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视频标签：椭圆及其标准方程
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视频课题：高中数学人教A版选修1-12.1.1椭圆及其标准方程_天津市优课教学设计
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高中数学人教A版选修1-12.1.1椭圆及其标准方程_天津市优课教学设计
《椭圆及其标准方程》教学设计
一、内容与内容解析
本节课内容是《普通高中课程标准实验教科书数学》人教A版选修1-1第二章《圆锥曲线方程》2.1《椭圆及其标准方程》中第一节课。学生在必修2这本书已经学习了《直线和圆的方程》，学生通过这一章的学习，对用坐标法建立直线和圆的方程，从而研究它们的几何特征和问题有了一定的认识，并深刻地感受了数形结合的基本思想方法。本节课在此基础之上，将此研究几何问题的方法拓展到椭圆，通过建立平面直角坐标系，类比研究圆的方法，求出椭圆的标准方程，从而强化坐标法，加深对数形结合思想的理解，同时为研究其几何性质和特征做好准备，也为进一步研究双曲线，抛物线提供了基本模式和理论依据。
基于以上对本节课教学内容的分析，确定本节课的教学重点为：椭圆的定义和标准方程，区分焦点坐标与标准方程的对应关系。
二、目标和目标解析
（一）教学目标
1.理解椭圆的定义及有关概念；明确椭圆的标准方程形式，能区分椭圆的焦点在X轴与Y轴上的不同；
2.掌握椭圆的标准方程的概念，能够根据给定的条件求椭圆的标准方程。
3.通过本节课的学习,培养学生观察、比较、分析、概括的能力；注重数形结合、分类讨论、类比等数学思想方法的渗透，注重掌握运用解析法研究几何的一般方法，注重动手能力、探索能力的培养。
4.鼓励积极、主动的参与教学的整个过程，激发其求知的欲望；培养勇于探索、敢于创新的精神；体验数与形对立统一的辩证唯物主义思想。
（二）教学目标解析
1．本节教学内容的脉络是：首先是通过实物识椭圆、动手画椭圆，激发学生求知的欲望，培养学生勇于探索、敢于创新的精神，之后类比圆探究椭圆定义，师生共同总结椭圆定义，设疑引导，问题驱动，结合动画展示，完善椭圆定义，注意限制条件，强化学生对椭圆定义的理解，注重分类讨论思想的渗透。其次，类比圆的研究方法,复习求曲线方程的步骤，引导学生构造数与形的桥梁，建立适当的平面直角坐标系来求椭圆的标准方程，感受用代数解决几何问题的方法，渗透数形结合的思想。同时，鼓励学生主动参与教学，体现学生主体性，通过生生、师生多元互动方式共同整理化简完成椭圆标准方程的化简，也进一步培养了学生观察、合作、概括、分析、比较的能力。
2．数学思想的教学一般要经过渗透孕育期、领悟形成期、应用发展期、巩固深化期四个阶段，而非简单复制与灌输。在探究“椭圆定义及方程”的过程中本着“四主”的教学思想，即以“学生为主体，教师为主导，问题为主线，思维为主攻”，重点突出学生的“质疑、解疑”和教师的“启发导疑”的求知过程.通过探究椭圆定义和整理化简椭圆标准方程的过程，启发学生类比圆的研究方法探究问题，注重类比思想的渗透，同时培养学生自主探究的能力，加强对坐标法的理解，感受数形结合思想的魅力，体验数与形对立统一的辩证唯物主义思想。
三、教学问题诊断分析
学生在学习本节内容之前已经学习了直线和圆的方程，初步理解了坐标法，通过建立平面直角坐标系，用代数方法解决几何问题，并且已经具有一定的数形结合思想，这为研究椭圆提供了基本学习模式，在得出椭圆定义的基础上再共同研究椭圆的方程思路比较自然。在教学时，通过情境导入，设置疑问提出本节课要研究的问题；在教师的引导下，启发学生思考和探索问题，并自主学习得出椭圆定义；在问题串的驱动下，通过师生，生生、个人思考，小组合作等多元化的互动形式，共同探究，完成预先设置的问题，得出椭圆方程；通过例题小试身手，感悟新知，初步反馈对椭圆定义及方程的理解情况；学生总结本节所获，提升能力的同时，内化数学思想方法；最后完成反馈训练，分享成果，由生评价生，检验本节教学目标完成情况；设计拓展延伸题目，挖掘学生无限潜力，培养创新创造能力。
本节课的教学难点：
1.选择适当坐标系的建立，标准方程的推导过程；
2.两个标准方程的区别与联系，由条件分析
。
四、教法分析
“问题是数学的心脏”，也是数学教学的心脏.问题教学，是适应新课改要求的一种数学教学方法，是在课堂教学条件下，创设问题情境，由教师与学生一起发现问题、提出问题，在教师的主导下，分析问题、解决问题.
