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视频课题：高中数学人教A版必修1第二章2.2.1对数-浙江省优课
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课题：2.2.1对数与对数运算 (第1课时)
一. 教材分析
对数这节课是必修1第2章对数函数第1课时．学习对数的概念是对指数概念和指数函数的回顾与深化，是学习对数函数的基础．
二. 学情分析
高一学生已经学习了函数的概念、函数的表示方法与函数的一般性质，对函数有了初步的认识．学生已经完成了分数指数幂和指数函数的学习，了解了研究函数的一般方法，经历过从特殊到一般，具体到抽象的研究过程．
对数的概念对学生来说，是全新的，需要教师引导学生利用指数与指数函数的相关知识理解对数的概念．在教学过程中，就对数概念本质的发生过程向学生展现，以帮助学生真正理解概念，将对数这一新知纳入已有的知识结构中．
三. 教学目标
1. 理解对数的概念，会熟练地进行指数式与对数式的互化．
2. 学生在解决具体问题中体会引入对数的必要性，在举例过程中理解对数． 3. 学生在学习过程中感受化归与转化、数形结合、特殊到一般的数学思想，学会用相互联系的观点辩证地看问题．
四. 重点与难点
1. 重点：（1）对数的概念；（2）对数式与指数式的互化． 2. 难点：对数概念的理解．
五. 教学方法与教学手段
问题教学法，发生教学法．
六．教学过程
1. 创设情境建构概念
环节一:感受运算之繁，发现数表之妙
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 y 2 4 8 16 32 64 128 256 512 x 10 11 12 13 14
15
16
…
… y
1024
2048
4096
8196
16384 32768 65536 …
…
【问题1】请同学们计算下列各式:
163844096)3(1024125.0)2(51232)1( [设计意图] 对数的发展体上可分为简化运算思想的形成、对数表的发明、指数与对数关系的发现这三个阶段。因此沿着对数的发展脉络，设计了一个“天文数字计算”的情境，以繁杂的计算为映衬，凸显简化运算的迫切性。 [教学过程]
师：今天老师想考察大家的速算水平，请计算下列各式
学生埋头苦算，教师在教室巡逻。发现有人很快算出了答案。其他学生非常好奇。老师就叫该生回答他的算法。
生：我发现这些数都在表格的第二行中，那么我找到这些数所对应的第一行数就能简化运算。 师：能说的再具体点吗？
生：如32所对应的是5，512对应的是9， 那么163842222149595
师：把乘法运算简化成加法运算，真不错！
生：这个方法真太好了。居然不用计算，查查表就可以了！ 师：请同学们用这个方法来计算剩下的两题。谁来挑战第二题？ 生：1282227103
生：67108864222261412，这个表实在太好用了！
师：英国数学家纳皮尔把数表中上行的数称为“log-arithm”。这个数表在康熙年间传入中国，《数理精蕴》中把表中下行的数称为“真数”，把“真数”上面那个借来用一下的数称为“借数”。 “真数”一直沿用至今，而“借数”
----“真数”上面那个“所对应”的数，后来被称为“对数”。
生：（顿悟）原来“对数”不是指“对”（“错”的反义词）的数，而是指“对应”的数啊！
环节二：体验查表之缺，引入符号之需
【问题2】用发现的方法如何计算：6872031
[设计意图]利用具体的问题引发学生的认知冲突，引导学生运用数形结合的方法探索指数b是存在的，并且只有一个，进而想办法用数学符号表示指数b．
[教学过程]
师：查表能解决这个问题吗？
生：，在表上找到2031和687所对应的，和21xx的值，再查表并求21xx即得。问题是该表查不到。
师：满足20312x 的x是否存在，有几个？
生：作出xy2与y=2031的图象，发现它们有交点，而且只有一个，那么指数x在哪里呢？
生：交点的横坐标就是指数x．
师：看来满足20312x的指数x可由“2和2031”唯一确定，但它究竟是个什么数呢？现在用我们学过的数又不能把它写出来，怎么办呢？
生：用一个新的符号来表示它.
