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视频课题：北京版小学数学三年级下册《围绿地—长方形和正方形的周长与面积》北京
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北京版小学数学三年级下册《围绿地—长方形和正方形的周长与面积》北京市东城区府学胡同小学
围绿地——长方形和正方形的周长与面积教学设计与反思
本节课是在学生学习了长方形和正方形的周长与面积后设计的一节综合实践课。
一、 教学内容：
探究当长方形周长一定时，面积的变化规律：长方形周长一定，长和宽越接近面积越大，长和宽相等时（即正方形）面积最大。
二、数学知识背景分析： 所谓的等周问题：等周定理，又称等周不等式，是一个几何中的不等式定理，说明了欧几里得平面上的封闭图形的周长以及其面积之间的关系。其中的“等周”指的是周界的长度相等。等周定理说明在周界长度相等的封闭几何形状之中，以圆形的面积最大；另一个说法是面积相等的几何形状之中，以圆形的周界长度最小。
虽然等周定理的结论早已为人所知，但要严格的证明这一点并不容易。首个严谨的数学证明直到19世纪才出现。之后，数学家们陆续给出了不同的证明，其中有不少是非常简单的。
而将图形锁定在长、正方形上就是我们今天这节课所要研究的问题。而这个问题对应的代数问题即所谓的均值定理或均值不等式：算术平均数大于几何平均数。如果我们设长为a〉0，宽为b〉0，周长C=2（a+b），面积S=ab，我们有 当且仅当a=b时，等号成立。
等价于
于是当周长C一定时，a+b的和一定，所以当且仅当a=b时，即正方形面积最大，最大面积为
数学大厦中这么有趣和著名的问题居然出现在小学三年级的数学课本中，想到这些我不禁兴奋起来。作为教师我们怎么能轻易放过这样的数学教学素材，怎么能不让我们的学生亲自体验一下探究数学的乐趣，怎么能不让教师和学生一起来体验数学的美。
于是我精心设计了这节课，但问题是毕竟面对三年级的学生，讲到什么程度，怎么教，教学目标是什么等一系列问题是我下一步要认真思考的。
三、 学情分析：
学生已掌握了长正方形的周长和面积计算公式的基础上进行教学的，但对于知识的灵活运用还有待提高，三年级的学生抽象、概括能力，独立探究规律的能力也有待增强。
四、 课程理念：
a+b
2≥ab(a+b2)2≥ab(a+b2)2=(C
4)2
国家对教育改革发展的要求是：要鼓励学生创造性思维、着力提高学生的学习能力、实践能力、创新能力。2011年的新课程标准将原来的双基变为了四基即：让学生获得基础知识、基本技能、基本数学思想、基本活动经验。四基是双基的继承和超越，基本活动经验获得了与基础知识、基本技能、基本数学思想、同等重要的地位。数学活动经验的积累有助于落实新课程的能力性目标、过程性目标、情感性目标的及对学生应用意识、创性能力的培养。数学活动经验的积累是学生数学素养的重要标志。因此我们要重视数学活动经验的积累。 五、教学目标：
1．探究发现长方形周长和面积的变化规律：周长一定，长和宽越接近，面积越大；长和宽相等时，面积最大。
2．在自主探索、交流、合作等活动过程中，运用画图、列表等方法，渗透有序思考和数形结合思想。积累学生从事探索规律活动的经验。
3． 激发学生学习数学的兴趣，体验探索知识的乐趣，体会数学的应用价值。
六、基本流程：
引发思考—发现规律—验证规律—几何解释—应用规律
七、 教学过程：
（一）故事激趣，以退为进
导入：我们来先听一个故事，故事的名字是“欧拉智改羊圈”。
欧拉是著名的数学家，他小时候，要帮助爸爸放羊。 羊渐渐越来越多了，爸爸决定建造一个新的羊圈。他用尺量出了一块长方形的土地，长40米，宽15米，面积正好是（600平方米），围这样一个羊圈，需要用多长的篱笆，（15+15+40+40=110）可爸爸发现他的材料只够围100米的篱笆，不够用。正当父亲感到为难的时候，小欧拉却向父亲说：“我能用100米长的篱笆，围成一个
比这个羊圈面积还大的羊圈。”
提问：你认为小欧拉的说法可行吗？ 预设1：围成正方形面积大。 预设2：围成圆形面积最大。 预设3：可以靠墙围面积大。
揭示课题：看来我们还需要进一步的来研究长、正方形的周长与面积。 导语：“100米”数太大了不好研究，我们先从较小的数据入手，认识清楚了研究透了，看看有什么规律，然后再来看这个问题。
出示题目：“用16米的篱笆围成长方形或正方形，可以怎么围，面积是多少平方米？
引导学生明确问题、分析条件、提出思路、规划方案。