本节课以学生为中心，以问题为载体，采用启发、引导、探究相结合的教学方法.即“设疑导入——自主学习——多元互动——总结提升——反馈拓展”五个环节。通过情境导入，设置疑问提出本节课要研究的问题；在教师的引导下，启发学生思考和探索问题，并自主学习得出椭圆定义；在问题串的驱动下，通过师生，生生、个人思考，小组合作等多元化的互动形式，共同探究，完成预先设置的问题，得出椭圆方程；通过例题小试身手，感悟新知，初步反馈对椭圆定义及方程的理解情况；学生总结本节所获，提升能力的同时，内化数学思想方法；最后完成反馈训练，分享成果，由生评价生，检验本节教学目标完成情况；设计拓展延伸题目，挖掘学生无限潜力，培养创新创造能力。
五、教学支持条件分析
1．根据本节课教材内容的特点，为了更直观、形象地突出重点，突破难点，借助信息技术工具，以几何画板为平台，通过图形的动态演示，变抽象为直观，为学生的数学探究与数学思维提供支持．
2．本节课的教学设计遵循了“以学生为主”的教学模式，教师始终坚持启发式教学原则，设计一系列问题串，以引导学生的数学思维活动。教师在整个教学过程中，注意到了少讲，给学生充分活动的时间和空间，让学生互动，总结解题经验。教师的重点放在了对解法的归纳以及坐标法的思想是否得到落实上。
六、教学过程
(一)设疑导入—发散思维
创设情境:之前,我们学习了直线与圆,通过建立平面直角坐标系,用代数方法解决几何问题.今天我们继续来学习新的曲线.行星按照它的形状运动,人造卫星的运行轨道也是椭圆.可见,椭圆不仅在实际生活中,甚至与科研、生产等有着紧密的关系。那就从今天起,我们像学习圆一样,共同探究椭圆的定义及其方程,从而获得它的几何特征及其性质.
师生活动: 共同观看PPT展示的实物图片,它们的形状都是:椭圆
【设计意图】：《直线与圆的方程》是本节课椭圆标准方程学习的认知基础，这样设计导入语有利于引导学生顺利地进入学习情境。同时用身边的实例引出课题，以及学生所熟知的人造卫星等科技知识，提出研究椭圆的必要性，从而激发学生学习椭圆的积极性。
(二)自主学习—主动探索
回顾：圆的做法及定义，并探究椭圆的画法与定义。
师生活动：（1）请学生利用手中绳子作出圆，同时教师演示:绳子的两端都固定在图板的同一点处,套上铅笔,拉紧绳子,移动笔尖,画出圆的轨迹。（2）请学生回忆圆的定义：到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆。
【设计意图】：以学生熟知的圆作为导入，蕴含着椭圆的研究方法和思想是与圆相通的，学生也比较容易接受。又通过学生动手操作直观地回顾圆的做法和定义，为下一步探究椭圆定义做铺垫。
教师提问：圆的定义中强调到一个定点的距离,如果是到两个定点呢?又会是什么呢?类比圆的方法，你能画出椭圆吗？
师生活动:在教师的启发下，学生分小组利用手中的绳子尝试画出椭圆,并请完成的小组动手展示并分享。
【设计意图】：通过类比学生所学过的圆，渗透类比的数学思想，在教师引导下，培养学生发散思维，善于提出问题的创新精神，并给学生提供一个动手操作、合作学习的机会，感受画出椭圆的成就感。
教师提问：你能总结椭圆的定义吗？
师生活动：结合展示情况，分小组讨论椭圆定义，并进行回答。
设计意图：通过小组合作、展示、分享，让学生都积极地参与到学习中来，体现学生主体地位；同时通过讨论，学生开动大脑，对椭圆的定义有初步的感性认识，并粗略地进行归纳。
教师提问:
（1）若将细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板上不同的两点F1、F2处，并用笔尖拉紧绳子，再移动笔尖一周，这时笔尖画出的轨迹是什么图形呢？
（2）如果把细绳的两端的距离拉大，那是否还能画出椭圆？当两端的距离等于绳长时,轨迹是?再继续拉大,会出现什么情况?还有轨迹吗?
