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视频标签：椭圆及其标准方程
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视频课题：高中数学人教A版选修2-1 2.2.1 椭圆及其标准方程_宜宾
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高中数学人教A版选修2-1 2.2.1 椭圆及其标准方程_宜宾市南溪第一中学校
2.2.1 椭圆及其标准方程导学案
学习目标：
1. 理解椭圆的定义．
2. 会推导椭圆的标准方程．
3. 会根据椭圆的标准方程求a,b,c及焦点，焦距．
学习重点：椭圆的定义和标准方程
学习难点：椭圆标准方程的推导
一．课前准备：
1.圆的定义：平面内，与______的距离等于_____ 的点的轨迹．其中，圆的两要素为______和______．
2.圆的标准方程：________________________________________．
3.求曲线方程的五个步骤分别为：__________，__________，__________，_________，_________．
4.化简下列式子，去掉方程中的根式：
二．合作学习，探究新知.
实验一 画一画：用一块纸板，一条绳子，两颗图钉，一支铅笔，能不能画出椭圆.在这个画图过程中，___________________是不变的，__________________是变化的．
实验二 看一看：观察几何画板画椭圆的过程，椭圆上的动点满足的几何条件：.
（1）
_____；（2）
为________（且________）．
实验结论：
1．椭圆定义：我们把平面内与两个定点
的距离的____等于常数（_____
）的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的________，两焦点间的距离叫做椭圆的________．
2. 常数与
的三种关系：（1） 常数>︱F1F2︱ 动点轨迹是__________
(2) 常数=︱F1F2︱ 动点轨迹是__________
(3) 常数<︱F1F2︱ 动点轨迹是__________
小试牛刀：用定义判断下列动点M的轨迹是否为椭圆．
(1)到
的距离之和为6的点的轨迹．
(2)到
的距离之和为4的点的轨迹．
(3)到
的距离之和为3的点的轨迹．
做一做：请利用椭圆定义
推导椭圆的标准方程．（联系求曲线方程的基本步骤）
小结：当焦点在
轴上时，椭圆的标准方程为： ___________________ ( )
当焦点在
轴上时，椭圆的标准方程为： ____________________( )
三.应用新知，体验成功．
判断下列方程哪些表示椭圆？若是，则判定其焦点在何轴上，并指明a²，b² ，写出焦点坐标,求焦距．
四．课堂小结：
1.请你总结我们这节课的知识有哪些？___________________________________________________
2.对于本节课学习的内容，你还有什么疑问？_____________________________________________
五．推荐作业，巩固拓展．
必做题： 选做题：
1.推导焦点在y轴上的椭圆标准方程. 1. 的焦点坐标.
2.课本P42课后练习 2.2 1题. 2.在课本P39图2.2-3中找出长度为的线段.
3.课本P106习题8.1 2题.
《椭圆及其标准方程》
（普通高中课程标准实验教科书人教A版选修2-1第二章第2节第一课时）
一、教学内容解析
Ø 教材内容
本节内容是人教A版高中数学选修2-1第二章《圆锥曲线与方程》第2节，学习椭圆的定义，推导椭圆的标准方程．
Ø 教学重点
椭圆的定义和标准方程．
Ø 地位作用
本节是整个解析几何部分的重要基础知识．首先在教材结构上，本节内容起到一个承上启下的重要作用.其次对椭圆定义与方程的研究，将曲线与方程对应起来，体现了数形结合的重要思想．
二、教学目标解析
1.掌握椭圆的定义，会推导椭圆的标准方程，会根据椭圆的标准方程求,,abc
及焦点，焦距.
2.学生通过动手画椭圆、分组讨论形成椭圆的几何条件、推导椭圆标准方程等过程，提高动手能力、合作学习能力和运用知识解决实际问题的能力.
3.在形成知识提高能力的过程中，激发学生学习数学的兴趣,感受探索的乐趣与成功的喜悦.