提问：要围成什么图形？这里的16米是什么意思？怎样围，也就是要确定长方形的什么？
强调：无论围成的是长方形，还是正方形，周长都是16米。 提问：长方形的长和宽怎么确定？
小结：周长的一半是长和宽的和，因为周长一定，所以长和宽的和也是固定不变的。也就是长和宽的和是一定的。看来，我们只要确定了宽的长度，长也就知道了。
【设计意图】：从欧拉智改羊圈的故事引入，激发学生的学习兴趣。引发学生的思考，渗透“以退为进”研究问题的策略与方法。分析题目条件和问题，规划设计方案。
（二）自主探究，发现规律 1.设计方案，合作交流
学生先独立完成学习单，再合作交流设计方案。
活动建议：请你把设计方案画在方格图上；计算出图形的面积填在表格中。 学生汇报：
预设1：学生没有将所有情况都找出来了。 师：对他的设计方案还有什么补充？
预设2：学生将所有情况都找出来，但是无序。 师：对于他所填的情况，你们有没有好的建议吗？能不能对所填的数据进行调整呀？
预设3：学生将所有情况都找出来，且有序。
师：对于所填的情况，看看有没有值得我们学习的地方呀？ 对比有序与无序，这样有什么好处？
提问：那怎么能不重不漏的把所有情况都找出来呢？ 小结：看来我们考虑问题要全面，要有序地思考问题。
【设计意图】：在学生画图、列表活动中，渗透有序思考的数学思想和方法。
2．观察图表，发现规律
提问：请你仔细观察表格和图形，你有什么发现？长方形的长和宽的变化与长方形的面积变化有什么关系？
学生小组讨论，交流汇报。
预设1：长方形的长越来越短，宽越来越长。 预设2：长减少1米，宽增加1米。 预设3：长和宽的和不变都是8米。 预设4：长和宽的差距在缩小。
学生只关注了长和宽的关系，没有建立与面积变化的联系，引导学生观察面积的变化。
预设4：正方形面积最大。 预设5：长方形面积越来越大。
学生只关注了面积的变化，引导学生建立面积变化与长和宽变化的联系，。 预设6：长和宽越接近，面积越大。
追问：随着长和宽怎样的变化，面积越来越大？
长和宽越接近是什么意思？
长越短，宽越长也就是说长和宽的差怎么样？ 为什么长和宽的差会越来越小？ 什么情况下，面积最大？
这些发现是什么不变的情况下才出现。 小结：周长一定，长和宽越接近（差越小），面积越大，长和宽相等时（正方形）面积最大。（板书） 【设计意图】：观察表格数据和几何图形，小组合作交流，归纳概括出规律，并通过教师的引导，梳理逻辑关系，培养学生的归纳、概括、推理能力。
3．自选数据，验证规律
刚才我们研究了周长是16米的长、正方形，发现了这样一个规律。换个数还成立吗？
（1） 独立填表，验证规律
学生独立完成，有困难的同学可以举手示意老师。 （2） 交流汇报，总结规律 分层汇报：
第一层（20，24）展示结果，结论成立，周长一定，正方形面积最大。 第二层（14......）没有边长是整米的正方形。我们找到的最大的长方形是长是4米，宽是3米，面积是12平方米的长方形。
结论：周长一定，长和宽越接近，面积越大。
718676284125382154
4
8
0
16
周长/m长/m宽/m面积/m²和/m差/m16
第三层（周长奇数，或困难分享）分析原因。
分析：我们受所学知识的限制，只考虑长宽是整数，实际上这个结论当长，宽是小数时仍然成立。将来我们的知识丰富了，到了中学还要证明这个结论。
（3） 大数据计算机验证规律
较大的数据还有这样的规律吗？我们请计算机来帮助我们验证一下。 【设计意图】：大量的数据验证，完善学生对规律的认识，培养学生科学的批判精神。
4．几何模型，解释规律
过渡：数据呈现了这样的规律，下面我们再回到图形上，直观地来看一看。 （1） 动态演示，几何直观
周长一定，长和宽越接近面积越大，那反之，当长和宽相差越大时，也就是长越长，宽越短，面积怎么样？
小结：周长一定，长和宽相差越大，面积越小。
【设计意图】：利用计算机软件“几何画板”，通过几何直观，帮助学生理解规律，并渗透极限思想。
（2）解释规律，面积模型 为什么长方形周长一定，长和宽越接近面积越大，长和宽相等时，面积最大？ 分析原因：
我们仔细观察长7米宽1米的长方形，长与宽的和是8米，长与宽的差是6米。当长减少1米时，长变成了6米，这条宽平移到这，此时面积减少了黄色部分1平方米，要想周长不变，宽应该怎么样？宽应增加1米，把长减少的部分补到宽上，宽变成了2米，这条长平移到这，此时面积增加了红色部分6平方米。现在变成了长6米，宽2米的长方形，这时长和宽的和仍是8米，长和宽的差变
