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新教材人教A版高中数学必修第二册(省优质课)6.2.4平面向量数量积教学设计2课时 (1)

视频标签:高中数学必修第二册

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视频课题:新教材人教A版高中数学必修第二册(省优质课)6.2.4平面向量数量积教学设计2课时 (1)

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6.2.4平面向量数量积教学设计2课时 (1)

6.2.4 向量的数量积
一、内容和内容解析
1.内容
平面向量数量积的概念;投影向量的概念及其意义;平面向量数量积的性质及运算律.本小节计划用2课时,第一课时:数量积的概念、投影的概念和投影向量的意义;第二课时:平面向量数量积的性质及运算律.
2.内容解析
本小节是2019年人教A版必修第二册第六章第二单元的第四小节,是在学生已经学习了平面向量的概念和线性运算的基础上再来探究平面向量数量积运算,向量的数量积运算是向量的核心运算.
第一课时以物理中力做功为背景,通过类比抽象得到平面向量夹角和数量积的概念,通过创设数学情境,类比力在位移方向上的分力,引出投影向量,通过几何直观让学生探究投影向量的方向和长度,归纳出投影向量的代数表示,最后引导学生探究了投影向量和数量积的联系,这也是投影向量的意义。
第二课时以问题为导向,引导学生将数量积公式中的向量特殊化、夹角特殊化得到向量数量积的有关性质,并类比数的乘法运算律,结合向量的线性运算律,让学生猜想数量积的运算律,并加以验证,得到数量积运算的交换律、与数乘的结合律、分配律.
综上所述,确定本节课的教学重点:平面向量数量积的概念与投影向量.;平面向量数量积的性质及运算律.
二、教学目标
1.目标
(1)理解平面向量数量积的概念及其物理意义;会计算平面向量数量积;
(2)通过几何直观,了解平面向量投影的概念和投影向量的意义.
(3)理解平面向量数量积的性质及运算律.
2.目标解析
达成上述目标的标志是:
(1)学生能从物理中力做功的实例抽象出向量夹角和平面向量数量积的概念,体会数学概念的生成过程,感悟数学抽象、逻辑推理等数学思想的作用;会计算平面向量数量积,知道它的结果是数量;能描述平面向量的数量积、长度、夹角之间的关系.
(2)能结合具体例子画图解释一个向量向另一个向量上的投影向量,知道两个向量的夹角的大小对投影向量的影响;知道平面向量投影与平面向量数量积之间的关系,体会平面向量投影是构建高维空间与低维空间之间联系的桥梁.
(3)能借助向量投影说明数量积的运算性质,区分平面向量数量积与实数的积的不同含义.
    三、教学问题诊断分析
学生已经学习了平面向量的加法、减法、数乘运算,有了一些研究平面向量运算的经验,积累了一些从简单的物理背景抽象出数学概念的能力,另外学生已经具备了一定观察问题、分析问题的能力,这些都是学习本节课的基础。
但在概念课中,学生自主构建概念的意识还不强,自主探究的能力还不够。向量的线性运算既是基础也是思维定式,其运算过程和结果可能对学生理解数量积产生一定的干扰,因为数量积的运算结果是数量,不是向量,运算不封闭,学生是首次遇到,对于知识同化与心理顺应可能有一定的障碍和困难.对投影和投影向量的理解也将是本节课的难点.
平面向量数量积是从物理中功的实例抽象出来的,并且借助了几何直观探究了向量投影概念和投影向量,所以学生原有的物理学习、几何学习的差异也会直接影响他们对于平面向量数量积的学习。另外,在探究向量数量积的运算性质时,与实数的乘法运算性质进行了类比,学生容易联想到向量的数量积运算有类似的性质,但也会出现“负迁移”,教师要尽可能引导学生举出一些反例来澄清认识,让学生体会向量数量积运算与数的乘法运算的差异.
基于以上分析,本节课的教学难点是:(1)向量数量积概念的形成过程;(2)向量投影的概念和投影向量的意义;(3)向量数量积运算的运算性质.
教学中,通过创设物理情境,以问题为引导,通过不断的类比抽象得到数量积的概念,再创设特定的数学情境,引出投影向量,并让学生通过两个活动得到投影和投影向量的表示,让学生体会投影向量和数量积的联系,举出反例,让学生体会向量数量积运算与数的乘法运算的差异.这些都是突破难点的支撑条件.
     四、教学支持条件分析
     为加强学生对投影向量的几何直观了解,可以利用信息技术展示不同夹角对应的投影向量,帮助学生理解向量投影的概念和夹角的大小对投影向量的影响.