三、教学问题诊断分析
Ø 学生学情分析 1.知识基础
在学习本节课前，学生已经学习了直线与圆的方程，对曲线和方程有了一些
2
了解和运用的经验.对用坐标法研究几何问题也有了初步的认识，同时对探究点的轨迹问题已有一定的知识基础和学习能力，这有利于学生实现从“旧知”向“新知”的迁移.
2.活动经验
学生通过前面的学习具有了一定的动手操作、自主探究、合作学习的经验. 3.能力特点
由于学生学习解析几何时间还不长、学习程度也较浅，在涉及到需要自己建立坐标系，再研究推导出方程仍是一个难点.并且学生之前未接触过一个方程中含两个根式相加的情况，故化简根式方程也是个问题.
Ø 教学难点
椭圆标准方程的推导.
Ø 突破难点的策略
我通过做微课视频，让学生在课前通过观看视频先学习两根式相加的方程的化简方法,为突破难点作铺垫.
四、教学策略分析
Ø 教材处理
1．将本节内容分为两课时
教材把椭圆的定义和标准方程，以及标准方程的初步应用合为一课时.本节课是新授课且所学内容是解析几何的一种重要曲线，并且化简该曲线方程是难点，为了使重点得到突出，难点得到突破，我把该节内容分为了两个课时，本节课就只探究椭圆的定义和标准方程.
2．保留课本探究，挖掘课后练习
教学设计中保留了课本中“取一条定长的细绳，把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？在这一过程中，你能说出移动的笔尖（动点）满足的几何条件吗？”的探究问题，学生通过画椭圆，再从画的过程中观察曲线上的动点满足的几何条件，
3
使学生能更容易理解椭圆的定义.
为了突破化简难点，我还对教材49页习题2.2A组1题进行了挖掘，将其改编并制作成一个微课，让同学们在课前通过观看微视频，先学习含两根式之和的方程的化简方法，为突破难点作铺垫.同时给学生留49页习题2.2A组1题巩固化简方法.并且该题贯穿于整个课堂，最后在讲授完新课后，再从代数意义和几何意义两种方法判断该方程表示椭圆，使学生体会数形结合思想在判定椭圆时的应用.
3．补充拓展延伸
由于我班的学生是创新班的学生，数学基础较扎实，接受新知的能力较强，思维敏捷．因此，针对本节课的难点（化简两根式相加的方程）在方法上进行拓展延伸．通过做课后微课视频，给同学们分析、启发、讲解另外两种化简方程的方法，并以此作为诱导，启发学生的开放性思维．
Ø 教学方法
根据本节课的教学目标、教材内容以及学生的能力特点．若利用形象直观的教具和生动的几何画板，则可以辅助学生抽象思维的进一步形成，所以教学上采用直观演示实验，然后对学生加以引导、启发，让学生经历画图、观察、讨论、分析、演示相结合的教学过程，意在帮助学生通过自己动手实验、分析归纳，从自己的实践中获取知识，并通过讨论来加深对知识的理解．
Ø 学习方法
新课改的精神在于以学生的发展为本，把学习的主动权还给学生，倡导积极主动，勇于探索的学习方法．因此，本节课主要采取动手实践、自主探索与合作交流的学习方式，学生通过画椭圆、讨论椭圆形成的几何条件以及几何画板的演示，建构起自己的知识结构，成为学习的主人．
Ø 教具准备
教材、多媒体课件、实物投影仪、绳子、三角板等．充分利用现代信息技术，学生通过形象直观的感觉，加深对知识的理性认识．
4
五、教学过程
教学内容与教师活动
学生活动
设计意图与说明
（一）创设情境 引入新课 欣赏生活中的图片，并提出问题.
问题1：图片中有哪些几何图形？
问题2：怎样能画出这种曲线？
学生欣赏图片，思考、
反馈，体会生活中的几何图形，并大胆说出自己的看法．
从生活中美丽的
图片引入课题，让学生找到一种有别于圆的封闭曲线，从直观上感受新曲线的形状，从而引起学生学习新曲线的兴趣.
（二）合作学习 探究新知 画一画
探究：根据教材38页的探究活动尝试画出新曲线.
