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视频课题：新教材人教A版高中数学必修第二册（省优质课）6.2.4平面向量数量积教学设计2课时 (1)
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6.2.4平面向量数量积教学设计2课时 (1)
6.2.4 向量的数量积
一、内容和内容解析
1.内容
平面向量数量积的概念；投影向量的概念及其意义；平面向量数量积的性质及运算律.本小节计划用2课时，第一课时：数量积的概念、投影的概念和投影向量的意义；第二课时：平面向量数量积的性质及运算律.
2.内容解析
本小节是2019年人教A版必修第二册第六章第二单元的第四小节，是在学生已经学习了平面向量的概念和线性运算的基础上再来探究平面向量数量积运算，向量的数量积运算是向量的核心运算.
第一课时以物理中力做功为背景，通过类比抽象得到平面向量夹角和数量积的概念，通过创设数学情境，类比力在位移方向上的分力，引出投影向量，通过几何直观让学生探究投影向量的方向和长度，归纳出投影向量的代数表示，最后引导学生探究了投影向量和数量积的联系，这也是投影向量的意义。
第二课时以问题为导向，引导学生将数量积公式中的向量特殊化、夹角特殊化得到向量数量积的有关性质，并类比数的乘法运算律，结合向量的线性运算律，让学生猜想数量积的运算律，并加以验证，得到数量积运算的交换律、与数乘的结合律、分配律.
综上所述，确定本节课的教学重点：平面向量数量积的概念与投影向量.；平面向量数量积的性质及运算律.
二、教学目标
1.目标
（1）理解平面向量数量积的概念及其物理意义；会计算平面向量数量积；
（2）通过几何直观，了解平面向量投影的概念和投影向量的意义.
（3）理解平面向量数量积的性质及运算律.
2.目标解析
达成上述目标的标志是：
（1）学生能从物理中力做功的实例抽象出向量夹角和平面向量数量积的概念，体会数学概念的生成过程，感悟数学抽象、逻辑推理等数学思想的作用；会计算平面向量数量积，知道它的结果是数量；能描述平面向量的数量积、长度、夹角之间的关系.
（2）能结合具体例子画图解释一个向量向另一个向量上的投影向量，知道两个向量的夹角的大小对投影向量的影响；知道平面向量投影与平面向量数量积之间的关系，体会平面向量投影是构建高维空间与低维空间之间联系的桥梁.
（3）能借助向量投影说明数量积的运算性质，区分平面向量数量积与实数的积的不同含义.
三、教学问题诊断分析
学生已经学习了平面向量的加法、减法、数乘运算，有了一些研究平面向量运算的经验，积累了一些从简单的物理背景抽象出数学概念的能力，另外学生已经具备了一定观察问题、分析问题的能力，这些都是学习本节课的基础。
但在概念课中，学生自主构建概念的意识还不强，自主探究的能力还不够。向量的线性运算既是基础也是思维定式，其运算过程和结果可能对学生理解数量积产生一定的干扰，因为数量积的运算结果是数量，不是向量，运算不封闭，学生是首次遇到，对于知识同化与心理顺应可能有一定的障碍和困难.对投影和投影向量的理解也将是本节课的难点.
平面向量数量积是从物理中功的实例抽象出来的，并且借助了几何直观探究了向量投影概念和投影向量，所以学生原有的物理学习、几何学习的差异也会直接影响他们对于平面向量数量积的学习。另外，在探究向量数量积的运算性质时，与实数的乘法运算性质进行了类比，学生容易联想到向量的数量积运算有类似的性质，但也会出现“负迁移”，教师要尽可能引导学生举出一些反例来澄清认识，让学生体会向量数量积运算与数的乘法运算的差异.
基于以上分析，本节课的教学难点是：（1）向量数量积概念的形成过程；（2）向量投影的概念和投影向量的意义;（3）向量数量积运算的运算性质.
