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视频标签：椭圆及其标准方程
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视频课题：高中数学人教A版选修2-1 2.2.1 椭圆及其标准方程_华中师范大学第一附属中学
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高中数学人教A版选修2-1 2.2.1 椭圆及其标准方程_华中师范大学第一附属中学
教学目标
知识目标:
(1)理解椭圆定义及焦点、焦距的概念;
(2)能正确推导出椭圆的标准方程;
(3)明确标准方程中参数的几何意义,能解决简单的求椭圆标准方程的问题。
能力目标:
(1)培养学生用运动变化的思想分析解决问题,渗透从具体到抽象、从特殊到一般、从感性到理性的抽象椭圆图形特征的过程;
(2)通过椭圆标准方程的推导,进一步掌握求曲线方程的方法;
(3)学会利用代数方法解决几何问题的基本手段和一般过程,提高运用坐标法的自觉性以及解决几何问题的能力。
情感目标:
(1)感性认识理性化,通过自己动手作图观察来辨析和完善概念,通过对比产生顿悟,通过对于这种学习方式的积极心向感受数形结合的思想,并养成好的探究学习习惯。
(2)通过内类和知识升华,关注学生思维起点和思维的发展点,使学生养成勤于思考、勇于创新的学习习惯。
2新设计
倡导积极主动、勇于探索的学习方式,力求通过各种不同形式的自主学习和探究活动让学生体验数学发现和创造的历程。这是高中《数学课程标准》中提出的重要理念之一。本节课将落实这一理念,重在引领,注重培养学生的创新能力使学生能够学会发现、学会学习,有效地提高学生的数学素养。本节课采用让学生动手实践、自主探究、合作交流及教师启发引导的教学方法,使学生经历实践、观察、交流、分析、概括等理性思维的基本过程,切实改进学生的学习方式,使学生真正成为学习的主人。由于本节课涉及到数形结合和点的运动过程,几何画板、课件等多媒体手段的使用也会大大提高课堂效率,使学生在生动形象的教学过程中更清晰地认识图形。信息技术将为学生的数学探究与数学思维提供支持。
3学情分析
学生在必修2第二章里已经学习了直线和圆的方程,并初步熟悉了求曲线方程的一般方法和步骤,具备主动探究椭圆知识的基础;教材的这种安排也遵循了知识接受过程循序渐进的特点,递进式学习为学生分散了难点。从学生现有的学习能力看,通过一年多的数学学习,学生具备了一定的观察事物的能力,积累了一些研究问题的经验,在一定程度上具备了抽象、概括的能力和语言转换能力。学生根据日常生活经验,虽然对椭圆图形有一定的直观认识,但没有借助严密的思维过程将其上升到“概念”的水平。感性认识理性化将会是学生的挑战之一;另外,在以前的学习中,多半只涉及一个根式的方程化简问题,含两个字母、两个根式的方程化简也将会是学生面临的操作难题。
4重点难点
教学重点:椭圆的定义、椭圆的标准方程。
教学难点:椭圆定义中焦距与长轴的大小关系;椭圆标准方程的推导、坐标系的选择;椭圆焦点分别在X轴和Y轴上时的方程形式的区别与联系。
5教学过程
5.1第一学时
5.1.1教学活动
活动1【导入】1.复习圆的定义及图形特征； 2.将原有定义进行修改，探索是否可以得到新图形，并明确新图形的几何要素
【引言】从这一章起我们进入圆锥曲线的学习研究。在书本的章节介绍中我们知道,接下来要研究的几种曲线都是由垂直于圆锥的轴的平面截取圆锥得到,这一点启发我们思考,不同种类的圆锥曲线具有什么样的不同点,而它们又是否有共通点呢。
【提问】之前我们利用解析的手段研究过一种大家在初中就已经学习过的图形——圆。现在请大家回顾一下圆的几何定义。
【提问】圆的几何要素是什么?
【提问】再此基础上,我们能否人为地改变定义的条件,试试看能不能构造出新的图形呢?
(由于一个定点有限,我们可以把条件改为?两个定点也许就会涉及距离的和或差,我们先来研究距离和)
活动2【活动】合作画出新图形的轨迹。
【提出要求】
请同学们利用课前下发的毛线,同桌两人一组,尝试看是否可以合作画出刚刚我们得到的新定义下图形的轨迹。
请一组同学到黑板上演示画出的图形。
教师巡视并给与意见。
【几何画板演示】
教师利用几何画板工具展示椭圆轨迹的行程过程。
(先人为动,再通过设置让点自行运动)
活动3【讲授】类比圆的几何定义，给出椭圆的几何定义。
【提问】
其实新图形在大家的生活中随处可见,比如卫星运行的轨道等等。生活经验告诉我们,它的名字是?
【提问】
我们知道,圆的几何要素是圆心和半径,那么新图形的几何要素是什么?
