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视频标签：棱锥与球的内接问题
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视频课题：高中数学人教A版三年级棱柱、棱锥与球的内接问题_广东省优课
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高中数学人教A版三年级棱柱、棱锥与球的内接问题_广东省优课
棱柱、棱锥与球的内接问题
高三（4）班
一、教学目标
1、知识与技能：让学生在自主探究中掌握求直棱柱、一条侧棱垂直于底面的棱锥内接球的解法方法。 2、过程与方法：通过正方体内接于球的分析，归纳与总结，让学生体会由特殊到一般的数学研究方法，在总结的过程中，培养学生的想象能力和类比推理能力。
3、情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣和积极性，陶冶学生的情操，培养学生坚忍不拔的意志，实事求是的科学学习态度和勇于创新的精神。
二、教学重点、难点
重点：掌握直棱柱内接于球，有一条侧棱垂直于底面的棱锥内接球的解法方法。 难点：对具体的立体图形的理解，并能用割补的方法、方程的思想解决问题。
三、教学过程：
（一）知识点回顾 1、常用结论
①若Rt△ABC内接于圆O，则圆O的圆心为斜边BC的中点。即半径R=
12
BC ②若等边△ABC内接于圆O，则圆O的圆心为△ABC 的重心。设CD是△ABC 的高，则半径R=
23
CD ③若长方体内接于球O，则球心为长方体的对角线的中点。设长方体的长，宽，高分别为a,b,c，则球O的半径22212Rabc
；特别的，若边长为a的正方体内接于球O，则球O的半径32
Ra 2、探究正方体内接于球时，球心的位置的确定方法，并总结出棱柱内接于球时，球心的确定方法。
结论：棱柱内接于球时，球心是棱柱上下底面外接圆圆心的连线的中点
（二）例题分析
例1、已知三棱柱ABC-A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上。AB=3,AC=4,ACAB, AA1=12,则球O的半径为（ ） A．
317
2
B．210 C．132 D．310
变式：自半径为4的球面上一点M，引球的三条两两垂直的弦MCMBMA,,，则
222MCMBMA= ．
题后总结：若内接于球的棱锥中，有一条侧棱垂直于底面，则可将该棱锥补成直棱柱，再利用直棱柱
与球的内接关系解题。更特殊的，若该棱锥的底面是直角三角形或矩形，则可将其补成长方体，再利用长方体与球的内接关系解题。
例2、已知三棱锥P-ABC，在底面ABC中，60,3,oABCPA面ABC，23PA，则此三棱锥的外接球的表面积为（ ） A．
163
B．43 C．32
3 D．16
（三）课堂练习
1、如图所示，一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，则该三棱锥的外接球的 表面积为
2、正三角形ABC的边长为2，将它沿高AD翻折，使点B与点C间的距离为3，此时四面体ABCD外接球表面积为（ ）
A．7 B．19 C．
767 D．196
19
（四）思维拓展
1、《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马;将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥PABC为鳖臑, PA⊥平面ABC, 2PAAB，
4AC, 三棱锥PABC的四个顶点都在球O的球面上, 则球O的表 面积为 （ ）
（A）8 （B）12 （C）20 （D）24
2、一个几何体的三视图如图所示，该几何体外接球的体积为 。
（五）课堂小结
（1）棱柱、有一条侧棱垂直于底面的棱锥内接于球的问题的解决思路 （2）割补的方法在立体几何问题中的应用 （3）方程思想的应用
（六）课后思考
如图，设正四面体S-ABC的棱长为a，球O的半径为R，试确定R与a的关系。
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