问题3：在画的过程中，提醒学生观察哪些量是变化的？哪些量是不变的？
学生操作： (1)取一条细绳；
(2)把细绳的两端用图钉固定在板上的两点12FF、； (3)用铅笔尖（M）把细绳拉紧，在纸板上慢慢移动. 学生通过画图，上台展示，能说出：铅笔对应的点是变化的，绳子的长度和两图钉的距离是不变的.
体验新曲线的形成过程，并对新曲线
形成感性认识. 说一说
问题4：形成这种曲线要满 足怎样的几何条件
学生通过体验画新曲线的过程，讨论形成新曲线满足的几何条件：
学生通过体验画
新曲线的过程，观察并讨论形成新曲线的
5
（1）动点到两定点的距离为常数；
（2）两定点距离是常数；
（3）动点到两定点的距离为常数且大于两定点的距离．
几何条件，为理解椭圆定义打下基础，让学生真正成为知识的
发现者，探索者． 验一验
学生讨论总结出形成新曲线的几何条件，为了让学生更加肯定自己的想法，现场用几何画板做验证实验：用几何画板画新曲线．
观察几何画板画新曲线的过程，通过作图推出形成这种曲线满足的几何条件：
（1）动点到两定点的距离为常数；
（2）两定点的距离是常数；（3）动点到两定点的距离为常数且大于两定点的距离． 几何画板的使用
让静止的图形运动起来，使图形变的更加
生动形象，且这是椭圆几何条件的一种新
的呈现方式，可培养学生的综合意识和创新意识. 译一译
问题5：能不能把椭圆的定义由文字语言翻译成符号语言呢？
实际上，满足这两个几
何条件的曲线就是椭圆，给出椭圆的定义：平面内到两个定点12FF、的距离的和等于常数（大于|12FF|）的点的轨迹叫椭圆.这两个定点
12FF、叫做椭圆的焦点，
两焦点之间的距离叫做焦距． 学生经过小组讨论，思考，抽同学回答： 平面内，动点M满足： 1212MFMFFF+=>常数（）
通过几何画板的
演示,加深对椭圆定义的理解,并在理解的基础上将其文字语言翻译成符号语言, 让学生熟练掌握椭圆定义的三种数学语言
（文字语言、符号语言、图形语言）的表
示以及相互转化． 练一练
问题6：椭圆的定义给我们提供了一种判断曲线是否为椭 跟踪训练1：
用定义判断下列动点M
的轨迹是否为椭圆：
（1）到点1(2,0)F-和点
通过设置三个有梯度的小题加深对椭
圆定义的理解，同时
M
2
F
1F
6
圆的理论依据，同学们请利用定义判断导学案中的跟踪训练1
学生根据椭圆的定义在做第1个题时，很顺利，做第2个题时，会遇到认知冲突，学生可以判断其轨迹不是椭圆，老师继续追问：
问题7：动点M的轨迹不是椭圆，又是什么呢？
刚才在画椭圆时有没有没画出椭圆的同学？
预案一：有没画出椭圆，而画出线段的同学．
预案二：没有画出线段的同学．
2(2,0)F的距离之和为6的点的轨迹.（轨迹是椭圆）
（2）到点1(2,0)F-和点2(2,0)F的距离之和为4的点
的轨迹.（轨迹是线段）. （3）到点1(0,2)F-和点
2(0,2)F的距离之和为3的点的轨迹.（轨迹不存在）
二、三两个小题的设计是以问题驱动的方
式，引起学生的认知
冲突，训练发散思维，自主地对椭圆的定义进行完善，同时引起学生对常数大于两定
点的距离的限制条件
的重视．
针对预案一：请画出线段的同学上来演示怎么画的，进而引导学生得出动点到两定点的距离和为常数，当常数等于两定点的距离时，轨迹是线段．
针对预案二：引导学生，如果在画椭圆时绳长等于两定点的距离，会画出怎样的曲线？
结合1、2小题，学生再做第3个小题，应该可以得到：这种情况不存在．
推一推
椭圆的标准方程
接下来推导椭圆的标准方
① 建系；② 设点； ③ 列式；④ 化简； ⑤证明． 建系：
方案1、2、3是大多数学生可能会出现的建系方式，通过
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程，锻炼学生的运算能力． 问题8：回顾求曲线方程的一般步骤？
椭圆标准方程的推导是本节课的难点，要突破难点，我采用的方法是各个击破难点：
①建系：（思考：如何建立适当的平面直角坐标系？）
我们尝试以焦点连线为x轴，线段12FF的中垂线为y轴建
立平面直角坐标系．
②设点： 先设两定点12FF、的坐标，根据线段12FF的对称性，为了使
12FF、的坐标不出现分数，可以设线段12FF的长度为一个2倍量，不妨设为2(0)cc>，
则12-,0),(,0)FcFc（，
设动点(,)Mxy ③列式：
122(22)MFMFaac+=>
方案1： 两定点的连线所在直线为x轴，其垂直平分线为y轴.