师生活动：教师制造矛盾，利用几何画板软件做出椭圆，同时利用幻灯片动画展示（2）种所提及的情况，通过直观展示，教师引导，由学生探究出上述问题答案。
学生归纳：
结论：绳长记为2a，两定点间的距离记为2c(c≠0).
（1）当2a>2c时，轨迹是 ；
（2）当2a=2c时，轨迹是 ；
（3）当2a<2c时， ；
【设计意图】：通过动画展示，学生讨论、观察、归纳，完善定义，强化定义需满足的条件，渗透了分类讨论的思想，体现了数学问题思考的严谨性。在给出定义后，通过设问让学生加深对椭圆定义中的关键词汇的理解，进一步强化椭圆定义，真正使学生理解定义的内涵和外延。
(三)多元互动—共同探究
回顾：仅仅得到定义是不够的,根据前一章学习直线和圆的经验,我们还应在直角坐标平面上,继续探究它的方程，从而就可以用代数方法来研究椭圆的几何性质、位置关系等。
问题1：如图所示:
为两定点，且
，求平面内到两定点
距离之和为定值2a(2a>2c)的动点M的轨迹方程。
（1）回忆求轨迹方程的步骤： （2）并求出动点M的轨迹方程;
思考：如何建立坐标系，使求出的方程更为简单？
【设计意图】：1.通过对必修2中坐标法研究曲线性质方法的复习，让学生认识到本节课研究椭圆的一般方法和思路。2.学生学会建立适当的平面直角坐标系，构造数与形的桥梁，学会用坐标的方法来解决问题，渗透数形结合的数学思想。
师生活动：根据求轨迹步骤，教师引导学生依步完成。
问题2： 对含有一个根式的等式如何进行化简？
师生活动：教师进行引导：我们怎么化简带根式的式子？对于本式是直接平方好还是整理后再平方好呢？请两名学生上台在黑板上合作完成，其余同学先独立进行化简，因无理根式化简是难点，能独立完成的学生是少数，故教师根据学生情况，适时提出小组合作，生生互助的互动形式，教师作为引导者，也会对较困难的组进行面对面的指导。
【设计意图】：在标准方程的推导过程中，问题的设问让学生认识到在推导方程的过程中进行等价变形的重要性，同时通过学生自己独立化简，小组互助，教师巡视，同学板前演示，幻灯片机展示等循循渐进的步骤，以此突破难点，培养学生严谨的数学演算习惯，提高运算能力，养成不怕困难的钻研精神。
问题3：观察下图，你能从中找出表示
的线段吗？
有什么几何意义？
【设计意图】：通过让学生寻找表示
的线段，以及探究
的几何意义，发现特征三角形所体现出来的几何关系，为下节课探究椭圆的几何性质打下基础。
问题4：若坐标系的选取不同，得到的椭圆的方程会相同吗？
问题5：还有没有其他建系方案，也能得到形如这样简洁的标准方程？
问题6：如果以椭圆的焦点所在直线为
轴，且
的坐标分别为（0，-c）和（0，c），a 、b 的含义都不变，那么椭圆又有怎样的标准方程呢？
师生活动：学生思考并作答。
【设计意图】：强调不同的建系方案会得到不同的方程，建系遵循简单和优化的原则。让学生利用对称性进行猜想，从中感受数学的简洁美和对称美，同时培养学生类比、归纳的能力。
学生总结：
焦点在X轴：
F1（-c,0）、F2（c,0）
焦点在Y轴：
F1（0,-c）、F2（0,c）
（其中
）
【设计意图】：通过对比总结，强化不同类型的方程的异同，从而深化学生对椭圆标准方程的理解，也是对学生观察、归纳能力的训练。
