丰的统计结果是：大家共掷2212次，其中小针与纸上平行线相交704次，2210÷704≈3.142。蒲丰说：“这个数是π的近似值。每次都会得到圆周率的近似值，而且投掷的次数越多，求出的圆周率近似值越精确。”这就是著名的“蒲丰
试验”。蒲丰最早设计了投针试验。这一方法的步骤是： 1) 取一张白纸，在上面画上许多条间距为a的平行线。 2) 取一根长度为l(l=a/2) 的针，随机地向画有平行直线的纸上掷n次，观察针与直线相交的次数，记为m。 3)计算针与直线相交的概率.
蒲丰惊奇地发现：有利的扔出与不利的扔出两者次数的比，是一个包含π的表示式.如果针的长度等于a/2，那么有利扔出的概率为1/π.扔的次数越多，由此能求出越为精确的π的值。蒲丰本人证明了，这个概率是：
(其中π为圆周率) 由于它与π有关，于是人们想到利用
投针试验来估计圆周率的值。
通过活动探究进行知识上的巩固和拓展．
蒲丰投针问题被认为是数学史上最早的几何概率的研究成果，在数学史上有着非常重
要的意义，课后的蒲丰投针的阅读材料希望学生能够感受
数学的魅力
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