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视频简介:

北师大必修四第二章第三节3.1《数乘向量》广西省优课

视频标签:数乘向量

所属栏目:高中数学优质课视频

视频课题:北师大必修四第二章第三节3.1《数乘向量》广西省优课

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北师大必修四第二章第三节3.1《数乘向量》广西省优课

数乘向量 
【教学目标】 
1. 通过实例掌握数乘向量的运算,并理解其几何意义,掌握数乘向量运算的运算律. 2. 通过教学,养成学生规范的作图习惯,培养学生数形结合的能力. 

【教学重点】 
数乘向量运算及运算律. 

【教学难点】 
对数乘向量定义的理解. 

【教学方法】 
这节课主要采用启发式教学和讲练结合的教学方法.在向量加法的基础上引入数乘向量的定义,教学过程中紧扣向量的两要素分析定义,始终注重数形结合,引导学生思考,使问题处于学生思维的最近发展区,以此较好地培养学生发现问题、提出问题、解决问题的能力.

 【教学过程】 环节 
教学内容 
师生互动 设计意图 
导 入 
1.复习上一节课所学的内容 (1)向量的有关概念 
a.向量的定义 b.向量的模 c.相等向量 
         d.共线向量 
(2)向量的加减法运算 2.已知非零向量 a,求作: (1) a+a+a; (2) (-a)+(-a)+(-a).   
请观察3a 与-3a是否还是一个向量,它的长度与方向有何变化. 
3.已知→
AB,把线段AB 三等分,分点为P,Q,则→
AP, →AQ,→BP与→
AB的关系如何? 教师提问,学生回
忆 
 
  
 
 
教师提出问题,引入课题. 
 
学生观察解答. 
通过回忆旧知
识,为新知做准备 
 
 
 
  
 
 
在向量加法的
基础上引入数乘向量的定义,符合学生
认知规律,有利于概
念的同化. 
     新 课 
1.数乘向量的定义 
实数λ和向量a的乘积是一个向量,记作 λa. 
向量 λa ( a≠0,λ≠0)的长度与方向规定为: 
(1) | λa |=| λ | | a |; 
(2) 当λ>0时,λa 与 a 的方向相同;当λ< 0 时,λa 与 a 的方向相反. 
当 λ=0 时,0a=0;当 a=0 时,λ0=0. 
 
教师由具体例子引
导学生得到数乘向量的定义.  
 
培养学生由特殊到一般的归纳总结能力. 
紧扣向量的两
-a  
-a  -a  
a a 



P Q B 
                    
             
                    
                             
 
                          新 课                  
 
2.数乘向量的几何意义 
把向量 a 沿着 a 的方向或 a 的反方向,长度放大或缩小. 
如2a 的几何意义就是沿着向量 a 的方向,长度放大到原来的 2 倍. 
 
练习一   
任作向量 a,再作出向量-3a,12a,-1
3a,并
说出它们的几何意义. 
 
3.数乘向量运算的运算律  设 λ,μR,有: (1) (λ+μ)a=λa+μa; (2) λ(μa)=(λμ)a; (3) λ(a+b)=λa+λb. 请观察,数乘向量运算律与实数乘法运算律有什么相似之处? 
 
例1  计算下列各式: (1)(-2) 1
2
a; 
(2)2(a+b)-3(a-b); 
(3)(+)(a-b)-(-)(a+b) . 解 (1)(-2) 12 a=(-2 1
2) a=-a; 
(2)2 (a+b)-3 (a-b) 
=2 a-3 a+2 b+3 b =(2-3) a+(2+3) b =-a+5 b. 
(3)(+)(a-b)-(-)(a+b) 
=(+)a-(+)b-(-)a-(-)b =(+-+)a-(++-)b =2a-2b.  
练习二  化简: 
(1)2(a-b)+3(a+b); (2) 12(a+b)+1
2(a-b). 
 
例2 设x是未知向量,解方程 
5 (x+a)+3 (x-b)=0. 
        
师生合作完成.      
教师提出问题. 学生观察解答.  
师生合作完成. 
 
          
学生练习巩固. 教师引导学生完
成.  
   
要素分析定义,便于理解数乘向量的几何意义. 
      
  
          
类比学习.  
  
        
有实数运算法则做基础,学生解决这部分题目很容易,提醒学生向量上加箭头.  
                    
             
                    
                             
  
                         新 课  
 
解  原式可变形为 
5x+5a+3x-3b=0, 8 x=-5a+3b,     x=-58a+3
8b. 
 练习三  
解关于x的方程:  (1) 3(a+x)=x; (2) x+2(a+x)=0.  
例3 已知→OA=3→OA,→AB=3→
AB,说明向量→OB与→
OB的关系. 
解  因为 
→OB=→OA+→AB=3→OA+3→AB =3(→OA+→AB)=3→OB. 
所以→OB与→OB共线且同方向,长度是→OB的3倍. 
 
4. 向量共线定理 
对于向量
b,aa0,以及实数 
问题(1)如果ab,那么b与a是否共线? 问题(2)如果a//b,那么是否存在实数,使得ab? 
   
 
  
 
  
学生练习巩固. 
 
  
 
教师给出问题并引导学生解答. 
学生根据向量加
法的三角形法则及数
乘向量定义完成解答.  
 
  
 
教师给出问题并
引导学生解答. 学生根据向量数
乘向量的几何意义来完成解答. 
 
     
  
 
 
  
 
 
   
 
 
  
 
由本例引入平
行向量定理,由特殊到一般,便于学生接受. 
 
 
  
 
 
   
通过提出问题,学
生思考问题,达到
学生自主探究新知的目的。 
小 结 
1.数乘向量的定义及其几何意义. 2.数乘向量运算律. 3. 向量共线定理 
师生合作. 
梳理总结也可针对学生薄弱或易错处进行强调和总结. 
 
                    
             
                    
                           

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