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视频标签：倾斜角与斜率
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视频课题：高中数学人教A版必修二3.1.1倾斜角与斜率～湖北省优课
教学设计、课堂实录及教案：高中数学人教A版必修二3.1.1倾斜角与斜率～湖北省优课
直线的倾斜角与斜率
第一课时
教学目标
1.知识与技能目标
(1)正确理解直线倾斜角和斜率的概念。 (2)理解直线倾斜角的唯一性。 (3)理解直线斜率的存在性。
(4)体验用代数方法刻画直线斜率的过程。 2.过程与方法
引导学生将直线的位置问题(几何问题)转化为倾斜角问题,进而转化为倾斜角的正切值即斜率问题(代数问题)进行解决,使学生不断体会“数形结合”的思想方法。 3.情感、态度与价值观
(1)通过引入直线倾斜角的概念,揭示学习直线倾斜角与斜率的关系,培养学生观察、探索能力,运用数学语言表达能力,数学交流与评价能力。
(2)通过斜率概念的建立和斜率公式的推导,帮助学生理解数形结合思想的重要性,培养学生树立辩证统一的观点,培养学生的严谨的科学态度和求简的数学精神。
学情分析
“直线的倾斜角与斜率”是人教版数学必修2第三章第一节的内容,是高中解析几何内容的开始。直线倾斜角和斜率是解析几何的重要概念之一,是刻画直线倾斜程度的几何要素与代数表示,是平面直角坐标系内以坐标法(解析法)的方式来研究直线及其几何性质(如直线位置关系、交点坐标、点到直线距离等)的基础。通过该内容的学习,帮助学生初步了解直角坐标平面内几何要素代数化的过程,初步渗透解析几何的基本思想和基本研究方法。直线的斜率是后继内容展开的主线,无论是建立直线的方程,还是研究两条直线的位置关系,以及讨论直线与二次曲线的位置关系,直线的斜率都发挥着重要作用。
重点难点
教学重点:1.初步培养学生的数形结合的思想 2.直线倾斜角和斜率的概念 教学难点:斜率公式的推导
教学过程
3.1 第一学时 3.1.1教学活动
活动1【导入】
今天我们开始学习数学的一个重要分支——解析几何。在上一章几何问题的研究中,我们主要依据几何图形中点、线、面的关系研究几何图形的性质。现在,我们要采用另外一种方法——坐标法,就是以坐标为桥梁,把几何问题转化为代数问题。通过代数运算研究几何图形。我举个通俗的例子,同学们如果我问你,你们家住哪儿,你可以带领我去,嗯,这是最原始的办法;你可以画张图告诉我,那类似几何方法,当然,一般你们是告诉我住址,其实住址就是一个位置坐标。这就是几何问题代数化最简单的生活实例。
为了使同学们更好的理解解析几何这门课,我们一起来分享解析几何的开山鼻祖 ——笛卡尔创立解析几何的小故事。
笛卡尔一生生活颠沛,命运波折。但他一生酷爱研究,涉猎甚广。诸如物理学、天文学、机械学、医学都有深入的研究,数学研究对世界文明的贡献最大。
20岁时,他已大学毕业,做了一名战士。就是在军旅生涯中,一次偶然机会,他解决了数学教授别克曼的一道难题,成了别克曼的朋友,从此与数学结下了不解之缘。他进入数学王国不久就意识到传统几何也就是我们所说的欧氏几何过分依赖图形和形式演绎的缺陷,同时代数过分受法则和公式的限制而缺乏活力。不过,想归想,这时的他,毕竟不是一名职业科学家,只是一名法军中的小战士。过了三年,也就是1619年,曾经的法国小战士,23的笛卡尔又出现在了美丽的多瑙河畔的一座德国的军营里。此时,他正躺在病床上,不知是生病了,还是受伤了。总之,他此时此刻不用打战了,可以安心的思考他的问题。笛卡尔本身就不是一个想当将军的好士兵,想的肯定不是打战的事,他在想什么呢?他仰望着病房的天花板,一只机灵的小蜘蛛从墙角慢慢地爬了过来,口丝结网忙个不停,从东爬到西,从南爬到北,正在结网。小小的蜘蛛结一张网,该走多少路啊!仁慈而伟大的笛卡尔突发奇想,想算一算蜘蛛走过的路程。他首先把蜘蛛看成一个点,这个点离墙角多远?离墙的两边有多远?