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视频课题：小学数学苏教版四年级下册8解决实际问题-相遇问题-江苏省 - 常州
教学设计、课堂实录及教案：小学数学苏教版四年级下册8相遇问题-江苏省 - 常州
相遇问题》课堂教学实录
朝阳新村第二小学 陆洳芬 2017.4.27
一、教学内容： 四下P68、69 例7 二、教学目标：
1. 使学生初步理解相遇问题的结构特点以及数量关系，会用两种方法解答，并能应用乘法分配律解释两种解法之间的联系。
2. 经历用列表或画图的方法整理信息、分析数量关系的过程，发展几何直观，培养分析和解决问题的能力，增强应用意识。 三、制定依据
1.教材分析
修订后的教材把“相遇问题”安排在“运算律”单元，有老师认为解决问题的策略不再是教学的重点，教学时只要学生会解题，能理解解题方法就可以了，无需引导学生从策略的高度去审视解决问题的方法。这样的认识似乎有些偏颇。个人认为，策略是体现在解决问题过程中的，教学中唯有把学生获得的解题经验和方法上升到策略的层次，学生解决问题的能力才可能得到发展和提高。本节课中运算律的应用是明线，重在沟通不同解法间的联系；解决问题的策略是暗线，重在感悟解决问题的常用策略。这一明一暗两条线都很重要。教学时，既要关注学生对数量关系、解题方法的理解和掌握，又要关注学生对解题策略的感悟。
相遇问题的情形很多，本单元只出现求“路程和”的问题，其它情况在后续的教材都有安排。本册教材里的相遇问题的变式也很多，如相背而行、环形、甚至拓展到工程问题等„„但是情节与题材的改变没有改变相遇问题的本质特点和基本解法，要让学生主动适应，主动掌握并灵活运用。
2.学生分析
相遇问题是研究两个物体运行路程的实际问题。在此之前，学生已经掌握了“路程=速度×时间”等常见数量关系，以及求两积之和（差）实际问题的数量关系，初步学会分析数量关系的常用策略，了解解决问题的一般步骤，能用画图、列表等方法整理条件和问题。虽然学生已经积累了比较丰富的分析数量关系的经验，但由于相遇问题是经过形式化处理的数学模型，问题的结构比较抽象，且涉及出发地点、运行时间、方向等诸多因素，学生理解起来有一定困难。因此借助可视化手段，使抽象的数量关系变得具体、形象，无疑是本节课教学的关键。 四、教学过程：
（一）回顾复习，唤醒激活。
师：同学们，运动员进行比赛之前要“热身”，我们在投入学习之前也来做个“思维体操”，怎么样？请看要求。（出示2道复习题）
生1：18×3=54（元） 数量关系是单价×数量=总价
师：思维渐渐打开了。
生2：60×3=180（千米） 数量关系是速度×时间=路程 师：分析得头头是道。
师：这两个是我们学过的常见数量关系，谁能说说“单价×数量=总价”可以解决什么类型的实际问题？“速度×时间=路程”呢？
生1：购物的问题 生2：走路的问题
师：那我们今天就继续来“解决新的实际问题”（揭示板书）。
【评析】：常见的数量关系是解决实际问题的基本数学模型，也是“相遇问题”的知识原型。在这里唤醒学生的记忆，明确“速度、时间、路程”可以解决的实际问题的基本类型，有效地激活学生旧知，为解决新的实际问题作好铺垫准备。
（二）借助直观，解决问题。 1.整理信息、策略优化。
（1）出示例题，整理信息。
师：小明和小芳上学时就遇上了新问题。请一位同学来读题，其他同学想想题中有哪些重要信息？ 师：是不是觉得信息挺多的？那遇上这样复杂的信息怎么办呢？ 生1：可以画图。 生2：可以列表
师：画图和列表其实都是在帮助我们„„整理信息。（板书）
那接下来就请你选择自己喜欢的方式来整理信息，完成的1号作业纸上。 （2）资源交流，理清题意。
第一层次：正确与错误资源的对比。（呈现资源1、2）
