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视频标签：倾斜角与斜率
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视频课题：高中数学人教A版必修二3.1.1《直线的倾斜角与斜率》～天津市优课
教学设计、课堂实录及教案：高中数学人教A版必修二3.1.1倾斜角与斜率～天津市优课
《直线的倾斜角与斜率》教学设计
一、教学内容分析
本课是人教版高中数学必修2第三章第一单元第一节。既是第三章的章首课，也是解析几何的入门课。直线的倾斜角和斜率是解析几何的重要概念之一，是刻画直线倾斜程度的几何要素与代数表示，学生第一次经历用代数语言描述几何要素及其内在联系。因此在教学中不但要落实显性知识；更重要的是要揭示隐性知识：坐标法。本课有着开启全章，渗透数学思想方法的作用。直线的斜率是主线，无论是建立直线方程，还是研究位置关系等，斜率都发挥重要作用。“坐标法”与数形结合思想是本课内容的重要思想。
二、学情分析
本节课为高中解析几何部分的起始课，对学生学好解析几何而言显得尤为重要，本节授课班级为区级重点校的思维拓展班.
从学生思想观念与能力水平来看，学生整体素质较好，学习态度明确，学习习惯已形成，思维活跃。学生能用数学语言表达自己观点，但在表述上还不能达到独立地抽象、概括新概念的能力。教师根据学生的学习特征，设置递进的问题情境，使学生主动参与，并促进学生自主学习的情感基础。
从知识上来看，在此之前，学生已经接触过直线，学习过一次函数和三角函数，接触过坡度概念，也具备在直角坐标系中会用坐标表示点，明确坐标平面的点与有序数对可建立一一对应的关系等基础知识。为考虑学生的最近发展区，使学生感受数学是自然的，教材采用了从感性到理性，从学生已有知识出发，设置问题，解决问题，形成结论，总结规律的研究方法。本节课在知识点和研究方法上，为后继帮助学生判断两直线位置关系和建立直线方程等内容起到了关键性的铺垫作用。
三、教学目标分析 1.知识与技能：
理解倾斜角的概念，体会在直角坐标系下，用统一的标准刻画 几何元素的思想方法。理解斜率的定义和斜率公式，经历几何问题代数化的过程，感受解析几何的思想方法。并能应用知识解决简单问题。 2.过程与方法：
融合天津连接海内外、南北交通枢纽这一地域文化，以天津的桥为背景，类比直角坐标系在解析几何中的枢纽作用，培养学生数学核心素养。通过直线倾斜角概念的引入和直线倾斜角和斜率关系的揭示，引导学生观察、发现、类比、猜想和实验探索，进而培养学生数学表达能力，数学交流与评价能力。 3.态度情感与价值观：
通过解析几何发展史的简单介绍，渗透数学文化教育。在平等的教学氛围中，通过学生之间、师生之间的交流、合作和评价，实现共同探究、教学相长的教学情境。
四、教学重难点
教学重点：使学生经历几何问题代数化的过程，并初步体会坐标法。理解直线的倾斜角和斜率的定义，掌握过两点的直线的斜率公式。
教学难点：直角坐标系下对刻画直线的几何要素的认识——倾斜角概念的形成；用坐标刻画倾斜角的方法——斜率概念本质的认识。
五、教学过程 环节一：【导入】 创设情景——海河大桥，引入新课
教师首先展示天津海河上美丽的桥的图片，重点介绍滨海新区的海河大桥，类比桥的连接交通的功能，强化直角坐标系的桥梁作用。（融合天津连接海内外、南北交通枢纽这一地域文化，以天津的桥为背景，类比直角坐标系在解析几何中的枢纽作用，培养学生核心素养。）
然后教师引导学生回忆直角坐标系中“点”与“数对”间的一一对应关系，说明“数”与“形”的对应，这是解析几何的根基，使得用代数的方法研究几何问题成为可能。同时，指出解析几何就是用代数的方法研究直线、曲线、多面体等图形的性质，这样既让学生了解解析几何的历史，又使学生了解解析几何研究什么，用什么方法研究等。（通过解析几何发展史的简单介绍，渗透数学文化教育。）
环节二：【探究】 探究新知，形成概念 （教师由斜拉桥引出直线和倾斜角）
问题1：对于平面直角坐标系内的一条直线，你认为它的位置由哪些 条件确定？
生：两点确定一条直线。 问题2：经过一点能确定直线吗？ 生：不能。
问题3：如果在直角坐标系中，直线都经过一个定点，它们的区别在哪里？ 生：倾斜程度不同。
（学生在教师设计的“问题串”的引导下，观察思考，形成概念） （教师预设学生会得出“角度”这一结论）
问题4：在直角坐标系中，任何一条直线与x轴都有一个相对的倾斜程度，这个倾斜程度能否用一个几何量来反映？
（学生活动：学生试着给直线的倾斜角下定义。） （教师引导，提问。最后归纳并给出规范的定义。）
