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视频课题：高中数学人教A版选修2-1-2.2.2 椭圆的简单几何性质_湖北省 - 襄阳
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高中数学人教A版选修2-1-2.2.2 椭圆的简单几何性质_湖北省 - 襄阳
南漳一中 高二年级 教学设计 数学选修2-1 椭圆简单几何性质习题课
2.2.2 椭圆的简单几何性质习题课
◆ 知识与技能目标
了解用方程的方法研究图形的对称性；理解椭圆的范围、对称性及对称轴，对称中心、离心率、顶点的概念；掌握椭圆的标准方程、会用椭圆的定义解决实际问题．
◆ 过程与方法目标
首先复习椭圆的简单几何性质，然后通过几个典型例题的讲解来让学生了解本节课需要掌握的几类题型，学生完成相应的变式训练题，最后学生以小组讨论的形式完成对题型的深入理解，学生展示小组讨论的结果，达到了解椭圆的基本几何性质的几类题型能够掌握椭圆的基本性质并能解决相应问题的目的。
◆ 情感、态度与价值观目标
在合作、互动的教学氛围中，通过师生之间的交流以及学生小组讨论的形式完成本节课教学内容，培养学生科学探索精神、审美观和科学世界观，激励学生创新．
◆ 教学过程 一.复习引入 (1)椭圆的简单几何性质：
焦点的位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图形
标准方程 x2a2＋y2
b2
＝1(a＞b＞0) y2a2＋x2
b2
＝1(a＞b＞0) 范围 －a≤x≤a且－b≤y≤b
－b≤x≤b且－a≤y≤a 顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，
A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，
B2(b,0)
B2(0，b)
轴长
短轴长＝2b，长轴长＝2a
焦点 F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距 |F1F2|＝2c
对称性 对称轴x轴和y轴，对称中心(0,0)
离心率
e＝c
a
(0<e<1) (2)当椭圆的离心率越接近于1，则椭圆越扁；当椭圆的离心率越接近于0，则椭圆越接近于圆． 二.典型例题讲解
探究点一 由椭圆的几何性质求方程 例1 椭圆过点(3,0)，离心率e＝
6
3
，求椭圆的标准方程． 解 ∵所求椭圆的方程为标准方程，又椭圆过点(3,0)， ∴点(3,0)为椭圆的一个顶点．
①当椭圆的焦点在x轴上时，(3,0)为右顶点，则a＝3，
∵e＝ca＝63，∴c＝63a＝6
3×3＝6，
∴b2＝a2－c2＝32－(6)2＝9－6＝3，
∴椭圆的方程为x29＋y2
3
＝1.
②当椭圆的焦点在y轴上时，(3,0)为右顶点，则b＝3，
∵e＝ca＝63，∴c＝63
a，
∴b2＝a2－c2＝a2－23a2＝1
3a2，
∴a2＝3b2＝27，∴椭圆的方程为y227＋x2
9＝1. 综上可知，椭圆的标准方程是x29＋y23＝1或y227＋x2
9
＝1.
探究点二 椭圆几何性质的基本应用 例2 已知椭圆的两个焦点为M是椭圆上一点，若
，则该椭圆的标准方程是.
解 由题意可知
所以
12(5,0),(5,0)
FF12120,8
MFMFMFMF125cMFMF
南漳一中 高二年级 教学设计 数学选修2-1 椭圆简单几何性质习题课
探究点三 求椭圆的离心率
例3 如图所示，椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，A，B是椭圆的顶点，P是椭圆上一点，且PF1⊥x轴，PF2∥AB，求此椭圆的离心率．
解 设椭圆的方程为x2a2＋y
2
b
2＝1 (a>b>0)．
如题图所示，则有F1(－c,0)，F2(c,0)，A(0，b)，B(a,0)， 直线PF1的方程为x＝－c，
代入方程x2a2＋y2b2＝1，得y＝±b2
a，
∴P
－c，b2a. 又PF2∥AB，∴△PF1F2∽△AOB. ∴|PF1||F1F2|＝|AO||OB|，∴b22ac＝ba
，∴b＝2c. ∴b2＝4c2，∴a2－c2＝4c2
，∴c2a2＝15
.
∴e2＝15，即e＝55，所以椭圆的离心率为55.
三.课堂小结与归纳
1．在不知椭圆焦点在哪个轴上时，这时要切记需要分类讨论．
2．(1)只有在已知a,b,c三个中的两个才能求出标准方程.(2)要学会结合椭圆的定义建立等量关系. 3．(1)只有求出a,b,c之间的一个等量关系才能求出离心率.(2)要学会依据题意建立等量关系或者不等关系求解离心率问题. 四.当堂训练
变式训练1 求满足下列各条件的椭圆的标准方程．
(1)已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，若其离心率为1
2，焦距为8.
(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为3.
解 (1)由题意知，2c＝8，c＝4，
∵e＝ca＝4a＝1
2，∴a＝8，
从而b2＝a2－c2＝48，
∴椭圆的标准方程是y264＋x2
48
＝1.
(2)由已知得
a＝2c，
a－c＝3，
∴
a＝23，c＝3，
从而b2＝9， ∴所求椭圆的标准方程为x212＋y29＝1或x29＋y2
12
＝1.
变式训练2 设椭圆 的左右焦点分别是 点P在椭圆上，且满足
，则 的值为
解 由余弦定理得
变式训练3 设椭圆 的焦点为 且椭圆上存在点P使得
求离心率e的取值范围.
解
由基本不等式得
22
1
2221212208
3,21942MFMFxyMFMFabMFMFa
方程为22
1
1612xy12
,FF129PFPF12PFPF22
121212121216
cos92PFPFPFPFPFPFPFPFPFPF
2212121234+=8=15PFPFPFPFPFPF
又22
22
1(0)xyabab
12,FF12PFPF122
12222
12224PFPFaPFPFbPFPFc121222,2PFPFaPFPFab
即22222212
2221
22
aacaacee
2.2.2 椭圆的简单几何性质习题课
明目标、知重点
1.复习椭圆的基本几何性质.
2.了解椭圆的基本几何性质的几类题型能够掌握椭圆的基本性质并能解决相应问题．
1．椭圆的简单几何性质
| 焦点的位置 | 焦点在x轴上 | 焦点在y轴上 |
| 图形 |
 |
 |
| 标准方程 | ＋＝1 (a>b>0) | ＋＝1 (a>b>0) |
| 范围 |
－a≤x≤a， －b≤y≤b |
－b≤x≤b， －a≤y≤a |
| 顶点 |
A1(－a,0)，A2(a,0)， B1(0，－b)，B2(0，b) |
A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b,0)，B2(b,0) |
| 轴长 | 短轴长＝2b，长轴长＝2a | |
| 焦点 | (±，0) | (0，±) |
| 焦距 | |F1F2|＝2 | |
| 对称性 | 对称轴：x轴、y轴 对称中心：原点 | |
| 离心率 | e＝∈(0,1) | |
例2 已知椭圆的两个焦点为M是椭圆上一点，若 
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