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视频标签：两角差的余弦公式
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视频课题：高中数学新人教版必修第一册《两角差的余弦公式》山东省青岛
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高中数学新人教版必修第一册《两角差的余弦公式》山东省青岛
课题： 5.5.1两角差的余弦公式
1.教学模式：本教学设计采用我校的“板块式问题组”导学案教学模式和问题解决教学模式设计，共分成三个板块进行，在每一个板块中设置合理的“问题串”，帮助学生有序、高效解决问题.
2.理论依据：本节课是在单元教学设计的理念之下，依据探究教学理论和建构主义理论进行教学设计.课时教学设计要放在单元教学设计中，在单元教学设计中审视课时教学的地位和作用。在内容上强调知识的连贯性和整体性，在思想方法上强调方法的普适性，明确本课时承担的数学思想和方法.在素养目标落实上强调可操作性.探究式教学又称“做中学”、发现法教学，教师提供事例和问题，让学生自己通过阅读、观察、实验、思考、讨论、听讲等途径主动探索，自行发现并掌握相应的原理和结论的一种方法.建构主义学习理论.建构主义学习理论强调以学生为中心，创设有利于学习者意义建构的教学设计最重要，利用板块式问题组导学案开展教学就是希望实现学生主动建构的目的.
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内容
两角差的余弦公式.
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内容解析
本节内容是三角恒等变换与诱导公式衔接，一方面要推导获得新的公式，另一方面要利用获得的公式进行恒等变形.两角差的余弦公式的证明方法很多，不同的教科书在编写过程中，因为整体立意不同，所以选择的方法也不尽相同，本节课为了体现圆的对称性与三角函数之间的内在联系，所以利用了圆的旋转对称性证明两角差的余弦公式.教科书首先设置了一个“探究”，引导学生进行自主的思维活动.不失一般性，先研究
和
的终边不相同时两角差的余弦公式，再研究终边相同时两角差的余弦公式，进而得到任意两角差的余弦表达式--两角差的余弦公式.在公式推导过程中蕴含了丰富的数学思想方法.两个例题，一方面，通过简单的应用，使学生初步熟记公式，掌握公式的结构形式及其功能；另一方面是要训练学生有序的思维习惯，发展学生的数学运算素养.因此在教学时要培养程序化的思维习惯.
基于以上分析，制定本节课的教学重点是：利用圆的旋转对称性推导两角差的余弦公式及简单应用。
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目标
（1）经历两角差余弦公式的推导过程，体会过程中涉及的数学思想和方法,提升直观想象、逻辑推理及数学运算的核心素养；
（2）明确两角差的余弦公式与同角三角函数的平方关系及它与诱导公式之间的内在的统一关系；
（3）能从公式的正用，逆用以及变形用三个层面掌握两角差的余弦公式.
2.目标解析
达成上述目标的标志是：
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学生经历两角差的余弦公式的推导过程，明确研究的问题（依据三角函数的定义、圆的旋转对称性），进而能够找到等量关系，化简后终边不相同时两角差的余弦公式.在推导公式的过程中，能够明确两角差的余弦公式与同角三角函数的平方关系之间的内在统一.
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遇到两角差的形式能够快速展开，熟练应用公式，能从两角差的余弦公式角度得出诱导公式.掌握公式的特点，能比较顺利的完成
这样的题目.
四、教学问题诊断分析
本节课面对的是高一学生，在知识上学生已经学习了任意角和弧度制、三角函数的概念、诱导公式、圆的有关知识等能力上学生具备了一定的直观想象、数学推理、数学运算能力，但存在解决问题能力不足的现象。例如，发现两角差的三角函数与圆的旋转对称性间的联系、对
和
的终边进行分类讨论及化简
等都存在着探究问题能力明显不足的情况，因此总体来说学生基础薄弱，能力一般，为最大限度提高课堂教学的效率，实行分组教学，小组合作学习探究，已实现学生间的互帮互助.
基于以上分析，制定本节课的
教学难点是：发现两角差的三角函数与圆的旋转对称性间的联系及推导公式的过程.
五、教学支持条件分析
借助多媒体课件、动画软件等信息技术工具展示单位圆中扇形的旋转，让学生通过直观观察找到等量关系，进而依据等量关系推导公式.借助课件，提高课堂效率.
六、教学过程设计
【课前预习区】
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若
是任意角，它们的终边相同，则= （用表示）；
若
是任意角，它们的终边不相同，则
.
2.如图
是任意角，它们的终边不相同，终边
和
与单位圆分别交于点
和
，
-
点的坐标为 ，点的坐标为 ；
-
点和之间的距离为 ；
3.同角三角函数的基本关系
平方关系： 商的关系：
4.诱导公式：
设计意图：复习旧知，为后面学习做好准备.
