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视频课题：高中数学人教A版版必修3.1.1两角和与差的余弦_重庆市求精中学校
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两角和与差的余弦 高中数学人教A版版必修3.1.1 两角差的余弦公式_重庆市求精中学校
两角和与差的余弦
教学目标
经历两角和与差余弦公式的推导过程，体会探究数学问题时猜想与证明的数学思想和方法。大胆的猜想和严谨的证明相结合，培养学生从已知知识出发主动探索未知世界的意识及对待新知识的良好情感态度。从公式的正用，逆用以及变形用三个层面去引导学生掌握两角和与差的余弦公式。
教学重难点
重点：两角和与差的余弦公式的推导及公式的运用；
难点：两角和与差的余弦公式的推导过程
教材分析
两角和与差的余弦位于人教版必修四第三章第一节，教材分别利用三角函数线和向量方法对两角差的余弦公式进行了推导。其中，利用三角函数线仅对
为锐角的情况进行了推导，而
为任意角时教材指出公式的推导是复杂的，并没有给出推导过程。利用向量方法推导两角差的余弦公式简洁明了，充分的体现出了向量的工具性作用。所以这也是教材在编排上的一个考虑：在学生学完第一章任意角的三角函数后没能直接学习第三章三角恒等变换，而是先学习第二章平面向量。然而为了更好的构建学生的知识体系，在学生学习完第一章后，能够直接进入第三章的学习，就必须给出另外一种推导两角和与差的余弦公式的方法。因为该公式是全部和、差角公式，以及倍角、半角等公式的基础，是本章公式推导的“源”。所以两角和与差的余弦公式不仅起着承上启下的核心作用，也是高考的重点考点。
学情分析
数学是严谨的，从猜想开始证明一个数学公式，学生在情感上是不容易接受的。然而，猜想与证明却是发现数学问题的主要思想方法之一。所以培养学生对数学问题的猜想能力是有必要的。学生主要的困难表现在：不敢猜，怕出错。而不会猜，主要是缺乏数学意识。
教学设计
一、提出问题，引入课题
通过如何计算
角的余弦值引出课题
设置情景：（1）让学生举手回答如何计算
。
【设计意图】虽然角不是特殊角，但是它很明显可以写成
和
角的和，于是学生非常想知道角的余弦值到底与和角的余弦值有什么关系呢？这样引出课题很自然，也很清晰，简洁。
（2）在学生猜想如何计算角的同时教师接着问学生：如何计算两个任意角的和或者差的余弦呢？引出课题--------探究两角和与差的余弦。
【设计意图】让学生体会从特殊到一般的数学思想。
二、探究新知，讲授新课
1、探究方法的猜想
教学内容：教师提出探究的主导思想是猜想与证明
【设计意图】因为高一学生的数学知识相对比较薄弱，在课堂40分钟内还达不到对一个新知识的探究方法做出科学合理的判断。所以，此时教师可以直接告知学生可以通过先猜想再证明的数学思想方法来探究这个问题。
问题1 让学生猜想 
的公式里将会出现哪些角的三角函数值？
【设计意图】这个问题虽简单，意义却不一般。首先，这个问题在探究的过程中确实很重要；其次，这个问题可以培养学生的观察能力。
问题2 通过引导学生回忆任意角的三角函数定义，三角函数线等知识再次回顾单位圆的作用与地位，于是成功引导学生借助单位圆来解决今天的问题。
【设计意图】单位圆在三角函数的地位确实不一般，如果直接告诉学生借助单位圆，学生在情感上不会接受，同时也体会不到单位圆在三角函数中的作用与地位。这里教师的引导向学生渗透了类比与联想的数学思想方法。
2、在单位圆中探究角
所蕴含的等量关系
教学内容：引导学生在单位圆中找角的终边
设置情景：教师用课件出示单位圆，并标出
轴正半轴及
角的终边与单位圆的交点分别为
师生活动：
教师------请同学们思考如何找
角的终边？
学生------只需将角的终边再逆时针旋转
角
教师------很好！刚才我们将角的终边旋转角得到角的终边，并设其与单位圆的交点为
，同学们，
是直角坐标系中角的终边吗？
学生------不是，因为我们规定直角坐标系中的角是始边置于轴非负半轴的。
教师------非常好！现在我们从轴非负半轴开始旋转角，得其终边与单位圆的交点
【设计意图】复习角的形成，强调直角坐标系中角的规定，为下一步引导学生写
的坐标做准备。
教学内容：请同学们写出各终边与单位圆的交点坐标。
【设计意图】由任意角三角函数的定义：各终边与单位圆的交点坐标可由各角的三角函数值表示，为下一步探究做准备。
教学内容：在单位圆中找相等弦
师生活动：
教师------请同学们在图中找出与
相等的角
学生------是
，因为它们都等于角
教师------单位圆中，相等圆心角所对的弦有什么关系呢？请同学们找出一个等量关系。