  • 教学设计过程
第一课时
引言:我们学习了平面向量的加法、减法、数乘运算,积累了一些关于向量运算的学习经验,你能以向量加法运算为例,总结一下我们是如何研究向量运算的吗?
师生活动:师生回顾总结向量加法的学习过程:先借助物理中位移的合成引入向量的加法定义及三角形法则,借助力的合成引入向量加法的平行四边形法则,然后探讨了向量加法运算的几何性质和运算律,最后研究了向量加法的简单应用.
设计意图:总结归纳向量加法运算的研究路径,得到研究数学运算的一般方法:情境—明确运算对象—定义运算法则—讨论运算性质—运算的简单应用.为本节课学习向量的数量积运算做好铺垫.
问题1:类比数的运算,你认为我们还可以研究向量之间的哪些运算?
生:向量的乘法.
设计意图:类比数的运算引入本节课的课题.
问题2:物理中有没有矢量与矢量相乘呢?
师生活动:学生回忆物理中有关矢量的运算,发现物理中的功是矢量与矢量相乘的结果.教师创设以下情境:
(一)创设物理情境,引入背景
如图小车在力F的作用下移动了一段位移是S,力和位移的夹角为θ,从物理的角度来看其实质是什么?
生:W=|F||S|cos
(二)分析背景,抽象对象
追问:功是由力和位移这两个矢量通过乘法运算得到的一个标量,如果去掉这两个量的物理属性,我们能不能抽象出向量的另一种运算呢?
师生活动:借助功的计算公式,教师引导学生将物理中的力和位移这两个矢量抽象为数学中的向量,功这个标量抽象为数学中的数量,矢量的夹角抽象为向量的夹角,这样就可以定义向量与向量的乘法.
设计意图:通过创设物理情境,抽象物理对象,让学生体会数学概念的生成过程,培养学生数学抽象素养.
(三)类比抽象,生成定义
问题3:类比物理中力与位移的夹角,你能给出两个向量夹角的定义吗?夹角的取值范围又是什么?
师生活动:教师鼓励学生独立思考,大胆发言,引导学生用数学语言准确表达概念.借助信息技术展示两个向量夹角大小的变化过程,得到向量夹角的范围,并指出特殊夹角时,两个向量的位置关系.
已知非零向量,是平面上的任意一点,作叫做向量的夹角。
显然,当时,同向,当时,反向,当时,我们说垂直,记作.
设计意图:让学生尝试给出两个向量夹角的定义,培养学生的数学表达能力,学会用数学语言表达世界,同时也培养学生数学抽象素养.
a703d18dc5128497f014f0053b42dc1牛刀小试:已知为等边三角形,则
(1)的夹角为       .    
(2)的夹角为       .      
设计意图:通过两个小练习,加深对向量夹角的理解,第(2)题是学生的易错题,这里主要提醒学生求向量夹角要将两个向量起点平移到同一点.
问题4类比功的计算公式,你能给出向量数量积的定义吗?
师生活动:借助功的计算公式,通过类比抽象,学生不难得出向量数量积的定义:
已知两个非零向量,它们的夹角为,我们把数量叫做向量的数量积(或内积),记作,即.
设计意图:有了向量夹角的概念,得到数量积的概念自然水到渠成,这里让学生自主给出数量积的概念,让学生体会用数学语言表达概念的过程,增强学生的语言表达能力.