成了4米差距缩小。周长不变，那面积发生了怎样的变化？面积减少了黄色部分1平方米，增加了红色部分6平方米，实际面积增加了5平方米。
师：再认真观察，当长又减少1米宽增加1米时，长方形从长6米宽2米变成长5米宽3米时，周长变了吗？长与宽的差再缩小，面积呢？减少的是哪部分？增加的是哪部分？那实际上面积就怎么样了？
生：纵列黄色面积减少了2平方米，横行红色面积增加了5平方米，面积实际增加3平方米。
师：我们接着往下看看，看看面积又发生了怎样的变化？减少的是哪部分的面积，增加的是哪部分的面积？
师：如果长再减少1米，宽增加1米，变成了长3米宽5米的长方形了，这时减少的面积比增加的面积多了，所以面积减少了。
小结：减少的是纵列面积，增加的是横行面积，因为长大于宽，所以横行增加的比纵列减少的多，于是说明当周长一定时，长和宽越接近，面积越大。当长等于宽时，正方形面积最大。
评价：同学们真了不起，我们不仅通过一道问题的解答，发现了这样一个结论，并验证了这个结论，而且还深入思考解释了为什么会有这样的结论。对于知识我们不仅要知其然，还要知其所以然。
【设计意图】：经历发现规律、验证规律、几何直观、解释规律、建立模型、沟通代数与几何的联系等过程，积累学生从事探索规律活动的经验。
（三）应用规律，解决问题 1．欧拉智改羊圈故事
你知道欧拉是怎样解决爸爸的这个难题的？
请你先在纸上算一算，然后和同伴交流你的意见。
正想同学们所说的，欧拉的确把原来计划中的羊圈变成了一个边长为25米的正方形。他用仅有的100米的材料，不仅解决了这个问题，而且还使羊圈的面积变大了。
评语：看来周长长的长方形面积不一定大，利用数学合理规划，用最少的材料，发挥最大的效率，这就是学习数学的价值和魅力所在，学习数学可以使我们越变越聪明。
2．代数问题。
○+△=20，○×△的积最大是多少？
提问：这道题和我们刚刚研究的长、正方形周长和面积有什么联系。
小结：两数和一定，两个数的差越小，积越大，当两个数相等时，积最大。 利用规律，不计算比较大小： 12× 7○13× 6 32×38○34×36
评语：我们解决问题时要善于观察和发现隐含条件。
【设计意图】：第一题解决智围羊圈问题，旨在体会数学的应用价值。第二题旨在沟通代数与几何的联系。
（四）全课总结，拓展延伸
通过这节课的学习，你有什么收获？
同学们的收获可真不小，我们是怎么得到的这样一个结论的？ 我们通过一个怎么围篱笆的问题，引发了我们的思考，从简单情况较小数据入手，以退为进，发现了长方形周长一定时，面积的变化规律，用更多数据验证了这一规律，并且建立了几何模型解释了这一规律，最后我们应用这一规律不仅解决了几何问题还解决了代数的问题。
正如古希腊数学家毕达哥拉斯所说：“在数学的天地里，重要的不是我们知道什么，而是我们怎么知道什么。”
最后老师留一个思考题，关于羊圈一面靠墙什么时候面积最大，请你用今天我们研究问题的方法和经验自己探究一下。
【设计意图】：回顾梳理本节课的研究过程，使学生明确研究数学问题的思想和方法，最后抛出一面靠墙围羊圈的问题，旨在进一步积累学生探索规律的活动经验。
（五）板书设计
长、正方形周长与面积
周长一定，长和宽越接近，面积越大，
长和宽相等时，面积最大。
周长16米
16÷2=8米
和一定 差越小 积越大
十、本节课的亮点： 1． 促进学生积累数学活动经验和研究问题的方法。
本节课实际上就是在上节课的基础上，顺应学生思维的发展，促进学生从事探索规律活动经验的积累和研究问题的科学方法。并在课后抛出了一面靠墙的问题，也可设计为第三课时，以便进一步促进学生探索规律活动经验的积累。
2． 沟通代数与几何的联系，以数助形，以形助数，数形结合。 本节课隐藏着一条暗线。从几何问题入手——利用代数方法研究——数据验证——几何直观——几何面积模型解释——应用解决实际几何问题和代数问题。沟通代数与几何的联系，以数助形，以形助数，数形结合。
3． 不同的人在数学上得到不同的发展。
本节课的设计力求不同的人在数学上的得到不同的发展。 第一层通过本节课的学习借助几何直观，认可这一结论。（知道是什么） 第二层通过几何模型，应用规律解决相关数学问题。（知道怎么用） 第三层建立代数与几何的联系，理解和解释规律的一般性。（知道为什么） 第四层积累一定的数学活动经验和研究问题的方法。（怎么知道是什么）
长/米 宽/米 面积/平方米 7 1 7 6 2 12 5 3 15 4 4 16
总之，小学阶段，知识简单但不失严谨，讲方法容易但理难辨，我们教师应多想一点，讲透一点，学生才会受益多一点，能力高一点。
视频来源：优质课网 www.youzhik.com