问题7:两个标准方程的联系与区别？
练习1：下列方程哪些表示椭圆？若表示椭圆焦点在那个轴上？并求出a,b,c的值。
（1）
（2）
（3）
师生活动：由学生独立完成练习题目。
教师提问：如果已知椭圆的标准方程，如何确定焦点在哪条坐标轴上？
【设计意图】：通过几个基础练习题的解答，突出本节课的重点，即掌握两种类型的椭圆方程的异同和根据标准方程判断焦点位置的方法（看大小）。又引导学生分析，鼓励学生自行完成、作答，帮助学生树立自信的同时，提高学生观察、分析、概括的能力。
练习2：(1)已知椭圆的方程为：
,则， a= ，b= ，c= ，焦点坐标为 ，焦距等于 ；
(2)a=5，c=4的椭圆标准方程是_________________；
(3)若M为椭圆
上一点，
分别为椭圆的左、右焦点，并且
=6,则
=_________；
(4)动点P到两定点
的距离和是10，则动点P的轨迹方程是________。
【设计意图】：本环节采用教师提问，学生回答的形式，利用课堂练习巩固所学的知识内容，强化椭圆的概念，深化知识点的掌握，以求达到教学目标。
(四)、总结提升—内化思想
回顾：
思考：1.本节课你收获了哪些知识?2.本节课蕴含着哪些思想方法?
师生活动: 由多位学生发言，畅谈本课的收获，并相互评价；教师引导学生从知识—方法—思想的角度，层层深入，梳理本节课的内容，突出一个定义方法、两个方程、三种思想的整体知识框架。
【设计意图】：通过总结，培养学生数学交流和表达的能力，养成及时总结的良好习惯，并将所学知识纳入已有的认知结构。同时培养学生宏观掌握知识的能力，为进一步学习打下坚实的基础。
(五)、巩固拓展—无限创造
【巩固型】
1、
的椭圆标准方程是________________；
2、已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2,0),(2,0),并且经过点
,
则它的标准方程______________；
3、已知椭圆方程
，
分别为椭圆的左、右焦点,若CD为过左焦点
的弦，则
的周长为 ，
的周长为 ；
4.方程
表示的曲线是椭圆，求k的取值范围；
变式：
（1）方程
表示焦点在y轴上的椭圆，求k的取值范围；
（2）方程
表示焦点坐标为
的椭圆，求k的值。
5. 下列方程哪些表示椭圆？若表示椭圆焦点在那个轴上？并求出a,b,c的值；并归纳椭圆方程的特点。
（1）
（2）
【拓展型】
1. 椭圆还有其它定义方法吗？
2.推导方程中 还有其它变形方法吗？该式又有什么几何意义呢？
3.若将椭圆定义中的“之和”改为“之差”又是什么呢？“之积”呢？“之商”呢？
4.画圆有圆规，那么画椭圆呢？你能设计出椭圆规吗？
5.研究直线和圆与研究椭圆的方法有区别吗？随着学习的深入，请进行归纳。
【设计意图】：作业的设计，注重分层教学，分为巩固型、思维拓展型，巩固型面向全体，注重知识反馈，以此来检验本节课的教学要求，学生是否已完成，思维拓展型更注重知识的连贯性和延伸性，增强自主学习能力，培养创新意识，挖掘无限创造空间。
视频来源：优质课网 www.youzhik.com
