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视频课题：人教版小学数学六年级上册《分数除法分数除以整数》武汉
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人教版小学数学六年级上册《分数除法分数除以整数》武汉市江岸区蔡家田小学
迁移 理解 内化
——《分数除以整数》教学案例
【设计意图】
我国数学课程一直将数的运算作为小学数学的主要内容， 《义务教育数学课程标准（2011年版）》提出应当注重发展学生的“运算能力”，说明运算能力是义务教育阶段数学课程背景下重要的数学核心素养，是数学课程目标实现的重要保证。基于此，教师和学生都非常重视计算能力的培养和提高。但实践中，教师与学生理解及达成的情况如何呢？我们对学生的计算水平、计算习惯等进行调查分析，并深入课堂对教师的计算教学做了进一步观察剖析，发现当前教师和学生对于计算教与学存在理解上的误区和不足，主要表现在：
问题一：对计算意义的认识过于狭隘。学生眼中的运算，大多是枯燥的计算，容易忽视计算学习中推理、比较、转化、迁移思想的渗透，以及各个年段计算教学内容方法的衔接。
问题二：不知如何把握算理理解的方式和时机。教师认识到理解算理对于学生掌握计算方法有着重要作用，但实践教学中却不知如何把握算理理解的方式和时机，想面面俱到却顾此失彼。
问题三：课堂上缺少学生内化计算法则的时间。在学生呈现多样化的算法时，教师往往急于优化（哪种方法好？你最喜欢哪种方法？）但为什么这种方法好？其它方法不好在哪里？它们之间有什么联系？往往缺乏联系沟通。
近几年，针对以上教与学的问题，我们着力开展计算教学实践研究，取得了一定成效。“分数除以整数”是人教版义务教育教科书六年级上册第3单元第30页例1的教学内容，它属于数的运算教学，也是小学阶段学习整数、小数、分数四则运算的最后一个单元。因此，本单元的教学在计算教学中具有举足轻重的地位。我们就以这节课为例，谈谈我们在计算教学中的几点做法。
一、以知识包为载体，注重知识的迁移类推，凸显运算意义。
学生在计算中的困难和错误往往与其对数和运算的意义理解不深是有关系的，而他们对运算意义及方法的理解也不是一蹴而就的。数学是一门系统性、逻辑性很强的学科，各部分知识组成了一个纵横交错、紧密联系的网。美国独立学者马立平博士的《小学数学的掌握和教学》中这样描述：“在数学教学中，教师的知识包揭示了教师对开启和培养学生头脑中这样一个领域的纵向过程的理解。”吴正宪老师认为：“如果想让知识树枝繁叶茂，必须根深蒂固。”人教社王永春主任在《小学数学计算教学改革的有效探索》一文中指出：“每一个新知识都是在已有知识的基础上发展的，要善于运用类比推理和比较差异的思想方法进行新旧知识的转化，达到触类旁通、方法迁移的目的。”因此，建立在对知识及知识间的关系深刻理解的基础上的数学知识结构和认知结构才是稳固丰富的。有思想深度的课，能使学生数学地思考问题的方法长存，有助于学生的可持续发展，真正提高学生的数学素质。
基于此，在这节课上，我们呈现了“数的运算知识树”，提供“整数除法的意义、计算方法及学习方法”、“小数除法的意义、计算方法及学习方法”等知识包，唤起学生对已有知识的回忆，从而运用同样的思路和方法开展“分数除法”的学习。同时，引导学生回忆第一单元“分数乘法”的学习方法，例如举例子、利用长方形折涂等方法来学习“分数除法”，让学生在学习活动中，体会到数学知识不是孤立的，小学数学的学习是螺旋上升的，我们可以借助已有的学习经验来学习同类别的新知。这样的教学，不是就计算讲计算，而是将计算学习的横纵联系、思维脉络清晰地展现，这对学生来说，既是数学活动经验的积累，又是学习能力、方法的渗透，更是不可小觑的数学素养的提升。
二、数形结合，架设算理直观和算法抽象的桥梁，理解计算方法。
