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视频标签：倾斜角与斜率
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视频课题：高中数学人教A版必修二3.1.1倾斜角与斜率-合肥
教学设计、课堂实录及教案：高中数学人教A版必修二3.1.1倾斜角与斜率-合肥市第一中学
教学目标
一.知识与技能
1.正确理解直线倾斜角和斜率的概念,
2.斜率公式的推导过程,掌握过两点的直线的斜率公式.
二.过程与方法
引导学生将直线的位置问题(几何问题)转化为倾斜角问题,进而转化为倾斜角的正切值即斜率问题(代数问题)进行解决,使学生不断体会“数形结合”的思想方法.
三.情感、态度与价值观
通过引入直线倾斜角的概念,揭示学习直线倾斜角与斜率的关系,培养学生观察、探索能力,运用数学语言表达能力,数学交流与评价能力.通过斜率概念的建立和斜率公式的推导,帮助学生理解数形结合思想的重要性,培养学生树立辩证统一的观点,培养学生的严谨的科学态度和求简的数学精神.
2学情分析
作为教学对象的学生是学习主体,为了突出学生的主体的地位,教师须全面研究学生,理解学生。
①认识结构
经过半年多时间的学习,学生对数学概念及思维方法的认识水平有了较大提高.但不同层次的学生之间仍存在着较大的差距,尤其表现在对知识的探究、联想、迁移能力上在新课中,运用了生活中的实例,多媒体动画效果,引导学生思维的“上路”,让学生主动参与探究过程;
②情感结构
随着年龄的增大,阅历的丰富,高中学生自主意识的增强,有独立思考问题、发现问题的能力在学生的探索活动中,主动通过设疑、质疑、提示等启发示手段,帮助他们分析问题,激发学生的学习的兴趣.
3重点难点
教学重点:直线倾斜角和斜率的概念以及过两点的直线的斜率公式;
教学难点:斜率公式的推导.
4教学过程
4.1直线的倾斜角与斜率
4.1.1教学活动
活动1【讲授】直线的倾斜角与斜率
情景引入:
同学们,今天我们学习直线的倾斜角与斜率。明天是周六,我想带小朋友去游乐场玩,小朋友非常喜欢滑滑梯,现在有三种滑梯,大家觉得哪一个更适合小朋友呢? 初中我们学习过,两点确定一条直线,这些直线可以看做过一定点的一系列直线,过点P可以做多少条直线呢?过点P作无数条直线 , , ……他们的区别在哪里呢?
一 直线的倾斜角
定义:在平面直角坐标系中,当直线 与x轴相交时,我们取x轴作为基准,x轴正向与直线 向上方向之间所成的角 就叫做直线 的倾斜角。
师:请大家在草稿纸上画直角坐标系以及直线,并判断倾斜角在什么范围内
生:锐角,直角,钝角
规定:当直线l与x轴平行或重合时,α=0°
问:直线的倾斜角在什么范围内呢?链接几何画板
生: 0°≤α<180°
师:在平面直角坐标系内每一条直线都有一个确定的倾斜角
倾斜程度相同的直线,倾斜角相等 倾斜程度不相同的直线,倾斜角不相等
可用倾斜角表示平面直角坐标系内一条直线的倾斜程度
日常生活中,还有没有表示倾斜程度的量?比如说爬山,爬坡
生:坡度!
师:坡度指的是升高量与前进量的比,以大象滑梯和极限滑梯为例,升高量与前进量的比值不同,显然直线的倾斜程度不一样。
师:升高量与前进量之比实际上就是“倾斜角α的正切”
二 直线的斜率
我们把一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率. 斜率通常用 表示,即:
师:同学们在高一阶段已经学习了正切函数,现在请同学们在草稿纸上画出正切函数图像
请一位同学在黑板上画出图像。链接几何画板并在黑板上画出倾斜角范围内的正切图像。
注:倾斜角是90°的直线没有斜率
师:倾斜角不是90°的直线都有斜率,倾斜角不同,直线的斜率也不同,因此,我们可以用斜率表示直线的倾斜程度。
1
不存在
师:判断下列命题是否正确:
因为所有直线都有倾斜角,所以所有直线都有斜率. (× )
‚直线的斜率为tanβ,则它的倾斜角为β. (× )链接几何画板
师:直线的倾斜角与斜率的概念大家已经学习,我们知道,两点可以确定一条直线,直线确定了,倾斜角就确定了,如何把两点坐标与斜率之间建立联系呢?
