北师大必修四第二章第三节3.2《平面向量基本定理》陕西省

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北师大必修四第二章第三节3.2《平面向量基本定理》陕西省 - 渭南

平面向量基本定理

一、教材分析本节的地位和作用：
（1）在高中数学中，向量是沟通代数、几何与三角函数的重要工具。（2）平面向量基本定理是向量法的理论基础。二、学情分析 1、知识基础
前几节课已经学习了向量的基本概念和基本运算；学生对向量的物理背景有了初步的了解。 2、认知水平和能力
学生已经初步具备类比归纳的能力，能在教师的引导下解决问题。 3、任教班级学生特点：
学生基础不太扎实，观察发现，抽象概括能力比较差，有待进一步提高。三、目标分析 1.教学目标知识与技能
1、了解平面向量基本定理及其意义，会用基向量表示平面中的任一向量，为向量坐标化打下基础；
2、能用平面向量基本定理进行简单的应用。过程与方法
1、通过对平面向量基本定理的探究，让学生体验数学定理的产生、形成过程，培养学生观察发现问题的能力，加强思维能力的训练。
2、通过对平面向量基本定理的运用，增强学生向量的应用意识，让学生进一步体会向量是处理几何问题强有力的工具之一。  情感、态度与价值观
1、用现实的实例，激发学生的学习兴趣，培养学生不断发现、探索新知的精神，发展学生的数学应用意识；
2、经历定理的产生过程，让学生体验由特殊到一般的数学思想方法，在探究活动中形成锲而不舍的钻研精神和科学态度。  2.教学重点和难点
重点：1、对平面向量基本定理的探究；
2、利用平面向量基本定理进行向量的分解。难点：    平面向量的分解及对这种分解唯一性的理解。四、教学方法：问题导入法；自主探究法五、教学过程设计 1.复习回顾，打好基础； ⑴向量共线充要条件
ba向量与非零向量共线的充要条件是.ba有且只有一个实数，使得
⑵向量的加法：

2.创设情境，提出问题
a
b
O
B
C A
a
b
O
A
a
b
b
ab
a平行四边形法则
三角形法则
B




                            如图：静止在斜面上的物体受到地球的引力，为什么有向下运动的趋势？这个力的方向与大小如何在图像上体现？
那么平面内的任一向量能否用平面内两个任意向量表示？力分解的数学依据是什么？（引出课题，并板书课题）展示学习目标
1、理解平面向量基本定理；  2、了解基底的含义；
3、会用任意一组基底表示给定向量。
问题1：取任意两不共线向量          ，能否表示平面内任意向量



  12ee
、a
2
eO
C
A
B
M N
   OCOMON

如图111OMOAe1122
OCee1122
   +aee即222
ONOBea
1
e1
e2
eO C
A
B
M
a
   OCOMON
如图111
OMOAe222
ONOBea
N
1122
OCee
1122
   +aee
即



                            1122 +aee
这就是说平面内任一向量都可以表示成的形式
问题2；如果不共线向量        及    向量给定，那么       是否唯一            由几何性质知，这样的四边形唯一，由共线充要条件知，唯一；所以，这样的分解是唯一的
问题3：如果       两向量共线，能否表示平面内任一向量
因为11
22
+ee
与   共线，而与   不一定能共线，所以不能表示
由以上三个问题引出定理（板书定理）
平面向量基本定理：
12121122

                                   +eeaaee

 如果、是同一平面内的两个线的向量，
那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对
实数、，使不共
12ee
不共线的向量、叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.
定理应用：
例1．设e1，e2是不共线的两个向量，判断e1－2e2与4e2－2e1；  能否作为平
面内表示所有向量的一组基底。
    分析：因为4e2－2e1=—2（e1－2e2），所以4e2－2e1与e1－2e2共线。

12ee、a
12
、12、12ee
、2
e1
e
a

1
ea:,ABCDMMA
例2如图，平行四边形的两条对角线相交于点请找出图中几组你认为能做为基底
的向量；能否用你选的一组基地表示。





课堂练习:


六课堂小结
1、知识小结：
平面向量基本定理：
            ABCDACABADab
DBABADab


解：在   中，
    12222

ababMAAC

B
A
C
D
M
a
b
1122
12121122121122121200
AaaeeBeeCDeeee




.对平面中的任一向量，使   的实数、有无数对
.对实数、，不一定在平面内 .平面内零向量可以作基底，
.若实数、使则1.如果、是平面内所有向量的一组基底，  那么（）
,,                               .()ABCDACaBDbABADab2.在   中，设,则,用、来表示B
A D C 1212123232+=  eeaeebeeab


、已知两向量、不共线，，μ，
  若，则实数μ



                            12121122

                                   +eeaaee

 如果、是同一平面内的两个线的向量，
那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数、，使不共
12ee
不共线的向量、叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.
2、方法小结：
        由特殊到一般的方法，数形结合思想、化归与转化思想七作业布置：
P101   习题2—3       A组     5、  6、  7.
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课题
平面向量基本定理
基地定义例题1 解答：例2
解答：

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