问题5:任意两个向量的数量积都可以用这个公式去计算吗?
追问:该如何定义零向量与其他向量的数量积呢?
师生活动:提醒学生注意到定义只适用于非零向量,而对于零向量的数量积课本有规定:零向量与任一向量的数量积为0.
设计意图:培养学生严谨的思维习惯.
问题6:从结果上看,向量的数量积这种运算和前面的三种向量运算有没有不同之处?其结果由什么决定?
师生活动:学生自主思考,并请学生回答.
设计意图:提醒学生注意向量数量积的结果是数量,不是向量,也正是这点不同,沟通了向量运算与数量之间的关系.其结果由两个向量的长度及夹角决定.
  • 例题互动,深化概念理解
例1 已知根据下列条件,求
(1);    (2);   (3)的夹角为.
变式:练习2中条件不变,若,求的夹角.
师生活动:学生独立完成并请部分学生作答.
设计意图:通过例1及变式,加深学生对数量积概念的的理解,理解数量积、长度、夹角之间的关系,体会知三求一的方程思想,培养学生数学运算素养.
  • 创设数学情境,发现投影向量
例2在等边三角形中,的中点,为线段上一点,
  1. 重合,求;
  2. ,求;
  3. ,求;
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变式:若为线段上任一点,结果又如何?
师生活动:学生独立完成例2(1)-(3),教师请部分学生回答,提出疑问,提出变式.变式由于夹角不好求,大部分学生会遇到困难,此时教师适时引导学生结合几何图形,从“形”的角度分析得到,再引导学生观察发现,同向,故.也就是说向量的数量积等于向量的数量积.教师从物理背景出发,给出解释:力对物体所做的功实际上是力在位移上分力所做的功.类比到数学中,我们可以说向量的数量积等于向量在向量上的“分向量”与向量的数量积.这样学生从的几何意义和物理背景两个角度关注到了向量.在数学中我们称向量为投影向量.这样就顺利地引入可投影向量的概念.
设计意图:通过三组数量积相等,引发学生思考,提出变式,引导学生从“形”的角度分析,发现投影向量,突破难点.让学生体会数形结合的思想方法.同时也培养学生数学抽象、逻辑推理素养.
  • 借助几何直观,探究投影向量
学生活动一:参照力在位移方向上分力的作图方法,做出方向上的投影向量.
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师生活动:展示部分学生的成果,并请学生叙述作图过程,得到投影概念.
是两个非零向量,我们考虑如下变换:过的起点和终点,分别做所在直线的垂线,垂足分别为,得到,我们称上述变换为向量向向量投影,叫做向量在向量上的投影向量.
设计意图:让学生通过动手作图,发展直观想象的核心素养,并且通过对作图过程的描述,引导学生得到投影和投影向量概念,培养学生科学、严谨地用数学语言科表达的能力。
学生活动二:小组讨论,合作交流
分析投影向量的方向和大小

