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视频标签：椭圆及其标准方程
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视频课题：人教A版高中选修2-1《椭圆及其标准方程》绵阳
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人教A版高中选修2-1第二章《椭圆及其标准方程》四川省绵阳
2.2.1 椭圆及其标准方程
【教学内容分析】
本节是《椭圆及其标准方程》（第一课时），是圆锥曲线的入门课.在此之前，学生已经学习了直线与圆的方程，对曲线和方程的概念也有了一定的了解，对运用坐标法研究几何问题也有了初步的认识.本节课既是运用坐标法研究曲线的一个实例，又为研究双曲线、抛物线提供了基本模式.因此，这节课具有承前启后的作用.另外，对椭圆的定义与方程的研究，体现了函数与方程、数形结合的重要思想，而这种思想是贯穿于整个高中阶段的数学学习的重要思想.
【学情分析】
知识基础方面，学生已经学习了直线与圆的方程，对曲线和方程的概念也有了一定的了解.能力基础方面，授课学生具有一定的观察和分析能力，对由观察到抽象的数学活动已有一定的体会，对椭圆的定义与方程的探究具有一定的基础.
【教学目标】
-
通过动手实验探究椭圆的定义，掌握椭圆的定义.
-
理解椭圆标准方程的推导过程，能根据条件确定椭圆的标准方程.
【教学重难点】
重点：椭圆的定义及标准方程.
难点：椭圆标准方程的推导.
【设计思路】
本节主要是研究椭圆的定义及其标准方程.以学生自主探究为主，通过课前预习，引导学生独立思考、小组讨论、教师点评，完成椭圆的定义及其标准方程的推导，并设置对应练习进行理解及应用.
【教学流程】
情境引入
知识探究（探究一：椭圆的定义，探究二：椭圆的标准方程）
课堂小结
【教学过程】
一、课前准备
预习课本P38—P42，尝试画出椭圆，给出椭圆的定义，推导椭圆的标准方程.
二、课堂教学
（一）情境引入
我们已经学习了直线与圆的方程，也对曲线与方程的概念有了初步认识，从今天开始我们进入圆锥曲线的学习.首先来看第一种圆锥曲线：椭圆.在我们的日常生活中随处可见椭圆，比如，圆柱形水杯倾斜时的水面，阳光下圆球的影子，太阳系中行星运行的轨迹，等等.那什么是椭圆呢？
古希腊数学家阿波罗尼奥斯采用平面切割圆锥的方法得到了几种曲线：椭圆，抛物线，双曲线，也就是我们现在称的圆锥曲线.我们一起来看（视频）.根据对椭圆的这个认识，能判断某个物体是椭圆吗？显然是难以判断的，因为我们难于将物体放在一个圆锥的曲面上.但是，椭圆不仅存在于圆锥上，更是自然界物体运动的普遍形式.所以，可以从运动的角度定义椭圆.
探究一：椭圆的定义
我们首先来做一个数学实验（学生演示）：(1)取一条细绳；(2)把它的两端都固定在黑板的同一点处；(3)套上粉笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖画出的轨迹是什么？（一个圆）；
-
如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在黑板的两点处套上粉笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是怎样的呢？（椭圆）
思考：(1)在椭圆形成的过程中，细绳的两端位置是固定的还是运动的？说明了什么？
（在椭圆形成的过程中，细绳的两端位置是固定的，可以看作是两个定点.）
(2)在画椭圆的过程中，绳子的长度变了没有？说明了什么？
（在画椭圆的过程中，绳子的长度没有变化.）我们再通过几何画板演示一下刚才的数学实验：点
看作是绳子的两端，点
看作是笔尖.（几何画板演示）可以发现：整个过程中，线段
的长度不停地变化，但是它们的和始终不变.这说明了到两个定点的距离之和等于常数.
我们知道：圆上的点满足到定点的距离等于定长，所以将圆定义为平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹.因为在空间中满足条件的点形成的应该是一个球面，所以圆的定义限定在平面内.根据椭圆上的点满足到两个定点的距离之和等于常数，如何定义椭圆呢？
椭圆的定义：平面内与两个定点
的距离之和等于常数（
）的点的轨迹叫做椭圆.两个定点
叫做椭圆的焦点.两焦点之间的距离叫做焦距.
为什么要规定
？当
或
时，轨迹会是什么呢？
（当
时，轨迹是一条线段，以
为端点的线段；当
时，轨迹不存在.）
椭圆的定义中要注意：(1)平面内；(2)到两个定点的距离之和等于常数；(3)
.
小试牛刀：判断 (正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)已知点
，
，动点
满足
，则点
的轨迹是椭圆.
(2)已知点
，
，动点
满足
，则点
的轨迹是椭圆.
-
已知点，，动点满足
，则点的轨迹是椭圆.
探究二：椭圆的标准方程
研究曲线就要研究曲线的方程.根据椭圆的定义如何求椭圆的方程？请大家回顾求曲线方程的步骤是哪五步？（我们简称：建，设，现（限），代，化.）
第一步，建系：建系的原则是让点的坐标和曲线的方程简单，怎样建系简单？
取过焦点
的直线为
轴，线段
的垂直平分线为
轴，建立平面直角坐标系.
第二步，设点：设
是椭圆上任意一点，椭圆的焦距
，
与
的距离的和等于正常数
，则
的坐标分别是
，
.
第三步，找限制条件：这个问题是什么限制条件呢？
由椭圆的定义得，
.
第四步，代入坐标，得方程：根据两点间距离公式，有
.
第五步，化简：怎样化简？
等式中出现根式，我们一般考虑等式两边平方，但是由于这个等式左边有两个根式，可以考虑先移项后平方.
-
移项：
；
-
平方：
；
-
整理得：
；
-
再平方：
；
-
整理得：
，即
；
-
为了得到更加简洁得方程，由于
，所以可以等式两边同时除以
得：
.
请看图片：你能从图片中找出
对应长的线段吗？
取椭圆与
轴的交点为点
，则
，从而
.
为了得出更加对称的方程形式，在方程
中，令
，且
，则椭圆的方程为
.我们把它称为椭圆的标准方程.
我们把椭圆的焦点放在
轴上，得出椭圆的方程为
.如果把椭圆的焦点放在
轴上建系，又会得出怎样的方程？请大家小组合作讨论得出方程.
容易得出：椭圆的焦点放在
轴上建系，对应的方程是
.
椭圆的标准方程：我们通过把椭圆的焦点分别放在
轴和
轴上建系，得出了椭圆的两种标准方程：
和
.其共同点是：表示焦点在坐标轴上，中心在坐标原点的椭圆，方程的左边是平方和，右边是1.不同点在于：焦点在
轴上的椭圆方程中
项分母较大，焦点在
轴上的椭圆方程中
项分母较大.
小试牛刀：
(1)已知两定点
，动点
满足
，则点
的轨迹方程是________.
(2)已知两定点
，动点
满足
，则点
的轨迹方程是________.
以上我们主要探究了椭圆的定义及标准方程，一起回顾一下：
椭圆的定义是：平面内与两个定点
的距离之和等于常数（
）的点的轨迹叫做椭圆.通过把椭圆的焦点分别放在
轴和
轴上建系，得出了椭圆的两种标准方程：
和
.
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