张景中院士认为：“计算和推理是想通的，计算要有方法，这方法里就体现了推理，即寓理于算的思想；计算是具体的推理，推理是抽象的计算。”计算的这个具体推理，显然就是算理的理解了。这也是计算教学中教师感到棘手的问题，不知如何把握算理理解的方式和时机，想面面俱到却经常顾此失彼。针对这些问题，我们在本节课中进行了尝试，力求基于学生的需求解决问题，具体表现在：
1. 从体会“分数除法”的意义开始理解算理
弗赖登塔尔在《作为教育任务的数学》一书中指出，数学知识有两类：程序性知识和思辨性知识。程序性知识大多是“行易知难”，例如计算规则，本节课“分数除以整数”的计算，就是做起来容易，懂得其道理难。而这个道理难道必须一次到位地跟学生讲清楚吗？我认为不然。对于“分数除以整数”的算理：把一个数平均分成几份，实际上就是求这个数的几分之一是多少，并不是通过像
÷ 2、÷ 3这样的一、两个例子，借助直观图就能让学生接受的。其实，学生对于算理的理解从“分数除法的意义”就开始了，我们没有直接呈现教材例1，而是让学生逐步完成图——数——式的结合。首先，学生利用长方形，先根据分数的意义表示出它的几分之几，这个操作实际上就是确定了被除数。然后再根据整数除法的意义将这个几分之几除以一个数，并接着在长方形上表示出来，这个环节就能让学生在操作活动中体会一个分数除以整数，就是将这个分数平均分成几份，表示其中的一份。这个体会虽然是隐性的，但它为后面进一步理解平均分成几份，实际上就是求这个数的几分之一是多少奠定了基础。实际上，在理解“分数除法的意义”阶段学生已经在初步理解算理了。
2. 采用多种方式理解算理。
在初步理解算理之后，应该给予学生“再次理解”的机会。因此，教师要善于选择多种方式来帮助学生更好地理解算理。在这节课中，我们采取了以下两种方式：
（1）举例说明
举例是学生已有的学习经验，在“分数乘法”的学习中就用到。我们改编了例1的教学，让学生根据“分数的意义”和“整数除法的意义”分别在长方形上表示出“几分之几除以几”，再根据图示来列出算式。这样，比起教材中的÷ 2、÷ 3这两个例子，学生举的例子会更多，各种情况都有可能涵盖。接下来，学生依据图示来说明他表示的算式的合理性，既有同桌交流，又有全班反馈，对于算理的理解就蕴涵其中了。
（2）直观模型
直观模型是指具有一定结构的操作材料和直观材料。这节课，我们按照教材例1的编排也选择了长方形作为直观模型。这样，先将“几分之几”赋予图示，
再将“除以几”用图表示，接下来将折、涂的过程用算式来描述，在操作活动中充分发挥数与形、形与式的结合，让学生在后面的尝试计算中有图可依，在直观模型的充分体验中完成“动作思维——形象思维——抽象思维”的发展过程，进一步理解算理。
（3）已有知识
在理解“分数除以整数”的计算原理时，要以学生的已有知识经验，即分数的意义、除法的运算意义、除法是乘法的逆运算、分数乘法的计算方法及倒数的意义为基础，让学生理解“为什么要把除法转化为乘法来计算？”，“怎样把除法转化为乘法来计算？”，从而将所学知识融会贯通。同时，这节课的算理也将为后面进一步学习“分数除以分数”奠定基础。
三、对比优化，体会除法转化为乘法的价值，内化计算法则。
针对问题三出现的有的教师重视让学生去探索如何计算，并在此基础上帮助学生理解算理，但是往往忽视了另一个重要的过程——计算法则（或个体使用方法）的内化与形成的教学现象，我认为，当学生经历了算法多样化，对比优化，并且对于运算的道理有所理解后，还需要学生对常规的计算法则进行再熟悉，以达到内化。
本节课，当学生在计算分数除以整数时，通常会出现以下三种计算方法：
① ÷ 2 = 0.2÷2 = 0.1
② ÷ 3 = =
③ ÷ 4 = × =