焦点在x轴上
方案2： 两定点的连线所在直线为y轴，其垂直平分线为x轴.
焦点在y轴 方案3：
一个定点为原点，两定点的连线所在直线为x轴.
对比并强调，只有在
方案1和方案2的建系方式下得到的方程才是椭圆的标准方程．
④化简：（方程的化简是本节课的一个难点）
问题9：
2222
()()2(22)
xcyxcyaac+++-+=>
学生在课前预习时观看微视频，学了以后再做一个导学案预习部分的化简题： 2222(3)(3)10xyxy++++-= 由于带根号方程的化简学生感到困难，这是本节课的一
个难点．我在突破这
8
与2222
(3)(3)10xyxy++++-=
有什么相同点和不同点？
使得在课内化简方法用得更熟练．
针对问题9，学生通过比较两方程的特点，很容易能将较为简单的化简方法：移项平方法迁移过来．
根据移项平方法进行化简：
2222()()2xcyxcya+++-+=2222
()2()xcyaxcy
++=--+
2
2
2
2
2
22
()44()()xcyaaxcyxcy++=--++-+
222)(ycxacxa+-=-
2
2
2
2
2
222()()
acxayaac-+=-
学生推导完成以后，再通过投影展示.
个难点的策略上，采用课前微课.我在学
生课前预习时制作了一个《化简含两根式之和的方程》的微课视频，采用两种方法
化简：一种方法是直接平方法，另一种方
法是：移项平方法.
通过两种方法的对
比，移项平方化简过
程更简单，所以引导学生可以用移项平方的方法化简两根式相加的方程．
.
问题10：数学是追求对称美和简洁美的，如果对方程进行换元，怎样换比较合理？ 经过化简整理，得到焦点在x轴上的椭圆的标准方程： )0(1222
2>>=+babyax
要建立焦点在y轴上的椭
圆的标准方程，又不想重复上述繁琐的化简过程，如何去做？此
换元： 在最后整理得到的式子
)
()(22222222caayaxca-=+-中两次出现了2
2ca-，且0>>ca所以02
2>-ca，如果把2
2ca-看作一个整体，即
令222
(0)acbb-=>， 得222222bayaxb=+，等式
两边同除以2
2ba得
引导学生观察，
可以发现换元后的方
程更简洁、对称、美
观．
体会数学中的化归思想，化未知为已知，避免重复劳动．
9
时要借助于化归思想.
问题11：比较两种建系方式下的方程有什么联系？
122
2
2=+b
yax 就可以得到焦点在x轴上的椭圆的标准方程：
)0(122
22>>=+babyax
焦点在x轴上的椭圆的标准方程：
焦点在y轴上的椭圆的标准方程：
学生经过观察，可以发现两方程的特点是：方程①中的
x，y互换就得到方程② ，
所以②化简以后的标准方程只需把焦点在x轴上的椭圆标准方程中的x、y互换即可．即焦点在y轴上的椭圆的标准方程：
()22
22
10yxabab+=>> 问题12：得到椭圆的两种标
准方程以后，比较两种方程的相同点和不同点？
相同点：①方程左边都是
平方和，右边都是1； ②abc、、关系相同：222(0,0)abcabac=+>>>> 不同点：焦点在分母较大变量所对应的坐标轴上．较
师生共同总结，不仅使学生加深了对
椭圆定义和标准方程
的理解，有助于教学目标的实现，而且让学生体会和学习类比
aycxycx2)()(2222=+-+++acyxcyx2)()(2222
=-++++
10
大的分母是2a，较小的分母是2b．
的方法，为后面双曲线、抛物线及其他知识的学习打下基础．
（三）应用拓展 体验成功 练一练
方程推导完成，跟踪训练2：
下列方程哪些表示椭圆？若是，则判定其焦点在何轴上，并指明a²、b² ，写出焦点坐标，求出焦距.
