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视频课题：新教材人教A版高中数学必修第二册（省优质课）6.3 平面向量基本定理及坐标表示单元设计
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新教材人教A版高中数学必修第二册（省优质课）6.3 平面向量基本定理及坐标表示单元设计
6.3 平面向量基本定理及坐标表示单元设计
【内容和内容解析】
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内容
6.3.1 平面向量基本定理；6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示；6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示；6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示；6.3.5 平面向量数量积的坐标表示.
本单元的知识框图如下：
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内容解析
本单元通过力的分解引出平面向量基本定理，给出平面向量基本定理的证明，运用平面向量基本定理解决简单问题；然后，通过平面向量基本定理引出向量的正交分解，借助平面直角坐标系，给出向量的坐标表示；最后，介绍向量的加减运算、数乘运算、数量积的坐标表示，并用坐标表示两个向量共线、向量垂直的条件及两个向量的夹角.平面向量基本定理表明任何一个平面向量
都可以唯一地表示成两个不共线向量
的线性组合，即
，特殊地，当
时，则为正交分解，进而可以借助直角坐标系，用坐标表示向量
，建立平面向量与有序数对的对应，引出平面向量的坐标表示．进一步地，考虑向量运算的坐标表示，即设
，
，则
，可以将向量的运算归结为向量坐标的运算，从而实现向量运算的完全数量化.
本单元蕴含的数学思想和方法：
（1）数形结合的思想.体现在：
平面向量基本定理是对平面内向量的一个基础性、结构性的认识：给定一个点A，以及两个不平行的向量
，则
可以刻画平面上任意的点P，通过向量的运算，平面上的点P就可以成为“可操纵”的对象．这是用“数”的运算处理“形”的问题，体现了数形结合的思想方法．
（2）转化与化归的思想.体现在：
通过平面向量基本定理，平面内的任一向量都可以用平面内的一组基底表示，因而向量的运算可以转化为两个基向量的运算，使问题得以程序化.
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类比的思想.体现在：
类比共线向量定理，发现平面向量基本定理，类比平面向量加法的坐标表示，探索平面向量减法、数乘、数量积的坐标表示，体会类比思想在归纳、发现新的数学研究对象中的作用.
（4）抽象概括的方法.具体说有以下两点：
①定理得出的抽象过程：物理背景——图形——文字——符号；
②定理应用中的抽象过程：用向量表示几何问题，结合向量运算，最后将向量问题翻译成几何问题．
（5）以简驭繁的方法.
平面向量基本定理的学习很好地示范了化繁为简地思考问题的方法，实现了将无限多个平面向量有序表达的目的.
本单元知识结构：
推广
“平面向量基本定理”的内容和应用，是研究向量的正交分解和向量的坐标运算的基础；向量的几何表示与运算是向量的坐标表示与运算的平行概念.因此，本单元的上位知识是平面向量的概念、表示与运算法则，下位知识是平面向量基本定理，平面向量的坐标表示，平面向量运算的坐标表示.本单元上承：平面向量的运算及共线向量定理；下启：用向量方法解决数学和实际问题，空间向量基本定理及坐标表示.
育人价值：
本单元是学生第一次经历系统地进行理论知识的探究，发现和归纳平面向量基本定理，实现向量运算完全数量化，是对第二单元共线向量定理的深化，也为研究空间向量基本定理及坐标表示铺平了道路.平面向量基本定理实现了将无数个向量有序表达的目的，有助于培养学生数学地思考问题，能抓住纷繁复杂事物中的关键要素，善于发现事物的本质、关系和规律，精中求简、以简驭繁，能在一般观念指导下思考和解决问题，发挥数学在形成人的理性思维、科学精神和促进人的智力发展中的独特作用.
基于以上分析，可以确定本单元的教学重点：平面向量基本定理；平面向量运算的坐标表示．
【目标和目标解析】
1.单元目标
（1）理解平面向量基本定理及其意义．
（2）掌握平面向量的正交分解及坐标表示．
（3）理解平面向量线性运算与数量积的坐标表示．
（4）理解平面向量的夹角．
（5）理解平面向量共线、垂直的条件.