算法的优化建立在算法多样化的基础上，如果不及时沟通几种算法之间的联系，草率地牵引到通法上来，是不符合学生认知规律的。因此，在教学时，我先让学生充分阐述各种方法的道理，找到它们之间的联系；然后通过举例，比较每种算法的优势和局限性，例如将分数转化为小数再计算的方法，当分数不能化成有限小数时计算就不方便了；用分数单位的个数去平均分的方法，当分数单位的个数不是除数的整倍数时，也不好计算。最后，学生通过比较、分析，进而运用第三种方法再次计算自己的算式，发现将分数除以整数，转化为去乘除数的倒数这个计算方法适用于所有情况，它是计算的一般方法，由此达到内化。
同时，在对比优化的过程中，学生体会“转化”产生的价值。即为什么要把除法转化为乘法？定义倒数的意义究竟是什么？定义倒数实际上是定义了两个数之间的关系，利用这个关系可以方便地把除法转化为乘法计算，而转化的目的就是为了提高运算效率。除法转化为乘法计算，之所以效率会提高，主要有两个原因：一是分数乘法的计算法则比较简单，而是转化之后乘法的运算律可以派上用场。因此，在巩固提高环节，设计这样的练习让学生进一步体会转化的价值。
【教学设计】
[教学内容]
人教版义务教育教科书六年级上册第3单元第30页“分数除法”第一课时
[教学目标]
1. 在折、涂、算等活动中体会分数除以整数的意义、理解并掌握分数除以整数的算理，能运用计算方法正确地进行计算。
2. 结合具体的问题情境，经历分数除法计算方法的探究、推导过程，运用数形结合、转化的数学思想，培养学生分析、迁移、推理能力。
3. 在学习过程中提升学生几何直观、运算能力等数学核心素养，积累计算学习活动经验，培养良好的计算习惯和学习能力。
[教学重难点]
教学重点：探究并得出分数除以整数的计算方法，能正确地进行计算。
教学难点：分数除以整数计算方法的探索与算理的理解。
[教学准备]
多媒体课件，数的运算知识包，长方形纸片若干。
[教学过程]
一、拾起回忆，谈话引入学习内容
1. 谈话引入：
（1）介绍“数的运算”这棵知识树：从一年级起，我们就和计算交上了朋友，现在我们和它算是老朋友了。你们看，“数的运算”这棵知识树长得枝繁叶茂！
（2）确定在学习“分数乘法”的基础上学习“分数除法”。（贴出单元课题：分数除法）。
2. 揭示课题：学习知识都是从简单入手，从“分数除以整数”开始研究。（板书本课时课题：分数除以整数）
二、迁移类推，体会分数除以整数的意义
1. 确定研究方法及内容：
（1）根据“分数乘法”的学习经验确定研究方法：动手操作、举例验证等。
（2）根据对分数的意义、整数除法的意义的理解，利用长方形材料确定“分数除以整数”的研究内容：分数除法的意义和分数除法的计算方法。
2. 体会分数除以整数的意义
（1）操作活动：
① 利用长方形纸表示一个分数，描述所表示的这个分数的意义：例如，把一张长方形纸看作单位“1”，平均分成5份，阴影部分占其中的4份，就是 。
② 接着表示“除以一个整数”：利用长方形，在刚才的基础上表示“这张纸的几分之几平均分成若干份，每份是这张纸的几分之几”。
③ 用算式表示两次操作的含义，同桌互相交流。
（2）集体交流：结合图形描述该除法算式的意义。
（3）以÷ 2为例，课件演示它表示的直观意义。
把一张纸的平均分成2份，每份是这张纸的几分之几？
（4）借助教材第34页练习七第1题，进一步体会除法是乘法的逆运算。
（5）迁移类推：体会分数除以整数的意义和整数除法的意义、小数除法的意义一样，都是乘法的逆运算，都表示把一个数（数量）平均分。
（6）纳入知识包，为后续学习奠定基础。
三、数形结合，理解分数除以整数的计算方法
1. 根据经验，寻找算法
（1）学生尝试计算除法算式的结果，将过程记录下来，并结合长方形图支撑算法。
（2）全班交流，归纳不同算法（预设有3种）。
① ÷ 2 = 0.2÷2 = 0.1
② ÷ 3 = =
③ ÷ 4 = × =
（3）对比分析：哪一种方法更具有一般性？为什么？
2. 借助直观，理解算理
（1）以 ÷ 2为例，课件演示计算的通用方法和对应的算理：
把 平均分成2份，每份就是 的 ，就是 。
÷ 2 = × = =