三道练习题设计
使学生通过练习，进一步熟悉和掌握椭圆的标准方程．
问题13：从方程结构可以判断曲线是否为椭圆，那么微课预习中同学们化简得到的方程表示什么样的曲线呢？ 回到微课题目：
由2222(3)(3)10xyxy++++-= 已化简为2
2
25164000xy+-=
这个方程表示怎样的曲线呢？将结果化为标准方程：2211625
xy+=
从方程结构可以判断该曲线为椭圆.
直接由根式方程几何意义判断：
2222(3)(3)10
xyxy++++-=的几何意义为
12(,)(0,-3)(0,3)10,MxyFF动点到两定点与的距离之和为且1210FF>，动点 (,)Mxy满足椭圆几何条件，所以，可以用两种方法判断一个方程对应的曲线是否为椭圆，实现了代数意义与几何意义的转化．
让学生从方程结
构和椭圆的定义再来判断其曲线是否为椭圆，培养学生思维的
灵活性．
11616)1(22=+yx225925)3(2
2=+yx116
25)2(22=+yx
11
附：板书设计
（四）梳理小结 盘点收获
课堂小结时，让学生畅所欲言，谈谈这节课的收获是什么．教师进行补充、总结，为下节课做好铺垫．
学生从数学知识、思想方法、数学美等方面进行全面总结．
通过小结为学生
创造交流的空间，引导学生参与总结，调动学生的积极性，反思自己学习过程，让学生形成知识网络，完善认知结构．培养学生归纳、概括的能力，使本节课的知识得到梳理，学生的潜能得到挖掘．
（五）推荐作业 分层提高
必做题：
1.推导焦点在y轴上的椭圆标准方程．
2.课本P42课后练习 2.2 1题． 3.课本P49习题8.1 2题． 选做题：
1.求22
(0)mxnymnmn+=-<<的焦
点坐标．
2.在课本P39图2.2-3中找出长度为abc、、的线段．
课后学生完成必做题，选择完成选做题．
针对学生能力差异进行分层训练，既使学生普遍掌握基础知识，又使学有余力的学生能有所提高，从而达到“拔尖” 和“减负”的目的．
§2.2.1 椭圆及其标准方程
………… …………
三、a、b、c的关系
学生评价表
一、椭圆的定义
………… ………… ………… ………… ………… 四、回到微课题目 …………
………… ………… ………… ………… 二、椭圆的标准方程
………… …………
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六、设计说明
Ø 设计理念
根据新课程标准的“教师为主导，学生为主体”的教学理念，我对本节课的设计具体体现在：
1．采用现代教学技术手段，利用几何画板渗入课堂，让静止的图形运动起来，变得更加生动形象．
2．教师提前制作课前和课后微课视频，让学生通过课前微课视频学习含两根式之和的方程的化简方法，进而突破椭圆方程化简的难点，达到教学目标，通过课后微课视频，对化简方法进行拓展，使学有余力的学生有所提高，实现分层教学，充分体现新课程教学理念．
3．注重数学思想方法的渗透，探究过程中学生经历由特殊到一般的过程，将曲线与方程紧密联系起来，进而锻炼学生严密的数学思维．
4．小组评价表的作用：激励学习兴趣，同时对教学过程有了一个客观、理性的反思．
Ø 教学反思
1．目标达成（目标检测）
视频来源：优质课网 www.youzhik.com
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