师：信息都整理得差不多了吗？那好我们来看这两位同学的，他们是怎么整理的？ 生：画图
师：你认为哪位同学的线段图更能反映题目中“两人同时从家走向学校，最后在学校门口相遇”的行走情况的？
生：我认为是第一种，因为两个人要在校门口相遇。
师：你真是很厉害，一下子就抓住了“相遇”这个关键信息。
那么既然要相遇，小明和小芳该怎么走呢？ 我们来演示一下。（学生用手势进行行走情况的演示） 师：是啊，要这样面对面的走。要是在线段图上表上 “ ”这样的运动方向就更好了。 师：那另一位同学的线段图，你们知道问题在哪了吗？ 生：她没有表示出“相遇”。
第二层次：繁琐与简洁资源的对比。（呈现资源1、3、4）
师：再来看这几位同学的，他们都表示出了“相遇”的情况，有什么不一样？
生1：这位同学是用文字来表达的。
生2：上面的同学是一小段一小段来表示的。
师：你们观察得很仔细。这位同学是用4小段来表示行走了4分钟，那么你们更喜欢哪一个？ 生：第一种。因为这样比较简洁。 第三层次：可以与合适资源的对比。（呈现资列表的和画图的）
师：除了画图可以整理信息。老师还看到有同学是用列表的方式来整理信息的，挥手给老师看看。 （学生挥手示意）
师：当然，列表也是可以的。
师：就今天这道题的行走情况来说，你们认为列表和画图哪个整理方式更适合？ 生1：我认为的画图。因为可以很清楚的表示出这道题目的意思。 生2：我也认为是画图，这样表示一段一段更清晰。 第四层次：策略优化，小结提升。
师：说得真好。看来线段图更合适。不仅可以表示出速度、时间等信息，还能表示出两人是怎么走的。 师：我们一起来看。（PPT动画把题意清晰的再次演示一遍）
师：像小明、小芳这样的行走情况，数学上称为“同时 相向而行 相遇”（板书） 【评析】：建构主义认为：学生的建构不是老师传授的结果，而是通过亲历，通过与学习环境的交互作用来实现。每个学生都是以自己的方式建构对数学的理解。在整个信息整理环节，学生自主参与，在经过各自的思维加工处理之后，引导进行三次对比辨析来实现信息的梳理、策略的选择以及优化的教学目的。通过“正确与错误的对比”让学生理解“相遇”的含义，明白“同向而行”等专业术语所表述的意思，了解“相遇问题”的基本特征；通过“繁琐与简洁的对比”让学生明确用画图策略整理信息的方法，帮助学生发展几何直观的能力；最后通过“可以与更合适的对比”让学生判断出列表、画图策略整理信息就此类问题哪个更合适，从而达到策略优化的目标。学生也在这样一次次对比辨析中将有缺陷的经验逐步修正，浅层次的理解得到不断提升，使得生成的画图方法很自然的被纳入学生经验认知系统，从而保证在后续的解题中能被灵活调用。
2.列式解答、掌握数量关系。 （1）独立思考解答
师：信息整理得很清楚了吧，那接下来我们可以„„ 生：列式解答。
师：是啊，不过在列式解答之前别忘了先要分析一下数量关系哦。（板书：分析数量关系 列式解答） 师：完成在1号作业纸上。
（2）交流解题思路，理清数量关系。 70×4+60×4 （70+60）×4 （呈现学生两种不同的解法） 第一层次：交流第一种解法。
师：老师发现有的同学是这样做的，
还有的同学是这样做的。
师：都能看得懂吗？我们分别请同学来说说他们是怎么想的？先来看第一种。
生： 70×4求的是小明走的路程，60×4求的是小芳走的路程，然后再把他们加起来就是他们家相距
的路程。
（PPT配合学生的发言结合线段图进行演示）
师：思路分析得很清晰呢！那这种方法用的数量关系是什么？ 生1：速度×时间=路程
生2：用速度×时间=路程分别求出两人各自的路程，然后再加起来。 师：说得真好，也就是把小明的路程+小芳的路程=一共的路程（板书） 第二层次：交流第二种解法。 师：那么第二种方法呢?
