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视频课题：人教B版高中数学选修1-1第二章2.1.2 椭圆的几何性质-广东省优课
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椭圆的几何性质及应用（第二课时）
授课班级：高三（13）班 授课时间：2018年11月26日第三节
课前预习案
考纲要求
1、了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用. 2、掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质. 3、了解椭圆的简单应用.
4、理解数形结合的思想.
知识梳理
1、 椭圆的定义：平面内到两个定点F1,F2的距离的和 (大于|F1F2|)的点的
轨迹叫做椭圆.这两个定点F1,F2叫做椭圆的 .
注:若点M满足|MF1|+|MF2|=2a, |F1F2|=2c,其中a>0,c>0,且a,c为常数. (1)当 时,点M的轨迹是椭圆; (2)当 时,点M的轨迹是线段; (3)当 时,点M的轨迹不存在.
注意：椭圆中涉及焦点时，注意运用椭圆的定义来解题。 2、 椭圆的方程
(1)标准方程： 当焦点在x轴上时，椭圆方程为 ，
当焦点在y轴上时，椭圆方程为 .
(2)一般方程： 焦点位置不确定时，椭圆方程为 . (3)参数方程： 当焦点在x轴上时, 参数方程为 .
(4)与)0(12
2
22babyax共焦点的椭圆系方程为 .
注意：求椭圆的方程，用待定系数法，先定位，后定量。 3、 椭圆的离心率：椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率。
1） 离心率的取值范围：
2） 离心率对椭圆形状的影响：离心率e 越大，椭圆就越扁；离心率e 越小，椭圆
就越圆。
4、 椭圆的简单几何性质 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方程
)0(122
22bab
yax )0(122
22bab
xay 图
形
焦点坐标 （±c, 0）
（0, ±c）
对称性 关于x,y轴成轴对称，关于原点成中心对称.
顶点坐标 （±a, 0）(0, ±b) （±b, 0）(0, ±a) 范围
||,||yax
||,||ybx
2
长轴、短
轴、焦距 长轴A1A2的长为 ，短轴B1B2的长为 ，焦距F1F2的长为
离心率 椭圆的焦距与长轴长的比e＝ （0<e<1）
a,b,c关系
5、 性质拓展：
(1) 椭圆上的点与焦点距离的最大值为ac，最小值为ac；椭圆上的点与原点距离的最大值为a，最小值为b.
(2)通径：过椭圆的焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦称为椭圆的通径，其长度为2
2a
b.
(3)焦点三角形：椭圆上任意一点P(y≠0)与两焦点构成的三角形称为焦点三角形。 常用的结论有： （其中焦点三角形21FPF中,21PFF请将证明过程写在笔记本上）
① 周长为2a+2c. ② 2
tan
2
21
bSPFF. ③ .21cos2e
④当P为短轴端点时，最大，此时21MFMF最大，面积也最大。
课堂探究案
典型例题
考点1 根据定义或几何性质求方程
【例1】（1）【2017全国I卷，20】已知椭圆C：22
221(0)xyabab
，四点1(1,1)P，
2(0,1)P， 33(1,)2P，43
(1,)2
P中恰有三点在椭圆C上．求C的方程；
（2）【2016全国I卷，20】设圆01522
2xyx的圆心为A，直线l过点)0,1(B且与
x轴不重合，l交圆A于DC,两点，过B作AC的平行线交AD于点E．证明EBEA为定值，并写出点E的轨迹方程；
【变式1】（1）【2014全国I卷，20】)已知点A(0,2)，椭圆E：22
221(0)
xyabab
的离心率为32，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为23
3
，O为坐标原点．求椭圆
E的方程。
（2）【2013全国I卷，20】已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆
M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C．求C的方程. （改编教材选修2-1 P50 B组第2题）
3
考点2 椭圆中的离心率问题
【例2】(1)【2012全国I卷】设1F、2F是椭圆22
22:1(0)xyEabab
的左、右焦点，P
为直线32a
x上一点，12PFF是底角为30的等腰三角形，则E的离心率为（ ）
A.12 B .23 C. D.
(2)【2014江西卷】设椭圆C: 22
221(0)xyabab
的左、右焦点为F1,F2,过F2作x
轴的垂线与C相交于A,B两点,F1B与y轴相交于点D,若AD⊥F1B,则椭圆C的离心率等
于 . 【优化设计P156 典例2】
X*K]
【变式2】(1)【2018全国Ⅱ卷】已知1F，2F是椭圆22
221(0)：xyCabab的左，右
焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为3
6
的直线上，12△PFF为等腰三角形，
12120FFP，则C的离心率为( )
A． 23 B．12 C．13 D．14
(2)【2016·全国III卷】已知O为坐标原点，F是椭圆C：x2a2＋y2
b
2＝1(a＞b＞0)的左焦点，
A，B分别为椭圆C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴．过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为( )
A.13 B.12 C.23 D.34
[来源学*科*网Z*X*
【优化设计P155 对点训练2】
解题心得： 1.对于椭圆标准方程的求解,首先要明确参数a,b,c,其次要熟练掌握其内在关系,最后对于椭圆上的已知点要有代入的意识.（基本量的计算） 2.若涉及求轨迹方程，多联系椭圆的定义。在利用椭圆定义解题的时候,一方面要注意到常数2a>|F1F2|这个条件;另一方面要熟练掌握由椭圆上任一点与两个焦点所组成的焦点三角形中的数量关系. 特别注意是否有要排除的点。 解题心得：
离心率是椭圆的重要几何性质之一,是高考中常考的问题.
此类问题要么直接求出参数a和c,进而通过公式e＝
c
a
求离心率;要么先列出参数a,b,c的关系式,再转化为只含有a和c的关系,进而得出离心率.求解离心率的取值范围除了借助椭圆本身的属性,有时还要借助不等式知识及椭圆的范围等几何特点. 注意尽量数形结合，通过几何关系解题，避免用代数法的计算繁杂。
4
考点3 椭圆中的焦点三角形问题
【例3】(1)已知F1,F2是椭圆C: x2a2＋y2
b
2＝1(a＞b＞0)的两个焦点,P为椭圆C上的一点
且 .若△PF1F2的面积为9,则b= . 【优化设计P154 例1（1）】
(2)已知椭圆)0(122
22babyax的两焦点分别为,,21FF若椭圆上存在一点,P使得
,1200
21PFF则椭圆的离心率e的取值范围为 .
*K]
【变式3】(1)已知P是椭圆
19
252
2yx上的点，21,FF分别是椭圆的左、右焦点，若12121
2
PFPFPFPF，则21FPF的面积为
]
(2) 椭圆C: x2a2＋y2
b
2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1,F2,若椭圆C上恰好有6个不同
的点P,使得△F1F2P为等腰三角形,则椭圆C的离心率的取值范围是 ( )
A.12(,)33
B. 1(,1)2 C.11(,)32
D.111
(,)
(,1)322
【优化设计P156 典例1】
课后小结 谈谈收获
通过本节课的学习，同学们应明确以下几点：
(1)掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质。
(2)解题时注重“三个充分”，即充分利用椭圆定义，充分利用几何性质，充分利用图形。 (3)解题时注重数形结合思想的应用。 课后作业 巩固升华
1.配套练习：考点规范练49（椭圆）中的小题以及大题的第1 小问。 2.教材人教A版选修2-1 p50 B组
3.知识拓展：阅读教材人教A版选修2-1 P50-51，了解椭圆的准线，第二定义，结合P47 例6理解。
视频来源：优质课网 www.youzhik.com