教学中，通过创设物理情境，以问题为引导，通过不断的类比抽象得到数量积的概念，再创设特定的数学情境，引出投影向量，并让学生通过两个活动得到投影和投影向量的表示，让学生体会投影向量和数量积的联系，举出反例，让学生体会向量数量积运算与数的乘法运算的差异.这些都是突破难点的支撑条件.
四、教学支持条件分析
为加强学生对投影向量的几何直观了解，可以利用信息技术展示不同夹角对应的投影向量，帮助学生理解向量投影的概念和夹角的大小对投影向量的影响.
师生活动：学生回忆物理中有关矢量的运算，发现物理中的功是矢量与矢量相乘的结果.教师创设以下情境：
,
，
是平面上的任意一点，作
，
则
叫做向量与的夹角。
时，与同向，当
时，与反向，当
时，我们说与垂直，记作
.
牛刀小试：已知
为等边三角形，则
与
的夹角为 ． 与
的夹角为 ． 与，它们的夹角为
，我们把数量
叫做向量与的数量积（或内积），记作
，即
.
根据下列条件，求
; （2）; （3）与的夹角为
.
，求
的夹角.
中，
，
为
的中点，
为线段
上一点，与
重合,求
;
,求;
，求;
为线段上任一点，结果又如何？
，再引导学生观察发现，
与同向，故
.也就是说向量
与的数量积等于向量与的数量积.教师从物理背景出发，给出解释：力对物体所做的功实际上是力在位移上分力所做的功.类比到数学中，我们可以说向量与的数量积等于向量在向量上的“分向量”与向量的数量积.这样学生从
的几何意义和物理背景两个角度关注到了向量.在数学中我们称向量为投影向量.这样就顺利地引入可投影向量的概念.在方向上的投影向量.
是两个非零向量，我们考虑如下变换：过的起点
和终点
，分别做
所在直线的垂线，垂足分别为
，得到
，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量.|
的 范围 |
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 |
|
 |
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| 作图 |
 |
 |
 |
 |
 |
| 投影向量方向 | |||||
| 投影向量的长度 | |||||
| 投影向量 |
代数表示
，其中
是与同向的单位向量，剩余的四种情形让学生进行小组交流，然后教师展示部分学生成果，并用几何画板演示向量夹角变化时，在
方向上的投影向量及夹角大小对投影向量的影响，最后师生一起归纳得到投影向量向量的表达式
.有了投影向量，
,这样我们就将两个不共线的向量的数量积转化为了两个共线向量的数量积，实现了“降维”的目的，这也是投影向量的意义所在.
.
；这里教师提出问题：此结论反之成立吗？引导学生探究得出当
时，有
或
或
，故反之不一定成立，但当为非零向量时，有
.（3）当
与
同向时，
；当
与反向时，
，特别地
，或
.这里教师需要指出
是计算向量模长的重要公式，即模方公式.为非零向量，
与
有怎样的大小关系？
.
师生活动：先让学生类比数的乘法运算律，结合向量的线性运算律猜想数量积的运算律，然后让学生自主思考，如何验证.对于交换律和与数乘的结合律，学生不难证明，但对于分配律的证明，学生有一定的困难，这里教师要引导学生运用向量投影来证明，关键是要引导学生得出向量
在向量
上的投影向量等于向量在向量上的投影向量的和.为了说明这一点，关键是证明
,利用这一等式学生能方便地证明结论.在这个过程中难点是构造图形，教师可以让学生先自主动手画草图，再借助几何画板画板画出不同情形的辅助图形，帮助学生直观认识投影向量的关系.对于结合律的验证，学生不难得出是不满足的，此处更重要的是要提醒学生类比推理是一种很好发现规律的方法，但一定要加以验证，类比得出的结论不一定正确.
,恒有
，
.，是否也有下面类似的结论？
；
.
，
，与的夹角为
，求
.
.
与的夹角.
，
，且与不共线，当
为何值时，向量
与
互相垂直？视频来源：优质课网 www.youzhik.com