学生------因为相等圆心角所对的弦长相等，所以
教师------非常好！同学们，你们还能找到另一组相等弦吗？
学生------可以。因为
，所以
教师------很好！同学们，回顾上节课我们学习的两点间的距离公式，你们能从这两个等式推导出什么结论吗？请1-4小组的同学推导，5-8小组的同学推导。
【设计意图】要求学生自己去发现利用弦相等来推导结果，是不现实的，因为思维的跨度太大，所以，此时教师的引导是必要的。由学生自己推导，让他们熟悉推导过程，体会发现问题的艰辛与快乐。然而，由于此时推导的目标不明确，所以对学生的观察能力与分析能力的要求是很高的，同时也体现了问题探究的开放性本质，这对学生思维品质的要求是非常高的，所以教师要根据不同的情况随时对学生进行引导。
设置情景：请两位同学上黑板展示他们所推导的结果
情感教育：学生经过长时间的探索得出上面的结果，可是这并不是大家所需要的，学生难免有些恢心，此时教师抓住学生的这个心理及时的进行情感教育，鼓励他们要像数学家一样有坚忍不拔的毅力，锲而不舍的科学精神与态度，总结经验继续探索！
【设计意图】自然而及时的引入情感教育既可以缓解紧张的课堂气氛又可以教育学生勇敢面对挫折。
3、在单位圆中探究角
所蕴含的等量关系
教学内容：总结刚才我们所得的探究结果我们发现：当我们找圆心角大小为所对的两条相等弦时，我们推导出
的表达式，而当我们找圆心角大小为
所对的两条相等弦时，我们推导出
的表达式。那么，我们是否可以这样猜想：当我们找到两条弦，它们所对的圆心角大小为
时，我们就可以得出
的表达式呢？
师生活动：
教师------前面我们将
角的终边逆时针旋转了
角，于是找到了圆心角大小为
的
，类比这种做法你们还能找到另外一个大小为的圆心角吗？
学生------能，我们可以将角的始边顺时针旋转角，构造出另一个大小为的圆心角。
教师------非常好，其实我们将角的始边顺时针旋转角得到的是直角坐标系中的
角，设角的终边与单位圆交点为
.
【设计意图】
是为了构造另一个大小为的圆心角。如果直接告诉学生我们研究所蕴含的等量关系，学生觉得很突然，而我们在研究所蕴含的等量关系时所得出的结果并不理想，这时候学生迫切的希望找一个与相关，又能帮助解决问题的角，自然就想到了。这样无论是在情感上还是思维的跨度上学生都更容易接受。让学生有一种柳暗花明的感觉，在探索中获得乐趣获得自信。
设置情景：教师在课件上出示各角的终边与单位圆的交点及坐标
师生活动：
教师------请同学们在图中找出圆心角大小为所对的一组相等弦
学生------
设置情景：类似于前面两个等式的推导方法，教师在课件上给出演算过程及结果
【设计意图】由于学生经过前面的学习对推导过程已经很熟悉了，为了避免重复，所以由教师直接展示演算过程。
师生活动：
教师------是任意角，同学们你们可以由上面的公式得到
吗？
学生------用
代上面公式里的可得
教师------非常好，这两个公式就是我们今天所要探究的结果--------两角和与差的余弦公式。
【设计意图】让学生体会由代的整体代换思想，为以后的变角思想做铺垫。同时让学生体会公式中角的任意性。
4、公式的记忆
教学内容：先由学生总结公式的特点，教师及时的进行补充，然后课件出示公式的结构特点的总结，让学生大声朗读公式，记忆公式。
【设计意图】公式的记忆很重要，是今后灵活运用公式解题的关键，所以此时要强调。
5、例题精讲
例题1、利用公式计算
【设计意图】掌握公式的简单应用，与课题的引入形成呼应。通过将
角转化为
和
的和再利用公式计算，让学生体会转化与化归的数学思想方法。
课堂练习
【设计意图】体会公式的逆用和变形用
例题2、已知
，
求
【设计意图】综合运用所学知识解题
变式题：已知
，
求
【设计意图】通过由已知角的和或者差表示未知角，让学生体会变角的思想，同时也进一步理解两角和差的余弦公式中角的任意性。
三、课堂小结
1、这节课我们学到哪些知识？
2、我们是怎么获得这些知识的？
3、你有什么感悟与体会？
【设计意图】让学生回顾本节课主要内容，完善学生的认知结构，体会数学思想方法。
四、布置作业
教学反思
这是一堂数学味道很浓的课，既有深度又有广度。教师在教学中不断的向学生渗透数学思想和方法。有猜想与证明，数形结合，转化与化归，从特殊到一般，类比，联想，整体代换等数学思想与方法。同时还有数学情感教育的渗透，并取得一定的效果。例题的设置也很典型，知识涵盖全面而丰富。然而通过反思，我觉得这堂课的容量较大，而学生练习时间较少，所以在接下来的习题课中教师要有意识的去强化学生的动手能力。
视频来源：优质课网 www.youzhik.com
