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视频课题：新教材人教A版高中数学必修第二册（省优质课）6.4.1 平面几何中的向量方法
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新教材人教A版高中数学必修第二册（省优质课）6.4.1 平面几何中的向量方法
6.4.1平面几何中的向量方法
教学设计
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内容
平面几何中的向量方法.
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内容解析
前面我们学习了平面向量的概念和运算，并通过平面向量基本
定理，把向量的运算转化为实数的运算。向量具有明确的几何背景，由此可以想到利用向量解决一些简单的平面几何问题，感受向量在解决数学问题中的作用.
二、教学目标
1. 会用向量方法解决某些简单的平面几何问题，体会用向量解决平面几何问题的基本思路；
2. 经历用向量解决平面几何问题的基本过程，提升直观想象、数学建模、逻辑推理与数学运算素养，感受向量在解决数学问题中的作用，激发学习兴趣.
三、教学重难点
1.教学重点：用向量方法解决简单几何问题的方法与步骤.
2.教学难点：如何把几何问题转化为向量问题，如何利用向量的运算得到几何问题的结论.
四、教学过程设计
我们知道，数学主要研究几何和代数两大内容，在前面学习中我们引入了一个具有双重身份的“多面手”，它是谁呢？平面向量！今天，我们共同来学习平面向量是如何架起代数与几何这座桥梁的？
（一）问题引入
教师：平面向量是解决数学问题的有力武器，向量的线性运算与数量积运算具有鲜明的几何背景，如何利用向量及其运算表示平面几何图形的相关性质呢？
学生：思考讨论并给予回答.
教师:（总结）平面图形的很多性质如全等、相似、平行、垂直、长度、夹角等都可以由向量的运算表示出来.平面几何的很多问题都可用向量运算的方法加以解决.
用表格的形式呈现平面图形的相关性质与向量及其运算之间的联系。下面通过具体实例，说明向量方法在平面几何中的应用.
例1：如图6.4-1，
是
的中位线，用向量方法证明：
.
师生活动：
(1)回忆初中的证明方法；
(2)在初中证明这个结论需要添加辅助线，有一定的思维难度。那如何利用平面向量这个工具解决这一平面几何问题呢？
本题中需证明的线段DE与BC之间的关系有两层：一是位置上的平行关系，二是数量上的比例关系，说明以上两层几何关系，借助平面向量这个工具，即证明
，降低了添加辅助线的思维难度.具体的证明过程如下：
师生活动：教师引导学生自行总结用向量方法解决平面几何问题的基本思路：先把几何图形中的元素用向量表示，再借助于向量的运算研究图形中几何元素之间的关系，然后把向量运算的结果翻译成平面几何的形式.
用向量法研究平面几何问题的过程可以简单地表述为：
几何图形到向量 恰当的向量运算 向量到几何关系
即用向量方法解决几何问题的“三步曲”：
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建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
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通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；
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把运算结果“翻译”成几何关系.
平行四边形是平面几何中学生熟悉的又一基本图形，它有很多重要的性质.
例2：如图，已知平行四边形
ABCD，你能发现对角线
AC和
BD的长度与两条邻边
AB和
AD的长度之间的关系吗?
师生活动：矩形是特殊的平行四边形，显然在矩形两条对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍.这一结论在平行四边形中是否成立呢？又如何利用上面总结的向量方法总结平面几何问题的基本思路解决这一问题呢？
分析：平行四边形中两条对角线对应的向量恰是两条邻边对应的两个向量的和与差，我们可以通过向量运算来探索它们模之间的关系.
教师给出规范的解题过程.并提出以下思考：
思考1：能用自然语言叙述这个关系式的意义吗？
平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍.
思考2：还可以用什么方法解决该问题呢？
上述方法根据图形的特点选择基底，运用基底运算得出向量的模长，坐标运算是向量运算的另一种常用形式，引导学生加以思考并运用，加强学生在向量学习中的基底意识与坐标意识.
练习 1：用向量法证明平面几何中的勾股定理.
勾股定理是平面几何中一个基本的定理，是数学定理中证明方法最多的定理之一，在平面几何的证明中需要添加辅助线、构造正方形等，不仅复杂且不易想到。运用向量法研究三角形中的性质，体现向量解决平面几何问题的优势，激发学生学习兴趣。
练习 2：课本 39 页的第 2 题.
本题可利用几何法、基底法、坐标法等多种方法加以解决，学生自主完成，通过一题多法，加强学生对平面几何中向量方法的运用与理解.
学生回顾总结本节课的知识点，叙述用向量方法解决几何问题的基本思路，体会其中的数学思想方法.
五、作业布置
（1）课本52页习题 6.4 1,2,3；
（2）用向量法探究“三角形的三条中线相交于一点”.
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