他思考着,计算着,病中的他睡着了„„梦中他继续在数学的广阔天地中驰骋,好像悟出了什么,又看到了什么,大梦醒来的笛卡尔茅塞顿开,一种新的思想初露端倪:在互相垂直的两条直线下,一个点可以用到这两条直线的距离,也就是两个数来表示,这个点的位置就被确定了。用数形结合的方式将代数与几何的桥梁联系起来了。这就是解析几何学诞生的曙光,沿着这条思路前进,在众多数学家的努力下数学的历史发生了重要的转折,建立了解析几何学。 这个故事听起来,传奇、浪漫。有点像牛顿的苹果,阿基米德的浴盆,有点后人附会杜撰的意味,但他给了我们的启示是深远的。执着、热情是取得成就的重要性格因素。只有热情地对待自己的事业,执着地思考,我们才能把来自外部世界的些许感受深华为事业突破的灵感。这个故事让我们明白了要确定一个点的位置和研究它的运动,最好的办法是建立一个坐标系,用坐标来确定点的位置,用点的坐标的变化来刻画点运动的规律。科学研究需要奔放的激情,更需要严谨的态度和知识的点滴积累。好了,书归正传,我们以严谨求实的态度做笛卡尔的跨世纪粉丝开始解析几何的学习。
活动2【讲授】直线的倾斜角和斜率
问题1.经过原点的直线有多少条？彼此间的位置关系？
答：经过原点的直线有无数条，他们都相交于一点（原点）。
问题2.与x轴正方向所成的角为30°的直线有多少条？彼此间的位置关系？ 答：与x轴正方向所成的角为30°的直线有无数条，它们相互平行。
观察：在直角坐标系中,直线与x轴都有一个相对倾斜度,数学中怎样用一个几何量 来反映一条直线与x轴的相对倾斜程度呢?
问题3. 想一想哪个角适合刻画直线相对于x轴的相对程度？
引入倾斜角的定义：当直线l与x轴相交时, 取x轴作为基准, x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．．．
。 注：规定 : 当直线l与x轴平行或重合时，它的倾斜角为 . 练习1：下列四个图形中哪个表示直线的倾斜角( )
练习2：判断下列说法的对错
1、所有的直线都有唯一确定的倾斜角与它对应。 2、每一个倾斜角都对应于唯一的一条直线。
问题4:根据倾斜角的定义,倾斜角的范围是什么?
议一议：如果一条直线绕着一点旋转，则它的倾斜角有什么变化？
ly
x
直线倾斜角α的范围为：
问题5：日常生活中还有没有表示倾斜程度的量?
引入坡度概念：升高量与前进量之比，从而发现坡度越大，楼梯越陡。
直线的斜率的定义：类比坡度，引进一个刻画直线倾斜程度的量：一条直线的倾斜角 (≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,也就是k=tanα 注：倾斜角是 90 °的直线没有斜率。
练习3.已知下列直线的倾斜角，求直线的斜率.
0
000135)4(,120)3(,45)2(,30)1(
问题6：直线的倾斜角和斜率有怎样的变化关系? （直线斜率与倾斜角的关系利用正切函数图象解决）
o0，k=0
,900ook>0，并且随的增大而增大
o90，k不存在
,18090ook〈0，并且随的增大而增大
练习4.如图，直线的斜率分别为321,,kkk，则（ ） 321.kkkA 213.kkkB
123.kkkC 231.kkkD
练习5.判断正误：
①直线的倾斜角为α，则直线的斜率为tan （ ） ②任一条直线都有倾斜角，所以任一条直线都有斜率. （ ）
③直线的倾斜角越大,则直线的斜率越大。 （ ） ④两直线的倾斜角相等，则它们的斜率也相等 （ ）
⑤平行于x轴的直线的倾斜角是 π或0 （ ）
练习6. 如图，直线21,ll的倾斜角0130， 直线21ll，求21,ll的斜率。 练习7.
k 63
若直线的倾斜角为，，则斜率的取值范围是___________
练习8.
3164
、若直线的倾斜角为，，求斜率k的取值范围。
小结：
刻画直线倾斜程度的量：倾斜角,斜率
作业：
2133
、若直线的倾斜角为，
，求斜率k的取值范围。3能力题：若直线的斜率k-1，，求倾斜角取值范围。
课后探究：
已知直线的两点，如何求斜率？
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