（2）理解沟通：把一个数平均分成几份，实际上就是求这个数的几分之一是多少。分数除法和分数乘法有着密切的联系，分数除法可以转化为分数乘法来计算。
3. 达成共识，归纳算法
分数除以整数，就是求这个数的几分之一是多少。分数除法是可以转化为以前我们学过的分数乘法来计算的。那么，我们即将要学习的分数除以分数，又该怎样计算呢？
4. 形成储备，纳入知识包
四、运用规律，尝试计算
1. 教材第30页“做一做”。
2. 这四个同学都在计算÷ 6，谁的计算方法是正确的？
3. 你认为，谁计算得不对？
五、课堂总结，拓展延伸
1. 结合“数的运算”知识树，交流所学，感悟所得。
2. 你能结合学过的知识解释吗？
3. 课堂作业
教材第34页练习七第3、4题。
4. 家庭作业
教材第34页练习七第2题。
【教学反思】
一些数学家在谈到“什么将他们引向数学时”，不约而同地提到了“数学深处出人意料的联系”。兼获菲尔兹奖、沃尔夫数学奖、阿贝尔奖的著名数学家皮埃尔·德利涅说：“在数学中，当你发现两个看似没有共同之处的东西事实上互相关联是一种乐趣，而在两个问题之间建立一个支点则是一个强大的工具。”美国数学家阿德比西·阿布拉指出：“对我来说，数学中最美妙的事情就是，一些乍看来毫不相干的观念和想法事实上可以证明是紧密相关的，有时甚至以一种非常深刻和神奇的方式相关。”数学家在研究数学的过程中，享受着在数学深处发现联系的乐趣。
数学是一个整体，不同领域、不同阶段的数学知识在发展过程中都形成了独特的方法和技巧，我们要以整体的眼光看待数学的各个分支，让学生探索数学知识深处的联系，综合运用知识和方法提高分析能力和解决问题的能力。基于此，在“分数除法：分数除以整数”的教学中，我们用“整体、联系”的思想指导教学，设计了“以知识包为载体，注重知识的迁移类推，凸显运算意义→数形结合，架设算理直观和算法抽象的桥梁，理解计算方法→对比优化，体会除法转化为乘法的价值，内化计算法则”的教学主线，学生学习的整体效果还是很不错的。反思我们教的方式和学生学的方式，觉得以下问题值得商榷：
一、理解算理的直观模型还可更丰富
这节课，我们按照教材例1的编排也选择了长方形作为直观模型。这样，先将“几分之几”赋予图示，再将“除以几”用图表示，接下来将折、涂的过程用算式来描述，在操作活动中充分发挥数与形、形与式的结合，让学生在后面的尝试计算中有图可依，在直观模型的充分体验中完成“动作思维——形象思维——抽象思维”的发展过程，进一步理解算理。
实际教学中，学生能在长方形上通过折、涂、比等活动理解分数除以整数的计算原理。但是，是不是只有长方形这一种直观模型能起到“以形反映数”的作用呢？显然不是。正方形、圆形、线段图……都具可操作性。因此，上完课后，我琢磨着，直观模型可否由学生自己选择？当他们面对分数除以整数的抽象算式时，对于理解分数除法的意义产生困难，根据以前的学习经验，自己选择长方形、正方形、圆形或线段图，通过折一折、画一画、涂一涂的方式来表示算式的意义，从而体会分数除法的意义。这样的做法是否更以学生为本。
二、巩固练习中还可增加题组训练
这节课，在学生体会分数除以整数的意义、理解分数除以整数的算理，并内化计算法则后，我设计组织了以下巩固练习：
第一层次：分数除以整数的基本练习。其素材是教材第30页“做一做”。
第二层次：巩固计算方法的变式练习。既有计算法则的运用，又有根据数据特点灵活选择计算方法的训练。
第三层次：对所学知识的融会贯通，也是拓展延伸。让学生进一步体会转化的价值。
这几个层次的练习，学生对于知识技能的掌握、学习经验的积累都起到了补充作用。但教学起来感觉第一层次的基本练习题量略显单薄，可以增加一些题组练习，以此巩固分数除以整数的计算方法；同时，还能训练学生根据算式中数据的特点灵活地选择计算方法。
教学，就像一棵树动摇另一棵树，一朵云触碰另一朵云，一个灵魂唤醒另一个灵魂。学无止境，其实对教学的追求，也永无止境！
视频来源：优质课网 www.youzhik.com