师：是的，数学家也是这么想的，他们解决这种问题的办法就是引进一个新的符号，比如这里的a3＝5，a等于什么呢？数学家就用a＝35来表示，a是由3和5确定的，将3和5写在相应的位置.
师：现在如何表示这里的指数x呢？指数x由2和2031确定，数学家用20312
log来表示，读作以2为底2031的对数，其中2为底数，写在下方，2031叫真数．
师：你能再举一些这样的对数吗？ 生：3b＝10 b＝log310； 4b＝5 b＝log45； 2b＝7 b＝log27；
……
师：根据这些具体的例子，你能得到一般情况下，对数是怎么表示的吗？ 对数的概念：如果a的b次幂等于N(其中a＞0，a≠1)，即ab=N，那么就称b是以 a为底N的对数，记作logaN＝b．其中，a叫做对数的底数，N叫做真数．
师：根据对数的概念，我们不难发现，对数来源于指数，这两个等式表示的是a，b，N三个量之间的同一个关系，只是表现形式不同而已，比如在ab
=N中，a＞0，a≠1，a叫底数，b叫指数，N叫幂，当变为对数式时，a的范围不变，a还叫底数，指数b现在叫对数，幂N现在叫真数.
2．具体实例理解概念
[学生活动]请每位同学写出2—3个对数，与同桌交流．
[设计意图]深入理解对数．第一阶段，让学生体会对数可以转化为指数，对数式和指数式是等价的；第二阶段，认识特殊的对数，明确对数式中a，b，N的范围． [教学过程]
师：大家都在积极地认识对数这个新朋友.我们一起来看看，有同学写了这样一个对数log327. 你知道它是个什么样的数吗？ 师：为什么等于3呢？ 生：因为33 =27.
师：还有同学写了log13
9，这是个什么数啊？
生：－2. 师：为什么？ 生：因为(1
3)－2 =9.
师：想认识对数只要将它转化为相应的指数式就容易理解了. 师：我也写一个log926，这是个什么数呢？ 生：不知道.
师：你知道它大概是多大吗? 生：1到2之间. 师：你怎么知道的呢？
生：因为91=9，92=81，26在9和81之间.
师：你是将问题转化为指数问题来考虑的.我们知道对数就是一个数，可以设它为b，转化为9b=26就好理解了.
[阶段小结]其实想要认识同学写的对数，只要将它转化为相应的指数式就明白了，指数式和对数式是可以等价转化的.
师：看大家写的对数有大于0的，有小于0的，有没有等于0的对数呢？ 生：log21=0. 师：还有吗？
生：只要底数取a>0，a≠1，真数为1的对数都等于0. 师：怎么表示呢？ 生：loga1=0(a>0，a≠1). 师：为什么？
生：因为a0＝1(a>0,a≠1) .
师：a0＝1是个特殊的指数式，还有其他特殊的指数式吗？ 生：a1＝a.
师：由这个我们又能得到什么样的对数式呢？ 生：logaa=1(a>0，a≠1) .
师：对数可正可负可为0，那对数是否能取到所有的实数呢？ 生：是的.
师：你怎么知道的呢？
生：从指数式ab
=N(其中a＞0且a≠1)中我们可以知道.
师：对数b可以取到一切实数，底数a＞0，a≠1，真数N应满足什么要求呢？
生：大于0.
生：在a＞0且a≠1时，ab
=N ，根据指数函数的值域可知 N只能取大于0的数.
[阶段小结] 通过讨论，我们认识了一些特殊的对数，知道对数b可以取到一切实数，但是真数N必须大于0.在认识对数的过程中，我们运用了对数式与指数式之间的等价转化. 3．概念应用方法总结
练习求下列各式的值：(1)log264； (2)log101
100； (3)log927．
[设计意图] (1)理解对数是个数，对数问题可以转化为指数问题来解决．(2)反思解题过程，从中得到两个对数性质logaab=b，alogaN＝N (a＞0且a≠1)，为对数求值提供新的方法．(3)激起学生进一步探索对数相关结论的兴趣．(4)介绍常用对数和自然对数． [教学过程]
师：回头看第1个问题的解决过程，log226=6，log1010-2=-2你有什么发现？ 师：一般情况下logaab=b对吗？ 生：对，因为ab= ab.