2.目标解析
（1）类比力的合成与分解，探索平面向量基本定理，能解释定理的条件与结论的关系、定理的存在性和唯一性以及基底的不唯一性；能用两个不共线的向量表示一个向量，或将一个向量分解为两个向量；能应用平面向量基本定理解决一些简单问题．
（2）能分析平面向量的正交分解与平面向量基本定理的内在联系，能熟练地选择正交基底，通过建立直角坐标系，将向量进行坐标表示．
（3）能在平面向量坐标表示的基础上，得出坐标表示的平面向量的线性运算与数量积运算，会进行坐标表示的平面向量的线性运算与数量积运算．
（4）能描述两个平面向量的夹角的含义，能用平面向量的数量积表示两个平面向量的夹角公式，会求两个平面向量的夹角．
（5）能用坐标表示的平面向量的数乘运算解释向量共线的条件，并会用其判断两个向量是否共线；能用坐标表示的平面向量的数量积解释向量垂直的条件，并会用其判断两个向量是否垂直；体会数与形的完美结合．
【教学问题诊断分析】
在本单元之前学生已经学习了向量的概念以及向量的运算，但在学习平面向量基本定理时仍然会遇到很大的困难，主要体现在三方面：
其一，位于同一直线上的向量可以由位于这条直线上的一个非零向量表示．类似地，平面内任一向量是否可以由同一平面内的两个不共线向量表示呢？这是学习障碍之一，首先，这个问题的提出就不容易，其次，从一维数轴到二维坐标平面，是思维的一个跨越，解决这个问题，可以借助物理中力的分解与合成．
其二，任何一个向量都可以唯一表示成
，这涉及对“存在性和唯一性”的认识，对思维要求较高．解决这个问题，可以从两方面入手，一是借助信息技术，动态表示
；另一方面需对唯一性给出严格的证明．
其三，用向量方法解决几何问题时，先要用基底表示其他相关向量，进而通过向量运算解决问题，这是一个全新的方法．解决这个问题，需多加练习，做到熟能生巧．
由此，可以确定本单元的教学难点是：平面向量基本定理，用平面向量基本定理解决有关问题．
【教学支持条件分析】
为更好地理解平面向量基本定理，特别是对定理的存在性与唯一性的认识以及基底的不唯一性，可以借助信息技术工具GeoGebra软件动态演示向量
的分解过程
，帮助学生深入理解概念．在学生自主探究平面向量模长、夹角、垂直的公式的过程中，借助实物投影仪展示学生的讨论结果，提高课堂学习效率.
6.3.1平面向量基本定理
安庆市石化第一中学 何巧连
【内容和内容解析】
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内容
平面向量基本定理.
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内容解析
本节内容选自《普通高中课程标准数学教科书》（人教A版）必修第二册第六章《平面向量及其应用》第三节的第一课时.是在学生学习了平面向量的概念、运算、共线向量定理之后的又一重点内容,它既是共线向量定理的推广，也是平面向量正交分解、将向量运算转化为坐标运算的基础，同时还为今后进一步学习空间向量基本定理积累了经验，具有承前启后的作用.
知识技能方面，它揭示了平面向量之间的基本关系，是利用向量解决问题的基本手段，有着广泛的应用.由平面向量基本定理，可以进一步实现向量的坐标表示，即实现向量的代数表示，从而实现向量运算完全代数化，进而体现向量的工具作用.
思想方法方面，平面向量基本定理的探索过程中蕴含着转化化归和数形结合的数学思想.本节课的学习很好地示范了以简驭繁思考问题的方法，实现了将无限多个平面向量有序表达的目的，有助于培养学生的数学抽象、逻辑推理、数学运算等数学学科核心素养.
基于以上分析，可以确定本节课的教学重点：平面向量基本定理，定理的发现和证明过程.
【目标和目标解析】
1.目标
（1）理解平面向量基本定理及其意义；
（2）会用平面向量基本定理解决简单平面几何问题，掌握用基向量表示平面上的任一向量.
2.目标解析
达成上述目标的标志：
（1）经历平面向量基本定理的探索过程，体会由力的分解到向量的分解的过程，感悟数学抽象、逻辑推理等数学思想的作用；通过证明平面向量基本定理理解定理，体会定理的重要性及其意义，增强对数学思维方法的理解.
（2）通过选择基底表示平面内的一些向量，解决简单的平面几何问题，体会向量法在解决平面几何问题中的作用和基本步骤.
【教学问题诊断分析】
虽然本节课之前学生已经学习了平面向量的基本概念、基本运算及共线向量定理，为本节课的学习奠定了知识基础，但，学生对向量之间关系的认识还只是停留在“一维”层面，包括“相等向量”“相反向量”“共线向量”等，而平面向量基本定理揭示的是“二维”层面的平面内向量之间的关系，要实现这种认识层级的跃迁，对学生有一定难度.另外，如果说由力的分解的物理模型想到向量的分解是第一次抽象，那么，由向量的分解想到任意一个向量都可以用一对不共线的向量，经过线性运算加以表示是第二次抽象，也是认识上的一种飞跃，这都会给学生造成认知上的困难.再有，平面向量基本定理中的“不共线”“任一”“有且只有”等数学专用语对一些学生会构成理解障碍.由此可以确定本节课的教学难点是平面向量基本定理的发现过程和对定理的证明.