强调：1、定义的完整性：分直线与x轴相交和直线与x轴平行或重合时分别定义 。
2、根据定义，请说出直线的倾斜角的范围。
【设计意图】从学生的已有知识经验出发，引导学生逐步接受新的研究方法。
环节三：【练习】 直接应用，强化概念
练习一：请说出图中直线的倾斜角(见ppt) 练习二：你认为下列说法对吗？
1) 所有的直线都有唯一确定的倾斜角与它对应。 2) 不同的直线其倾斜角一定不相同。 【设计意图】在学生直观感受的基础上形成倾斜角的定义。通过给各种类型的直线标注倾斜角，使学生形成对倾斜角全面的认识，在此基础上认识到分类定义的必要性和规定的合理性。
环节四：【活动】 探究直线的斜率 问题1：我们已经明确了平面直角坐标系内确定一条直线位置的几何要素，那么，能否用从代数角度作进一步刻画？日常生活中，我们都有过爬山、爬坡的体验，你还知道表示倾斜程度的量吗？请举例。
（教师出示两幅楼梯图片，引导学生回忆坡度概念。讨论能否用数学式子表述角度变化与升高量和前进量之间的关系。利用学生的已有知识经验将几何问题代数化。）
问题2：如果你是一名楼梯设计师，怎样设计更省力？
（通过以上讨论，我们发现，如果结合倾斜角的概念，坡度实际可以表示为倾斜角的正切值，由此，我们可以用怎样的量来刻画直线的倾斜程度？进而引出斜率的定义） 【设计意图】教师通过生活中的真实实例来吸引学生兴趣，让学生从实际和经验中领悟到直线的倾斜角和斜率的意义和价值，观察思考，形成概念的同时，激发学生探究的热情。
问题3：倾斜角是90°的直线有斜率吗？
问题4：倾斜角是90°的直线为什么没有斜率？ 问题5：倾斜角越大，直线的斜率是不是也越大
（ 教师结合正切函数图像和几何画板直观演示，展示倾斜角也 斜率的变化规律。）
【设计意图】学生在教师设计的“问题串”的引导下，反思和了解斜率存在的几种情况，帮助学生理清思路，使要探究的问题始终处于学生的“最近发展区”内，并为下一步推导斜率公式埋下伏笔。
环节五：【探究】 合作探究，推导斜率计算公式
问题1：两点可以确定直线，那么，倾斜角未知时，已知直线两点),(),(2221,11yxPyxP，能否用点,1P2P的坐标表示直线的斜率k？（将斜率坐标化，让学生初步体会坐标法思想。）
（学生分组讨论，学生代表上黑板板演推导过程。构造直角三角形，结合坐标，利用边角关系求解。）
问题2：无论倾斜角是锐角或钝角，斜率公式的这一结论是否一致？ 问题3：当直线垂直于x轴时，上述结论是否适用？ 问题4：使用斜率计算公式时，应注意哪些问题？ 【设计意图】通过合作探究，师生共同活动，使学生头脑中的新旧知识建立联系，形成新的认知结构。
环节六：【讲授】 典例剖析，知识应用 例1 已知点A（3，2），B（－4，1），C（0，－l），求直线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角。
变式训练（1）若把上题中的B点坐标改成（m,2） ，求此时直线AB的斜率； 变式训练（2）请在下面的平面直角坐标系中画出过点C,且斜率分别为-1，3 和2的直线；
变式训练（3）若过点C作直线 l，直线 l与线段AB总有公共点，求直线 的斜
率k的取值范围。
【设计意图】通过以上环节，典型例题一题多变，学生将所学知识学以致用，并将这些知识真正纳入自己的知识体系，形成螺旋上升的学习过程。
环节七：【测试】 检测效果，当堂达标 1、已知直线的倾斜角，求直线的斜率：
（1）30a ； （2）60a； （3）
135a ； （4） 90a
2、已知直线的斜率，求其倾斜角. [来源:Z|xx|k.Com]
（1）k=0； （2） k= 1 ； （3） k=3 ； （4）k不存在.
3、判断正误：
①直线的倾斜角为，则直线的斜率为tan。 （ ） ②任一条直线都有倾斜角，也都有斜率。 ( ) ③两直线的斜率相等，它们的倾斜角相等。 ( ) ④两直线的倾斜角相等，则它们的斜率相等。 ( ) ④直线的倾斜角越大，则它们相应的的斜率也越大。 ( )
环节八：【讲授】 课堂小结，认知升华
问题（1）在本节课中，你学到了哪些新的概念？它们有什么关系？ 问题（2）怎样求出已知两点的直线的斜率？
问题（3）从倾斜角(形)能刻画直线的倾斜程度，到斜率(数)也能刻画直线的倾斜程度，这个过程中主要体现了什么数学思想？ 环节九：布置作业
A层作业：必做题：课本P89习题3.1A组 1，2，3，4。 B层作业：选做题：阳光课堂P50例1，例2及其变式。 【设计意图】培养学生运用所学知识解决问题的能力。
视频来源：优质课网 www.youzhik.com