【课堂互动区】
【情境引入】
三角学在生活当中有着非常广泛的应用，大到科学研究、数理分析，小到足球射门的最佳角度问题、草坪铺设的最优化问题以及我现在说话时声波的传播问题等都和三角学密切相关，今天这一节课我们就一起来学习平面三角学中最重要的一个公式之一：两角差的余弦公式.
问题1：化简：
，
，
问题2：请同学们想一想
的展开式是什么样子的呢？
的呢？
设计意图：以化简
，
和
为起点，分析它们都具备两角差的特征，而结果都和角
的正弦值和余弦值有关，这样引入的目的在于加强知识前后的连贯性，让学生明白两角差的余弦公式不是突然出现，而是在前面学习过程中已有所接触，同时猜想一般情况下两角差的余弦公式可能的形式是什么.
【探究公式】
问题3：如何用任意角
的三角函数值
，
，
，
，表示
?
追问1：已知
是任意角，若它们的终边相同，你能用
表示
吗？ 追问2：如图，
和
的终边与单位圆的交点分别为
和
，请写出点
，
的坐标.
追问3：请你说说
，
表示什么含义？
追问4：请你说说
表示什么含义？
追问5：请找出角
，说说你的办法.
追问6：如图，你能找到哪些等量关系呢？试从等量关系出发，看看你能得到什么结论？
设计意图：设置合理问题串，问题间隙循序渐进，问题设置的指向性要明确.在推导两角差的余弦公式的过程中，为了找到
，开始时设置了以下追问追问2：你能用
和
表示以
为始边，
为终边的角吗？追问3：请你说说
的几何意义？当从2过渡到3时，学生不知从何说起.2和3之间的过渡太大，问题指向也不明确.所以，我把问题调整为以上六个追问，学生能够顺利的回答
表示什么含义这个问题，从而突破本节课难点.
追问7：当
和
终边相同时，仍有上述结论吗？
设计意图：分类讨论，推导出两角差的余弦公式，同时明确同角三角函数的平方关系与两角差的余弦公式的内在辩证统一关系.
两角差的余弦公式：
问题4：
设计意图：回扣开始时提出的问题，首尾呼应，同时巩固加深理解公式.
【应用公式】
例1 利用公式
证明：
（1）
（2）
（3）
问题5：两角差的余弦公式与诱导公式有何关系？
设计意图：把两角差的余弦公式中的某一个角换成特殊角以后，公式就变成了前面学习的诱导公式，它们之间是特殊与一般的关系，虽然它们在形式上不同，但在本质上是辩证统一的，我们从另一个全新的角度认识了诱导公式,这六个诱导公式统一于这一个公式，两角差的余弦公式是其一般化的表达，非常便于我们记忆,学习要经历一个由薄到厚再由厚到薄的过程.
例2 已知
，
，
，
是第三象限角，求
的值.
设计意图：一方面使学生熟记公式，掌握公式的结构形式及其功能；另一方面训练学生有序的思维习惯，发展学生的数学运算素养，培养学生程序化的思维习惯，首先确定解题依据的是哪个公式；其次，与公式相比，观察题目的形式特点，确定需要求出哪些值；最后，根据第二部得到的方案求值，再代入，解决问题.
练习：
①
②
③
④
设计意图：两角差的余弦公式的逆向应用，加深学生对公式的理解及应用.
【课堂小结】
设计意图：本环节包括知识小结和方法小结。学生自主梳理本节课的知识要点，形成知识框架，总结概括本节课蕴含的丰富的思想方法，提升学生的数学核心素养.
【布置作业】
设计意图：包括基础巩固、能力提升和拓展延伸，分层布置，满足不同学生需要，实现多元发展。
【板书设计】
设计意图：呈现公式推导过程，规范例题解答，起到引领示范的作用.
公式： 例1：（略） 例2：（略）
特点：
（推导过程略）
当
时 两角差的余弦公式 小结：知识
与诱导公式关系 方法
当
时
【课后巩固区】
请根据自己的学习情况选择适合自己的习题，其中A组为必做题，B组为拓展题
A组：
1.
=( )
A.
B.
C．
D．
2.（多选题）满足
的一组
的值是( )
A．
B．
C．
D．
3.
.
4.
= .
5．已知
，
，求
.
6．已知
，求（1）
.（2）
.
B组：
1.你能利用公式
推导出
的展开式吗？
2.已知
和
都是锐角，
，
，求
的值.(提示：
.)
七、教学评价
设计意图：通过自我、同伴、教师评价使学生能够正确认识自己，弥补不足，发扬优点，促进学生进步.
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自我评价 |
同伴评价 |
教师评价 |
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好 |
良好 |
一般 |
不好 |
好 |
良好 |
一般 |
不好 |
好 |
良好 |
一般 |
不好 |
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学习自信 |
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学习态度 |
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合作意识 |
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应用意识 |
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创新能力 |
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视频来源：优质课网 www.youzhik.com
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