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视频标签：椭圆及其标准方程
所属栏目：高中数学优质课视频
视频课题：人教A版高中选修2-1第二章《椭圆及其标准方程》四川省巴中
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人教A版高中选修2-1第二章《椭圆及其标准方程》四川省巴中
椭圆及其标准方程（第一课时）教案 一、教学目标： 1．知识与技能目标： （1）掌握椭圆定义和标准方程. （2）能用椭圆的定义解决一些简单的问题. 2．过程与方法目标： （1）通过椭圆定义的归纳和标准方程的推导，培养学生发现规律、认识规 律并利用规律解决实际问题的能力. （2）在椭圆定义的获得和其标准方程的推导过程中进一步渗透数形结合等 数学思想和方法. 3．情感态度与价值观目标： （1）通过椭圆定义的归纳过程获得培养学生探索数学的兴趣. （2）通过标准方程的推导培养学生求简意识并能懂得欣赏数学的“简洁美”. （3）通过师生、生生的合作学习，增强学生团队协作能力的培养，增强主 动与他人合作交流的意识. 二、教学重点、难点： 1．重点：椭圆定义的归纳及其标准方程的推导. 2．难点：椭圆标准方程的推导. 三、教材与教法分析 （一）、教材、学习者特征分析： 本节课是圆锥曲线的第一课时。它是在学生学习了直线和圆的方程的基础上， 进一步学习用坐标法研究曲线。椭圆的学习为后面研究双曲线、抛物线提供了基 本模式和理论基础。因此这节课有承前启后的作用，是本章和本节的重点内容； 椭圆的标准方程推导过程中，化简两个根式的方程的方法特殊，难度较大，学生 初次遇到。 （二）、教学方法和教学策略分析： 探究式、启发式教学方法，引导学生主动参与、积极体验、自主探究，形成 师生互动的教学氛围。以启发、引导为主，采用设疑的形式，逐步让学生进行探 究性的学习。充分利用了青少年学生富有创造性和好奇心，敢想敢为，对新事物 2 具有浓厚的兴趣的特点。让学生根据教学目标的要求和题目中的已知条件，自觉 主动地创造性地去分析问题、讨论问题、解决问题。 四、教具： 多媒体 细绳、笔、小纸板 五、教学过程 一．新课引入 师：同学们好，今天我们来学习椭圆及其标准方程，（板书课题）先来看一个 视频。（播放视频） 师：视频中新一代北斗导航卫星的运行轨道是什么形状的？ 生：椭圆 师:对，其实很多卫星以及天体的运行轨道都是椭圆，椭圆在我们日常生活中 也很常见(放 PPT)。椭圆确实能给人以美感，那么到底怎样才能准确画出椭圆呢？ 请同学们拿出事先准备好的纸板和绳子一起来做一个实验。 二.尝试实验，形成概念 师：请同学们将绳子的两端固定在纸板的两个定点 1 2 F , F 上，用笔尖把细绳拉 紧，在纸板上慢慢移动看看画出的图形是什么？ 师：我们来看一下这一组同学画出的图形（展示图片），是什么啊？ 生：椭圆 师：对，请同学们思考：在画椭圆的过程中，绳子两端的位置是固定的还是运动 的？ 生：固定的 师：绳子的长度变了没有？ 生：没有？ 师：这说明了什么呢？哪位同学能说一下？（学生回答） 生：说明了笔尖（M）到两定点 1 2 F , F 的距离之和等于绳长，是一个常数。 师：非常好，我们把掌声送给他。请同学们再思考，在画椭圆的过程中，绳子 长度与两定点间的距离大小有怎样的关系呢？ 生：绳长大于两定点间的距离。 师：为什么？同学们可以组内交流一下。 师：好，某同学来说 生：因为当绳长等于两端点之间的距离时，画出的图形是一条线段，当绳长小 于两端点之间的距离时，不能画出任何图形。。 师：真棒，我们一起来看一下绳长等于两端点之间的距离时的情况（放视频）， 这时画出的是线段 F1F2 ，当绳长小于两端点之间的距离时，就不能画出任何图形。 所以要画出椭圆必须使绳长大于两定点间的距离 师：同学们能类比之前学习过的圆的定义并结合刚才所做实验以及上述问题归 纳出椭圆的定义吗？ 生：在平面内，与两定点 1 2 F , F 的距离的和等于常数（大于 F1F2 )的点的轨迹。 3 师：非常好！其中这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫椭圆的焦距。 请同学们注意定义里面的几个关键词，一是：在平面内；二是与两定点间的距离 之和为大于两定点间距离的常数；这个常数记作2a ，焦距记作2c。 同学们能够用集合来表示椭圆吗？