生：70+60求的是小明和小芳一分钟走的，她们一共走了4分钟，所以再×4。 师：其他同学有什么疑问吗？
师：小明走了4分钟，小芳也走4分钟，求一共的路程不是应该×8吗？为什么是×4？ 生1：题目是说了她们是共同走了4分钟啊。 生2：„„ 生3：„„
（都说得不清楚）
师：既然你们都说同时，那我们来看。小明一分钟70米，小芳一分钟60米，同时走他们一分钟一共
走了„„（PPT动画演示一分钟小明和小芳走的速度和）
生：130米
师：那结合线段图想想，这里一共有几个130？ 生：4个
师：那也就是要ׄ„ 生：×4
师：明白了吗？原来×4的奥秘在这里呢。那这种方法的数量关系有谁知道？ 生：速度×时间=路程
师：这道题的速度，跟刚才的速度一样吗？ 生：这里要两个人的速度
师：你真是会思考，这里要两个人的速度，数学上称为“速度和”。那这个数量关系应该是„„？ 生：速度和×时间=路程 3.对比沟通、建立联系。 （1）两种解法的勾联。
师：观察、比较这两种方法，用了两种不同的数量关系，它们之间又有什么联系呢？ 生1：都是求的总的路程。 生2：得数都是一样的520,。 生3：„„（出不来）
师：它们算式之间有没有什么联系呢？ 生4：它们用了乘法分配律。
师：我们一起来看看有没有这个联系。原来真的是之前我们学过的乘法分配律呢，你很有洞察力。 （2）前后数量关系的勾联。
师：以前我们求路程用的是“速度×时间=路程”，今天这题同样也是求路程，怎么就要“速度和×时间=总路程”了呢？同桌可以讨论一下。 生：因为有两个人走
师：看来你是真理解了，立刻就发现了这里面的关键所在。
原来是一个人走一段路，今天我们是两个人共同走完了一段路。所以要用速度和×时间=总路程来
求。我觉得此处可以有掌声。 【评析】：解决问题的过程其实就是梳理数量关系，帮助学生建立“相遇问题”基本数学模型的过程。在整个解决问题环节，借助信息技术的直观优势，理解数量间的关系。同时紧扣“速度、时间、路程”这一基本数量关系进行“勾联”。当（70+60）×4的数量关系学生说是“速度×时间=路程”时，追问“这里的速度跟原来的速度一样吗？”问题直指核心，通过这样有针对性的辨析比较打破了原有数量关系的局限，帮助学生明确两个速度的区别，学生也就自然而然的理解了“速度和”这一专有名词的含义；在最后两种方法对比的过程中，再一次进行勾联“同样都是求路程，为什么今天要用速度和×时间？”让学生在不断自省中明确“相遇问题”的本质“两个人共同走完了一段路，求的是路程和”，通过这样的勾联让学生明白两种数量关系之间的异同，架构起知识之间的桥梁，并建立了清晰的解决“相向而行”问题的数量关系，很有生长感。
（三）尝试练习，建立模型。 1.独立解答。
师：在我们的实际生活中，两人除了可以同时相向而行之外，还可能怎么走？ 生1：反向而行 生2：沿一个方向走
生3：相向而行走了相遇之后又分开的走 „„
师：是啊，确实都有可能。你们的生活经验挺丰富的。
师：那我们来看这一题，请一位同学读题，其他同学思考，他们是怎么走的？ （学生读题）
师：这回两人是怎么走的？ 生：反向而行 师：说得真好！像他们这样从同一地点同时向不同的方向行走的情况，我们称为“同时 反向而行”（板书）（边说边配以手势演示）
师：那信息解决这个问题吗？（有）很有气势啊！
那就请你们像刚才那样，先画图整理信息，再分析数量关系，列式解答在2号作业纸上。 2.交流方法。
师：都好了吗？展现你们智慧的时候到了，请这位同学来分享一下她画得线段图。 （学生根据题意把线段图的意思表述清晰） 师：整理得怎么样？ 生：很好。
师：我也有同感，非常棒。
师：再来看看你们的解法，都同意吗？能说一说各是用了那个数量关系吗？ 生1：小华的路程+赵丽的路程=一共的路程 生2：速度和×时间=总路程 3.沟通联系，建立数学模型。
师：奇怪！与例题相比，一个是相向而行，一个是反向而行，运动的方向都不一样，你们怎么用的数
量关系是一样的啊？ 生：都是求的一共的路程。 （PPT配合动态演示）
师：真心佩服你们，一下子就抓住了问题的关键。确实，无论是相向而行还是反向而行，求一共的路程都可以用这样的数量关系来解决。 （四）变式迁移，理解模型。 1.抛出问题，激发兴趣。
师：如果我把沿直线反向而行变成沿环形跑道反向而行，求跑道有多长呢？ 如果我把两人相向而行在校门口相遇改成两个工程队，共同修一条公路呢？这样的两道题你们还会做吗？在3号作业纸上试一试。
（PPT配合老师提问进行动态变化） （学生独立解答）
师：做完的同学可以4人小组讨论交流一下自己的想法。 2.交流解法，理清数量关系，沟通联系。
师：好了，那我们就来一起探讨一下吧。环形跑道的问题，你们的方法是„„？ 生1：（4+6）×40 生2：4×40+6×40 师：怎么想的？