三 由直线上两点的坐标计算直线的斜率
已知直线上两点: 如何求斜率k?
1.当α为锐角时
2.当α为钝角时 请两位同学在黑板上板演,参考锐角范围内的探究方法(不规定 在直线上的位置,两位同学在黑板上所标点的位置不同,正好说明公式与点的位置无关)
经过 两点的直线的斜率公式:
问:当 时,上述公式还适用吗?
当 当,分式的分母为0, 不存在,公式不适用。
此时直线 与 轴垂直,与直线的倾斜角为90°的直线没有斜率一致,所以说数学是严密的。
当直线 与 轴平行或重合时,即 , =0
活动2【练习】直线的倾斜角与斜率
四、例题讲解:
例1已知A(3,2), B(-4,1),C(0,-1),
(1)求直线AB、BC、CA的斜率,
(2)判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角?
变式1:已知P(n,5),求直线AP的斜率
变式2:画出经过C点且斜率分别为:-1, ,2的直线 , ,
活动3【活动】直线的倾斜角与斜率
思考
(1)已知直线 倾斜角α在(Π6 ,2Π3 ) 范围内,求直线l 斜率的取值范围?
(2)若直线的斜率在 [-1,1]范围内,求直线倾斜角的取值范围?
活动4【作业】直线的倾斜角与斜率
作业:
习题3.1 A组2,3题
补充:1已知直线 的倾斜角为α,sinα =45 ,求此直线的斜率
2 已知A(a,2), B(3,-1),当AB倾斜角为钝角时,求a的范围
3.1.1 直线的倾斜角和斜率
合肥一中数学组 姚微微
教学目标：
一．知识与技能
1.正确理解直线倾斜角和斜率的概念, 2.理解直线倾斜角的唯一性, 3.理解直线斜率的存在性,
4.斜率公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式. 二．过程与方法
引导学生将直线的位置问题（几何问题）转化为倾斜角问题，进而转化为倾斜角的正切值即斜率问题（代数问题）进行解决，使学生不断体会“数形结合”的思想方法. 三．情感、态度与价值观
通过引入直线倾斜角的概念，揭示学习直线倾斜角与斜率的关系，培养学生观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力.通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生理解数形结合思想的重要性，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生的严谨的科学态度和求简的数学精神.
教学重点：直线倾斜角和斜率的概念以及过两点的直线的斜率公式; 教学难点：斜率公式的推导;
教学方式：启发式教学、分小组讨论式教学 教学手段：多媒体应用 课型：新授课 课时：1课时
师：同学们，今天我们学习直线的倾斜角与斜率。
师：明天是周六，我想带小朋友去游乐场玩，小朋友非常喜欢滑滑梯， 现在有三种滑梯，大家觉得哪一个更适合小朋友呢？ 生：第三个 师：为什么呢？ 生：刺激！
师：为什么第三个比较刺激呢？ 生：因为它的滑梯比较长 师：还有呢？ 生：滑梯的倾斜程度不一样 师：非常好，倾斜程度不一样，大家能否把滑梯抽象成为数学图形？ 生：可以，直线
师：通常情况下，我们把直线放在平面直角坐标系中来研究
初中我们学习过，两点确定一条直线，
师：这些直线可以看做过一定点的一系列直线， 过点P可以做多少条直线呢？
过点P作无数条直线 1l， 2l ，3l ……他们的区别在哪里呢？ 生：倾斜程度不一样
师：怎样描述直线的倾斜程度呢？能不能用角来描述？ 生：可以用直线与x轴形成的角来描述
师：直线与x轴形成的四个角都可以表示倾斜程度，通常情况下用图中所示的角来描述。 师：如何表示这个角呢？
生：直线在x轴上的部分与x轴之间所成的角， 师：大体意思明白，但不够准确。
一. 直线的倾斜角