哪位同学愿意来试试？ 生： 2 (2 ) 1 2 F1F2 MF MF a a 师：非常好，这就是椭圆的集合表示（板书：椭圆的定义：） 三.探索新知，方程推导 师：同学们已经了解了椭圆的定义，接下来我们一起来探究椭圆的方程。先请 同学们回忆用坐标法求曲线方程的一般步骤。 生：建系，设点，列式，化简，证明。 师：第一步先建系，第二步设点，第三步找等量关系列出与 x,y 有关的等式， 第四步化简，第五步证明或查漏补缺。 师：请同学们观察椭圆的形状，类比圆的标准方程的建立过程，你认为怎样建 系能使椭圆的方程更简单？ 生：1.以两焦点 1 2 F , F 所在直线为 x 轴，线段 F1F2 的垂直平分线为 y 轴；2.以两 焦点 1 2 F , F 所在直线为 y 轴，线段 F1F2 的垂直平分线为 x 轴。 师：对，我们可以把两焦点放在 x 轴上，也可以把两焦点放在 y 轴上。这样建 系有什么好处呢？ 生：其实这样更能体现出椭圆的对称性，也更简洁。 师：我们以 1 2 F , F 所在直线为 x 轴，线段 1 2 F , F 的垂直平分线为 y 轴建立如图所 示的平面直角坐标系，假设 M (x, y) 是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为2c(c 0) ， M (x, y) 与两焦点 1 2 F , F 的距离之和为2a（2a 2c ），根据椭圆的定义可以找到与 M 有关的等量关系，利用两点间的距离公式得到与 x ，y 有关的等式，我们发现 这个等式里含有两个根式，并且都在等号的同一边，应该怎么处理呢？好，某同 学来说 生：两边同时平方 师：某同学说，两边同时平方，有不同的意见吗？好，某某同学 生：先将一个根式移到等号的另一边，再平方 师：同学们觉得哪种方法更好呢？ 生：第二种 师：对了，如果直接平方的话会更复杂，因此我们先将其中一个根式移到等号 的另一边之后再平方。接下来化简的任务就交给你们啦。 （学生化简，2 分钟） 师：哪位同学愿意来展示你化简后的结果，（照片展示或在黑板上写结果。） 师：同学们觉得化简以后得到的这个等式在形式上看起来对称吗？我们还可以 4 怎样处理一下呢？要解决这个问题我们先回到椭圆这个图形中来，当 M 点运动 的 y 轴上的时候，线段 PF1与 PF2 的长度有怎样的关系？ .生： PF1等于 PF2 师： PF1加 PF2 又是等于什么呢？ 生：2a 师：因此 PF1和 PF2 的长度都应该等于a ，同学们能找出表示c 的线段吗？ 对，OF1和OF2，那么OP 的长度是多少呢？ 生： 2 2 a c 师：对，线段OP 与OF1 , PF1构成直角三角形，利用勾股定理可以得到OP 的长度， 为了让化简以后的这个方程对称，我们令b 等于根号 2 2 a c 。则 2 2 2 b a c 从 而可得 1( 0) 2 2 2 2 a b b y a x ，这就是焦点在 x 轴上的椭圆的方程（PPT 给出）， 同学们能猜想出焦点在 y 轴上的椭圆方程吗？ 生： 1( 0) 2 2 2 2 a b b x a y 师：非常好，当焦点在 y 轴上的时候我们用同样的方法可以得到椭圆方程，同学 们在课下可以尝试去推导一下。这两个方程都叫做椭圆的标准方程，其中 2 2 2 b a c ，你们能够归纳出这两个方程的特点吗？ 生：1.等号左边为两个分式的平方和，右边为 1；2.分母不相等；3.哪个分母大， 焦点就在那个轴上；4.大的分母是 2 a 的值，小的分母是 2 b 的值... 师：非常好！接下来我们对刚才所学知识进行运用！ 三．夯实基础，灵活运用 例 1.用定义判断下列动点 M 的轨迹是否为椭圆，并说明理由. (1)到 ( 2,0), (2,0) F1 F2 的距离之和为 6 的点的轨迹。 (2)到 (0, 2), (0,2) F1 F2 的距离之和为 4 的点的轨迹。 (3)到 ( 2,0), (0 2) F1 F2 ， 的距离之和为 2 的点的轨迹。 5 例 2.1.判定下列椭圆的焦点在哪个轴上，并写出焦点坐标. (1)2 16 2 2 x y 1 1 (2) 2 2 2 2 m y m x 2.已知椭圆的两个焦点的坐标分别是 ( 2,0), (2,0) F1 F2 ,并且经过点 P(2,3)，求椭圆 的标准方程.
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