师：在logaab
=b这个式子中，真数N变成了ab
，相当于将指数式ab
=N带入对数
式logaN=b，消去N.现在如果将对数式logaN=b带入指数式ab
=N消去b，会得到什么呢？
生：a
logaN
＝N (a＞0
且a≠1)．
师：从第3小题中，你又会有什么发现呢？对数还有很多有趣的性质，有兴趣的同学可以继续研究.
师：大家看第2小题底数是10，我们通常将以10为底的对数叫常用对数，简记为log10 N＝lg N．以后在高等数学和物理学中还会经常用到以e为底的对数，叫做自然对数，loge N＝ln N．比如，lg2，ln3. 4．小结反思、固化概念
①对数的定义，指数式与对数式的互化． ②特殊对数：常用对数、自然对数．
③对数的几个一般性结论．
[设计意图]回顾反思本节课学习的知识和方法．主要让学生体会研究一个新的数学对象的一般方法，即
生：对数就是一个数．遇到对数问题转化为指数问题来解决．
师：很好，我们通过一些具体的例子得到了对数的概念，又通过举例和练习进一步认识了对数，在认识的过程中，发现遇到对数的问题可以转化为指数问题来解决.这两个式子是等价的，表示的是a，b，N这三个量之间的同一种关系.
师：既然对数就是一个数，你觉得下面我们可以研究什么？ 生：对数的运算．
师：那如何研究对数的运算性质呢？请同学们先回去思考，我们下节课再研究．
七.教学设计说明
对数概念对于高一的同学来讲是一个全新的概念。此前，学生已学习了指数及指数函数，明白了指数运算是已知底数和指数求幂值，而对数则是已知底数和幂值求指数，二者是互逆的关系．对数的概念的学习，既加深了学生对指数的理解，又为后面对数的运算性质及对数函数的学习做了充分准备，起到了承上启下的重要作用．
对数概念的获得，应符合学生认知规律，教师不能直接抛出定义．教材所呈现的，是经过数学家整理过的数学知识，不一定完全符合学生的认知习惯，不可照本宣科．而发生教学法是在保持数学探究和教学结构严谨性的同时，剖析数学的演绎呈现方式，让学生认识到数学的发展过程，而不仅仅是逻辑顺序。
利用情境问题，教师引导学生提出问题，使学生产生认知冲突，从而认识到对数是有必要引进的一个重要的概念．
教师引导学生举出类似的例子，归纳共同特征，获得对数概念．通过揭示对数式与指数式的关系，让学生体会到对数式与指数式的等价，从而体现了将对数问题与指数问题互相转化来解决的思想方法．进而将抽象的对数概念具体化特殊化，引导学生进一步认识对数．
学习的过程就是一个不断地提出问题、解决问题的过程，提出问题比解决问题更重要．教师应给学生提供由自己提出问题、选择研究方法的机会，逐渐学会研究问题，促进能力发展．学生尚未完全掌握学习一个新的数学概念的一般方法，在学习过程中，教师应及时补充启发性提示语，帮助学生理解特殊化的意义，进行阶段性小结，以帮助学生明确研究一个新的数学对象的一般方法．
对于能力较强的学生，可引导他们尝试证明归纳出来的性质，经历数学研究的完整过程．
教学过程中，应充分发动学生，通过举例、说理、交流等活动，提供学生充分展示思维的机会．通过总结一般方法，促进学生体验由特殊到一般的思维过程．
针对不同学生的需求布置分层作业，不仅能帮助学生进一步掌握本课知识，还能帮助学生形成研究新对象的一般步骤和方法．
视频来源：优质课网 www.youzhik.com
