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视频课题：高中数学人教A版必修二《祖暅原理与柱体、锥体、球体的体积》吉林省优课
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高中数学人教A版必修二《祖暅原理与柱体、锥体、球体的体积》吉林省优课
探索与发现
祖暅原理与柱体、锥体、球体的体积
一、教学目标
1、介绍祖暅原理，运用祖暅原理推导柱体、锥体、球体体积公式，帮助学生掌握公式，运用公式解决实际问题。
2、动画演示由祖暅原理推导柱体、锥体、球体体积公式的过程，动画演示体积公式的正确性。 3、充分利用现代信息技术手段，辅助教学活动，充分调动学生学习积极性，激发学生的学习兴趣。 二、学科素养
理论来源于实践需要，又对实践具有指导作用
通过实践观察，抽象几何体，并通过对几何体的现论研究，指导社会实践，培养学生的抽象思维：即先将实物抽象成数学模型，进行理论研究，再用来指导实践；通过对几何图形的观察分析，进行必要的数学运算、培养学生的运算能力和实践能力；通过动画演示，冲击学生视觉，激发学习兴趣同时，培养学生的创造性能力，用数学眼光来观察世界，以掌握知识，形成技能，掌握数学思想方法，形成各种能力。
三、重点、难点：
1、重点：运用祖暅原理推导柱体、锥体、球体的体积公式；应用公式解决相关问题。 2、难点：对公式的理解掌握及灵活运用 四、教学过程： 导入：（动画演示）
当今社会大气污染现象己经非常严重，污染区的人们时刻渴望着能呼吸到新鲜的空气，如果我们有一天遇到好的空气资源，用某种容器把空气收集起来，制成空气罐头，人们就可以随时随地呼吸到新鲜的空气。而制造这种容器，我们即要考虑人的肺活量，还要考虑是否携带方便。所以就要考虑容器的容积，也就是所盛装物体的体积问题。我们都知道，求物体的体积问题，是日常生活和生产实践中的一个常见问题。比如：计算容器的容积以了解所盛物体的体积；生产机器零部件所需原料的体积；机械工程铸造零件、工程建筑所需原料的多少等等问题。
这堂课，我们利用祖暅原理推导柱体、锥体、球体的体积公式。 （动画演示祖暅原理） 1、祖暅原理
祖暅 ，字景烁，祖冲之之子，范阳郡蓟县人，南北朝时代的伟大科学家。在数学上有突出贡献，他在实
践的基础上，于5世纪末提出下面的体积计算原理：
祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”。“势”即是高，“幂”是面积。意思是，如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积恒等，那么这两个几何体的体积相等。
祖暅原理：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等。
（动画演示） 2、柱体和锥体的体积
设有底面积都等于S，高都等于h的任意一个棱柱、一个圆柱和一个长方体，使它们的下底面在同一个平面内。根据祖暅原理，可知它们的体积相等。由于长方体的体积等于它的底面积乘以高，于是我们得到柱体的体积公式
V柱体=Sh
其中S是柱体的底面积，h是柱体的高。
设有底面面积是S，高都等于h的两个锥体，使它们的底面在同一平面内。根据祖暅原理，可推导出它们的体积相等。
事实上，对于一个任意的锥体，设它的底面积为S，高为h，那么它的体积应等于一个底面积为S，高为h的三棱锥的体积，即这个锥体的体积为
V锥体=1/3 Sh
（动画演示） 3、球体的体积
取一个底面半径和高均为R的圆柱，从圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥，把所得的几何体与半球放在同一个水平面上，用任意平面去截这两个几何体，截面分别为圆面和圆环面。
设截面与底面的距离为L，截半球所得圆面的半径为R，设截面面积为S1则r2=R2—L2 ，于是截面面积为
S1=
=
(R2—L2) =
R2—
L2.
由上述可知：圆环大圆半径为R,小圆半径为L,设其面积为S2，则S2=
R2—
L2.
所以，S1= S2。截面面积相等，根据祖暅原理，这两个几何体的体积相等。即
1/2V球=
R3—1/3
R3= 2/3
R3
所以球的体积
V球=4/3
R3. 例1、（动画演示）在一个底面面积为S，高为h的圆柱中，挖去一个以圆柱上底面为底面，顶点在下底面圆心上的圆锥，求剩下部分的几何体的体积。
例2、（动画演示）将一个长方体沿相邻三人面的对角线截出一个棱锥，求棱锥的
体积与剩下的几何体体积的比。
例3、（图片）己知圆柱的底面直径与高都等于球的直径。 求证：球的体积等于圆柱体积的2／3;
例4、（动画演示）己知一个球的内接正方体的棱长为2，求球的体积。
思考题：己知一个半径为R半球内，有一个内接正六棱锥，棱锥底面在切面的大圆上，求六棱锥的体积。
小结：（动画演示）这堂课我们利用祖暅分别推导出了柱体、锥体还有球体的体积公式。前题是我们知道长方体的体积公式，然后由长方体的体积公式和祖暅原理，推出了一般柱体的体积公式，接着又根据三棱柱的体积公式，推出了三棱锥的体积公式；接着用祖暅原理推出了一般锥体的体积公式，然后又利用圆柱体和圆锥体的体积公式推出了球体的体积公式。
利用本节课学到的知识，我们我们己经可以计算一些呈几何体形状的物体的体积或容器的容积，比如我们前面提到的制做空气罐头的容器的容积。一个容器如果能分割成多个比较规范的几何体，可以分别求各个几何体体积然后再求它们的和。便可求得整个容器的容积，也就是所能装物体的体积；如果容器不规范，我们可以用实验去验证它的容积。
课后作业
教材《复习参考题》B组1、2、4题。
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