平面向量基本定理的发现过程的教学，对学生数学抽象、逻辑推理等数学学科核心素养的培养至关重要.为克服以上教学难点，教学过程中要注意引导学生积极参与定理形成的探索过程，通过多举实例，从力的分解等学生熟悉的背景，带领学生去归纳、发现定理；利用信息技术工具等具体形象的教学手段进行直观阐释、辨析，帮助学生理解定理.引导学生从事观察、思考、归纳、类比、交流等数学活动，经历从具体到抽象，从特殊到一般的思维过程，获得数学思考的方式与方法.
【教学支持条件分析】
在平面向量基本定理的发现过程中，利用GeoGebra软件展示向量分解的动态过程，在此基础上，首先固定基底，改变要表示的向量，观察系数的变化及取值的确定性，帮助学生理解定理的存在性和唯一性，然后移动基底，观察同一个向量分解过程的变化，帮助学生理解定理中基底所需满足的条件及基底的不唯一性.
【教学过程设计】
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教学流程 |
教师活动 |
学生活动 |
设计意图 |
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（一）直面问题，引入新课 |
平面内，因大小或方向不同，产生了无数个向量，能不能通过对有限个向量的讨论来表达平面内所有向量之间的关系和运算呢？这就是我们本节课学习的内容-----平面向量基本定理. |
思考顿悟 |
阐明意图，引入新课 |
（二）合作探究，发现定理 |
问题1：求作力 的合力.
问题2：求作力F在水平方向和竖直方向的分力.
问题3：如图，向量 与 不共线，能否在直线OA、OB上分别找一点M、N，使 ？
问题4：在上图中，设
，则向量 分别与 ， 的关系如何？从而向量 与向量,的关系式如何？
问题5：如图，向量 也能由向量,
表示出来吗？请动手作图试试，并填空.
问题6:平面内任一向量，是否都可以用平面内两个不共线的向量,表示？又如何表示？你能受刚刚的启发分析一下吗？
动画演示：利用多媒体动画演示向量的分解过程. |
动手操作
师生合作
直观感知
讨论探究 |
问题1和问题2由熟悉的力的合成和力的分解过程的回顾启发学生得到问题3中向量的分解的思路.
问题4继续追问，引导学生得出定理的一般形式.
问题5通过学生反复动手作图感悟不同方向的向量的分解过程，为问题6中一般向量的分解埋下伏笔，利用图形培养学生直观想象的核心素养.
问题6引导学生由特殊到一般，抽象归纳出一般向量的分解，培养学生数学抽象、逻辑推理的核心素养.
六个问题题环环相扣，逐步递进，不断分解难点，一步步引导学生发现“定理”.
动画演示向量的分解过程，引导学生“感悟”定理. |
（三）归纳总结，形成规律
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问题7：若上述向量，，都为给定向量，则系数 唯一确定？请证明你的结论.
问题8：你能由此得出什么结论呢？请归纳总结.
平面向量基本定理：
如果 是平面内两个不共线向量，那么对于同一平面内的任一向量 ，有且只有一对实数 ，使得
基底：这里不共线的向量叫做这一平面内所有向量的一组基底.
问题9：基底有什么要求？同一平面内，基底唯一吗？
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讨论交流
推理证明
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问题7巩固反证法的证明思想，培养学生数学运算、逻辑推理的核心素养.
问题8将直观感受转化为文本知识，突出定理的“存在性”和“唯一性”，培养学生数学抽象的核心素养.
经历定理的发现、证明的全过程，引导学生感悟联想、类比、抽象、概括等重要的数学学习方式. |
（四）学以致用，巩固新知
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例1:在 中， 
,点 分别是 的中点，连接 并延长到点 ，使得 .设 .
(1)用 表示 ；
(2)判断 有什么关系，并用向量方法证明；
(3)求 . |
讨论交流
师生合作 |
例题教学，巩固平面向量基本定理,引导学生体会定理的基础性地位，感悟从无序到有序、化繁为简的思考问题的方法. |
（五）总结整理，
提高认识 |
本节课你学习了哪些知识？又掌握了哪些思想方法？ |
回顾小结 |
从知识要点和思想方法两方面对课堂教学进行小结，将课堂所学知识内化为学生的基本素养. |
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（六）布置作业 |
巩固作业：习题6.3:第1题,第11题
拓展作业：已知 是边长为2的等边三角形，点D,E分别是AB,BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE=3EF.
（1）用 表示 ；
（2）求 . |
课后巩固 |
布置作业，巩固所学知识。 |
视频来源：优质课网 www.youzhik.com
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