生1：第一种是拿速度和×时间=总路程
生2：第二种方法是拿小李的路程+小张的路程=总路程
师：咦，听力你们的介绍，我怎么觉得数量关系还是跟之前一样的呢？什么原因？ 生1：还是求的总路程。
生2：拉直的话还是跟刚才的题目是一样的。
师：看来都是反向而行求总路程就都可以用这样的思路来解决问题。跟直的还是弯曲的没有关系。说
得很棒，给你们点个大大的赞！ 师：修路问题，你们的方法是„„？ 生1： （15+12）×8
生2： 15×8+12×8 师：这又是怎么想的呢？
生1：速度和×时间=一共的路程
生2：甲队修的路程+乙队修的路程=一共路程
师：啊？还是一样的吗？都已经不是行程的问题而是工作的问题了，怎么你们用的方法还是一样的？ 生1：还是求的一共修了多少路程。
师：看来两队共同修一段路和两人同时相向而行走完一段路是一样的，都是求他们的总量。 你们分析得十分精彩，已经抓住了这类问题的主要特点了。很会思考很会学习。
下课后可以编一道用同样思路解答的问题考考你的同学们。 【评析】：“思辨”是最重要的数学活动，它是数学活动的核心与动力。今天整个“尝试练习”和“变式迁移”的环节，在学生的活动经验积累到一定程度后，老师不断地引导学生进行了多次有深度的思辨活动来帮助学生掌握分析这类问题数量关系的关键，弄清不同问题之间的联系与区别，建立结构化、模块化的认知结构。主要有三次对比：“一个是相向而行，一个是反向而行，运动的方向都不一样，为什么数量关系是一样的？”、“反向而行，一个沿直线行走，一个沿环形行走，为什么方法还是一样的？”、“明明已经不是行走问题，而变成了工作问题，为什么数量关系还是一样的？”等等„„学生在这样一次次的对比、反思中感受着相遇问题中的“变”与“不变”，最后内化为自身对此类问题的理解和运用。
（五）全课总结、拓展延伸。 1．全课总结。
师：通过今天的学习，你们有什么收获？ （学生自由谈体会） 2．拓展延伸。
师：刚才有同学说还可以这样走（手势表示），那这样的行走情况又会有什么新的问题？又该用怎样的数量关系解决呢？带着这样的思考，课后也像今天这样一起去探索研究一下。 【评析】：众所周知，解决问题不能单单是把题目做完就可以，而是应该让学生掌握解决问题的思维路径和过程方法，以此帮助学生建立“类意识”，学会学习。新课结束之际，让学生回顾收获，提炼方法，然后用此方法结构进行拓展延伸，将学习延续至课外，为下节课的研究打开“一扇窗”。
【思考与困惑】：
相遇问题是一个经典的行程问题，而行程问题一直是教学的难点，变化多端，数量关系复杂，从这个意义上来说研究此类问题还是有着典型价值的。
对于相遇问题的教学有两种不同的价值取向。一种是强调相遇问题的独特性（独特的情境、独特的数量关系），教学中也就强调其特有的模型。正如以往应用题教学那样分成很小的类别，然后分门别类的教一个小模型，比如：归一、归总、相遇问题、工程问题等等„„，学生只要背一下数量关系套用即可。另一种思路正好相反，试图打破消解掉相遇问题的独立性，把相遇问题当成某类有着共同数量关系结构的问题的一个特例来处理，在教学中立足于分析问题、解决问题的一般思路。基于以上的研究，我们也在思考在当前教学革新阶段这节课教学的价值追求是什么？
《数学课程标准（实验稿）》并没有对基本数量关系作明确的要求，但《数学课程标准》（2011 版）明确提出要让学生在具体的情境中了解常见的数量关系。这也可以看做是对一定程度模式化的认可。简单地说，我们总要在解决问题的过程中积累经验，而这种经验往往就是以“碰到这类问题就会分析和解决”为形式而存在的。事实上，我们让学生了解基本数量关系，就是一种模式化。
仔细分析，不难发现，基于相遇问题的建模可以有三个层次：（1）我们可以把相遇问题当成一种独立的模式的问题。（2）可以当成是速度、时间和路程的基本数量关系的应用 （即不把相遇问题当成专门的模式，而看成是另一基本模式的应用）。（3）甚至可以进一步把速度、时间和路程之间的数量关系看成是更基本的乘法的意义的应用（此时“速度、时间、路程”之间的关系和“单价、数量、总价”的关系是一样的，而相遇问题也和购买相同数量的两种商品算总价的问题是一样的了）。这些想法在逻辑上都是行得通的，那么我们在具体的教学实践中又应该把相遇问题模式化到什么程度？
这次活动我们就在这两个方面开展了探索，尽管由于研究设计本身的局限性和这个问题本身的难度，我们自己也还没有得到太多有说服力的结论，但我们提出的问题和针对问题所进行的探索还是有一定价值的。或许不久之后，我们还可以在现有研究的基础上，通过进一步完善研究方法，进行更加深入的研究。也非常期望得到专家的指导！
视频来源：优质课网 www.youzhik.com