范围
作图 微信图片_20210605203748 2 3 5 4
投影向量方向          
投影向量的长度          
投影向量          
师生活动:结合表格,教师先以向量夹角为锐角为例,引导学生推出投影向量的方向和长度,进而得到投影向量代数表示,其中是与同向的单位向量,剩余的四种情形让学生进行小组交流,然后教师展示部分学生成果,并用几何画板演示向量夹角变化时,方向上的投影向量及夹角大小对投影向量的影响,最后师生一起归纳得到投影向量向量的表达式.有了投影向量,,这样我们就将两个不共线的向量的数量积转化为了两个共线向量的数量积,实现了“降维”的目的,这也是投影向量的意义所在.
设计意图:小组讨论,合作交流,增强学习氛围,让学生从“形”和“数”两个角度研究投影向量,得到投影向量的代数表示,不但加深了对投影向量的理解,同时也发展了学生直观想象和逻辑推理素养。
  • 沉淀反思 课堂小结
  1. 回顾并叙述得出数量积定义的研究思路,在这个过程中,你有哪些收获?
  2. 计算数量积的方法有哪些?通过本节课的学习,你认为可以解决哪些与向量有关的问题。
设计意图:以提纲的形式帮助学生回顾本节课的研究思路、基本知识和基本方法,让学生感悟数形结合、类比推理、分类讨论等数学思想在研究数学中的作用,同时也帮助学生养成总结反思的习惯。
(八)布置作业
1.课后作业:课本P20第1、2题;
2.课后思考:类比数的乘法运算,猜想并证明数量积的运算律,并思考它与数的乘法运算律有哪些区别.
设计意图:课后作业是为了考查学生对平面向量数量积、投影向量的掌握.课后反思为下节课研究数量积的运算律做铺垫.
第二课时
  • 创设情境,探讨数量积运算性质
问题1 当一个向量为特殊向量时,两个向量的数量积有怎样的特殊性?
师生活动:先引导学生回顾所学特殊向量,然后由学生自主得出数量积运算性质:
(1).
设计意图:引导学生将向量特殊化得到数量积的性质,让学生了解性质的由来.
问题2 当两个向量的位置关系特殊时,它们的数量积有怎样的特殊性?
师生活动:教师提问学生两个向量的特殊位置关系有哪些,然后由学生自主探究得出数量积运算性质:(2);这里教师提出问题:此结论反之成立吗?引导学生探究得出当时,有,故反之不一定成立,但当为非零向量时,有.(3)当同向时,;当反向时,,特别地,或.这里教师需要指出是计算向量模长的重要公式,即模方公式.
设计意图:让学生进一步理解向量的数量积由两个向量的模长和夹角的余弦值共同决定,并理解两个向量的垂直关系。
问题3 为非零向量,有怎样的大小关系?
师生活动:引导学生得到.
设计意图:帮助学生理解两个向量数量积的绝对值与这两个向量模长乘积的关系.
(二)探究数量积运算的运算律
与向量的线性运算一样,定义了向量的数量积后,就要研究数量积运算是否满足一些运算律.类比数的乘法运算律,结合向量的线性运算律,请你猜想数量积有哪些运算律?
师生活动:先让学生类比数的乘法运算律,结合向量的线性运算律猜想数量积的运算律,然后让学生自主思考,如何验证.对于交换律和与数乘的结合律,学生不难证明,但对于分配律的证明,学生有一定的困难,这里教师要引导学生运用向量投影来证明,关键是要引导学生得出向量在向量上的投影向量等于向量在向量上的投影向量的和.为了说明这一点,关键是证明,利用这一等式学生能方便地证明结论.在这个过程中难点是构造图形,教师可以让学生先自主动手画草图,再借助几何画板画板画出不同情形的辅助图形,帮助学生直观认识投影向量的关系.对于结合律的验证,学生不难得出是不满足的,此处更重要的是要提醒学生类比推理是一种很好发现规律的方法,但一定要加以验证,类比得出的结论不一定正确.
设计意图:学生类比数的乘法运算律,结合向量的线性运算律猜想数量积的运算律,并借助数量积的定义和向量投影加以验证,帮助学生积累研究运算律的经验,提升直观想象、逻辑推理素养.
(三)典例分析
1 我们知道,对于任意,恒有
.
对任意向量,是否也有下面类似的结论?
(1)
(2).
设计意图:运用向量数量积的分配律推导出以上结论,这些结论与实数中的结论类似.
2 已知的夹角为,求.
变式1 上述条件不变,求.
变式2 上述条件不变,求向量的夹角.
设计意图:例2及其变式都是向量数量积及其运算律的综合应用,旨在培养学生数学运算素养.
3 已知,且不共线,当为何值时,向量互相垂直?
设计意图:理解两个向量的垂直关系,能借助向量数量积解决向量垂直问题.
(四)沉淀反思 课堂小结
(1)本节课研究了平面向量的哪些性质和运算律,是通过什么方式进行研究的?
 
(2)通过本节课的学习,你认为可以解决哪些与向量有关的问题。
设计意图:以提纲的形式帮助学生回顾本节课的研究思路、基本知识和基本方法,让学生感悟数形结合、类比推理等数学思想在研究数学中的作用,同时也帮助学生养成总结反思的习惯。
(五)布置作业
教科书P22练习 1、2、3;习题6.2 18、20
 

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