新教材人教A版高中数学必修第二册（省优质课）6.3.5 平面向量数量积的坐标表示

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新教材人教A版高中数学必修第二册（省优质课）6.3.5 平面向量数量积的坐标表示

6.3.5平面向量数量积的坐标表示
【内容和内容解析】

内容

平面向量数量积的坐标表示.

内容解析

本节内容选自《普通高中课程标准数学教科书》（人教A版）必修第二册第六章《平面向量及其应用》第三节的第四课时.是在平面向量的坐标表示以及平面向量的数量积及运算律的基础上展开的，介绍了平面向量数量积的坐标表示、平面内两点间的距离公式、两个平面向量的夹角的坐标表示和向量垂直的坐标表示的充要条件.向量的数量积体现了向量的长度和角度之间的一种关系，特别是用向量的数量积能有效地解决线段垂直问题，把向量的数量积应用到三角形中，还能解决三角形边角之间的有关问题，而平面向量数量积的坐标表示，就是运用坐标这一量化工具表达向量的数量积运算，为研究平面中的距离、垂直、角度等问题提供了全新的手段，它把向量的数量积与坐标运算两个知识点紧密联系起来，是本章的重要内容.
基于以上分析，可以确定本节课的教学重点：掌握平面向量数量积的坐标表示，并能用坐标形式处理有关长度、角度和垂直的问题.
【目标和目标解析】
1.目标
（1）理解、掌握平面向量数量积的坐标表示，会进行数量积的坐标运算；
（2）理解、掌握平面向量的模、夹角等公式，能够用平面向量的数量积处理有关长度、角度和垂直的问题.
2.目标解析
达成上述目标的标志：
（1）经历根据平面向量数量积的意义探究其坐标表示的过程，体验在此基础上探究发现向量的模、夹角等重要的度量公式的成功乐趣，培养学生的探究能力、创新精神；
（2）通过对向量平行与垂直的充要条件的坐标表示的类比，教给了学生类比联想的记忆方法.
【教学问题诊断分析】
虽然本节课之前学生已学习了平面向量的坐标表示和平面向量数量积的概念及运算，但数量积是用长度和夹角这两个概念来表示的，应用起来不太方便，如何用坐标这一最基本、最常用的工具来表示数量积，使之应用更方便，就是摆在学生面前的一个亟待解决的问题.因此，本节内容的学习是学生认知发展和知识构建的一个合情、合理的“生长点”.从知识的接受上，学生并不困难，也能理解各个公式的坐标表示，所以，本节课采取以学生自主完成为主，教师查漏补缺的教学方法展开教学.然而，学生对如何将问题转化为用向量方法求解存在思维障碍，本节课的难点是学会将问题转化为向量的数量积问题，体会转化与化归的数学思想.
【教学支持条件分析】
在学生自主探究平面向量模长、夹角、垂直的公式的过程中，展示学生的讨论结果，帮助学生阐释结论的推导过程.
【教学过程设计】

教学流程	教师活动	学生活动	设计意图
（一）复习引入，温故知新	复习：平面向量线性运算的坐标表示，设,，则，，，那么=？	复习回顾	由旧知识入手，引导学生复习已学过的知识，以便向新知识进行探索.
（二）合作学习，探究新知	探究1：已知两个非零向量，，怎样用与的坐标来表示呢？设向量分别为平面直角坐标系的轴、轴上的单位向量，则有， ∴ 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和. 探究2：问题1：回忆向量的数量积有哪些性质？问题2：已知，，则以上性质形式如何？，同理，问题3：设,，则的模如何计算？，	动手演算合作交流讨论交流	先让学生自主推导平面向量数量积的坐标表示形式，体会知识的形成过程，然后解释推导的过程，分享学习的成果，构建和谐的学习氛围. 探究2引导学生归纳出坐标表示的性质，让学生构建完整的知识系统，充分展现师生互动. 问题3完备向量的模长公式，总结出两点间的距离公式.
（三）学以致用，巩固新知	例6：已知，求，，与的夹角. 例7：已知，，，试判断的形状，并给出证明. 解：是直角三角形. 证明如下： ∵ ， ∴ ∴ 探究：用向量的方法来推导两角差的余弦公式思考1：结合图形，应该选择哪几个向量，它们是怎样表示的？思考2：怎样利用向量的方法得到探索结果？思考3：与之间有什么关系？	积极思考交流思路师生合作积极思考	例6巩固本节所学基本公式. 例7先放手让学生自主探索，交流思路，让学生体会分类讨论的思维方式.再让学生画出简图，直观感知三角形的形状，然后引导学生分析解答.注重培养学生由观察——猜测——证明的思维方法. 探究的设置旨在让学生体会用向量方法解决问题的简洁性，感受向量的工具作用.
（四）总结整理，提高认识	本节课你学习了哪些知识？又掌握了哪些思想方法？	归纳小结	从知识要点和思想方法两方面对课堂教学进行小结，使学生对所学知识有一个完整的印象，使知识系统化、条理化.
（五）布置作业	巩固作业：练习1,2,3 拓展作业：习题6.3第15、16题	课后巩固	布置作业，巩固所学知识.

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