【提问】
请同学们仿照圆的定义方式,结合我们刚刚的画图过程,给出椭圆这种图形的几何定义。
活动4【讲授】通过对概念深入理解，提炼出椭圆定义中需要注意的地方，使其对定义更清晰。
【提问】
这个定义里大家一起想一想,需要主要的地方有哪几点。
【提问】
若改变条件,使得距离之和不是大于,而是等于两定点距离之和或者小于两定点距离之和,我们将会得到什么样的图形呢。
活动5【讲授】1.椭圆的不变量的名词介绍 2.椭圆点的轨迹的数学语言（集合语言）表述； 3.理解椭圆的几何条件
【提问】
椭圆里有哪些不变量?
由于这两个不变量对于椭圆来说非常重要,我们将它们名词化。这两个点称为椭圆的焦点,用F1 ,F2来表示,焦点间距离称为焦距,用2c来表示。
【提问】
请大家用数学集合语言表示出椭圆点的轨迹
【强调】
若点运动满足上述条件,则其轨迹为椭圆;椭圆上的点均满足上述条件。
活动6【活动】推导椭圆的标准方程。
现在我们开始用解析方法研究椭圆
【提问】求圆的方程的方法是什么?
【提问】直译法求轨迹方程分为哪几步?
【提问】
根据简单和优化的原则,如何建立平面直角坐标系?
【具体过程】
建系设点。
1)设M(x,y)为椭圆上的任意一点;
2)椭圆上的点满足的几何条件(前已讲)为:|MF1|+|MF2|=2a,2a>2c
3)将上述几何条件翻译为坐标语言:√(x−c)2+y2+√(x+c)2+y2=2a
4)对上述代数式进行化简。
【提问】
处理根式的方法是什么?
涉及到两个根式需要几次平方?
怎样可以使得计算更加简便一些?
活动7【讲授】引入参数b;并解释b的含义。 引导学生完成完备性和纯粹性的检验.
【教师于黑板上板书】
√(x−c)2+y2+√(x+c)2+y2=2a ;
√(x+c)2+y2=2a−√(x−c)2+y2 ;
(x+c)2+y2=4a2−4a√(x−c)2+y2+(x−c)2+y2 ;
4a√(x−c)2+y2=4a2−4cx ;
【学生自行完成】
请同学们将上式整理化简并写出化简结果。
【提问】
请大家观察这个式子,由于a>c,两边可以同时除以
a2(a2−c2),则可以得到:
x2a2 +x2a2−c2 =1 ,由于数学具有简洁美和对称美, a2−c2 这个参量我们可以引入一个新的变量b>0,使得b2=a2−c2 。
活动8【讲授】通过对形式的要求和提升，使得学生对数学式子的美观性有深刻的认识而得到焦点在x轴上的“横躺”椭圆的标方
【提问】
现在刚刚化简得到的式子就变成了x2a2 +y2b2 =1(a>b>0) ;
从形式上看非常简洁漂亮;但是现在我们来想想,为什么这里的参数b的引入是可行的呢。请大家从代数与几何两方面考虑。
【总结】
焦点在x轴上的椭圆的标准方程。(课件)
【思考】
若使得焦点落在y轴上,重新建立直角坐标系又会有什么样的标准方程形式呢。
活动9【讲授】得到焦点在y轴上的“竖立”椭圆的标准方程
从图形直观来看,椭圆有“横躺”和“竖立”之分;
若以两定点的连线为Y轴,其垂直平分线为X轴,则椭圆的焦点在y轴上,那么椭圆的标准方程为: y2a2 +x2b2 =1,(a>b>0)
活动10【活动】总结两种标准方程的异同点，初步得到对椭圆定形条件和定位条件的理解。
【提问】
两种形式的椭圆方程学习完毕以后,请同学们一起对比椭圆两种形式的异同点,我们一起讨论。
【课件展示表格】
【标准方程小结】
椭圆的定形条件和定位条件分别是什么,怎样才能快速判断焦点位置?
启发我们在求标准方程时具体要注意哪些问题?
活动11【练习】对典型例题进行讲解；请学生自练，并归纳出求解椭圆及其标准方程的一般方法。
例1:(请学生口答)
若椭圆x225 +y216 =1 上一点P到焦点F1的距离为6,则点P到焦点F2的距离为多少?
例2:求焦点为(0,-2),(0,2),经过点(4, 3√2 )的椭圆的标准方程。(待定系数法)(几何法)
例3:求经过两点(2, −√2 ),(-1, √142 )的椭圆方程。
(待定系数法)
【总结】
椭圆标准方程的统一形式,思考所总结的统一形式与两种标准形式的对应关系。
活动12【活动】发现圆与椭圆的关系
【提出问题】
这节课我们以圆的学习类比椭圆,最后我们从椭圆回到圆上来。请大家一起看这样一个情境:用几何课件展示教材41面例2的情境:在圆上任取一点,过该点作x轴的垂线段,观察当点在圆上运动时,垂线段中点的轨迹。并要求学生下课后给出严密证明。
活动13【作业】布置本节课随堂作业。
本节课的作业:
1. 完成椭圆与圆所给情境的思考和严密证明;
2. 《红对勾》上本节的相应内容;
类似的,将椭圆的直观图形推广至三维空间,想象椭球面的直观图形;将椭圆的标准方程推广至三维空间,形式化类比给出椭球面标准方程。
视频来源：优质课网 www.youzhik.com