定义：在平面直角坐标系中，当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α就叫做直线l的倾斜角。
师：请大家在草稿纸上画直角坐标系以及直线，并判断倾斜角在什么范围内 生：锐角，直角，钝角
规定：当直线l与x轴平行或重合时，α=0°
问：直线的倾斜角在什么范围内呢？链接几何画板 生： 0°≤α<180°
师：在平面直角坐标系内每一条直线都有一个确定的倾斜角
倾斜程度相同的直线，倾斜角相等 倾斜程度不相同的直线，倾斜角不相等 可用倾斜角表示平面直角坐标系内一条直线的倾斜程度
日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量？比如说爬山，爬坡 生：坡度！
师：坡度指的是升高量与前进量的比，以大象滑梯和极限滑梯为例，升高量与前进量的比值不同，显然直线的倾斜程度不一样。
师：升高量与前进量之比实际上就是“倾斜角α的正切” 二. 直线的斜率
我们把一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率. 斜率通常用k表示，即：
师：同学们在高一阶段已经学习了正切函数，现在请同学们在草稿纸上画出正切函数图像 请一位同学在黑板上画出图像。链接几何画板并在黑板上画出倾斜角范围内的正切图像。 注：倾斜角是90°的直线没有斜率
师：倾斜角不是90°的直线都有斜率，倾斜角不同，直线的斜率也不同，因此，我们可以用斜率表示直线的倾斜程度。
师：判断下列命题是否正确：
因为所有直线都有倾斜角，所以所有直线都有斜率. (× )
直线的斜率为tanβ，则它的倾斜角为β. （× ）链接几何画板
师：直线的倾斜角与斜率的概念大家已经学习，我们知道，两点可以确定一条直线，直线确定了，倾斜角就确定了，如何把两点坐标与斜率之间建立联系呢？
三. 由直线上两点的坐标计算直线的斜率
已知直线上两点：)(),,(),,(2122211
1xxyxPyxP≠ 如何求斜率
k？
1.当α为锐角时
α
30 45 60 90 120 150
k
3
3 1 3 不存在 3- 3
3-
x
xyyk1212--αtan==1
21||xxPP122||yyPP||||tan1
2PPPPk)90≠α(αtan=k
2.当α为钝角时 请两位同学在黑板上板演，参考锐角范围内的探究方法（不规定21,PP在直线上的位置，两位同学在黑板上所标点的位置不同，正好说明公式与点的位置无关）
经过)(),,(),,(2122211
1xxyxPyxP≠两点的直线的斜率公式：
问：当21xx=时，上述公式还适用吗？
当21xx=当，分式的分母为0，k不存在，公式不适用。 此时直线l与x轴垂直，与直线的倾斜角为90°的直线没有斜率一致，所以说数学是严密的。
当直线l与x轴平行或重合时，即21yy=，k=0
四、例题讲解：
例1已知A(3,2), B(-4,1),C(0,-1), （1）求直线AB、BC、CA的斜率，
（2）判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角？
变式1：已知P（n,5),求直线AP的斜率
变式2：画出经过C点且斜率分别为：-1，3，2的直线 1l， 2l ，3l
1
212--xxyyk=)
(21xx1Px
0
y
2P
思考
（1）已知直线l倾斜角α在），（3
26范围内，求直线l斜率的取值范围？ （2）若直线的斜率在11-，范围内，求直线倾斜角的取值范围？
五、小结：
师：数缺形时少直觉，形少数时难入微
师：还要记得提醒身边的小朋友坐合适的滑滑梯哦！
六、作业:
习题3.1 A组2，3题
补充:１已知直线l的倾斜角为α, 5
4
αsin=，求此直线的斜率
2 已知Ａ(a,2), B(3,-1),当AB倾斜角为钝角时，求a的范围
视频来源：优质课网 www.youzhik.com
