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视频课题：高中数学人教A版必修二《祖暅原理与柱体、锥体、球体的体积》黑龙江
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高中数学人教A版必修二《祖暅原理与柱体、锥体、球体的体积》黑龙江
《祖暅原理与柱体、锥体、球体的体积》教学设计
一、 教学目标：
知识与技能：理解祖暅原理的含义，理解运用祖暅原理推导柱体、锥体、球体体积的思路与方法。掌握柱体、锥体、球体的体积公式并能运用这些公式解决相关问题。
过程与方法：通过实物展示、动画展示和学生动手操作实验，引导学生分组合作、探究学习。学生经历观察、猜想、证明的过程，充分体会到祖暅原理的含义及应用。提高学生归纳推理能力和形成用割补法解题的数学思想方法。 情感、态度、价值观：学生通过了解祖暅和他父亲祖冲之在数学方面的伟大贡献，激发了他们学习数学的兴趣与热情，弘扬了民族自尊心与自豪感。 二、 教学重、难点： 教学重点：利用祖暅原理探究柱体、锥体、球体的体积及运用体积公共解决问题。 教学难点：利用祖暅原理探究球体积公式的猜想及证明。 三、 教学方法及教具准备：
教学方法：探究讨论法、启发引导式、数学实验法
教具准备：电子白版、PPT、圆柱、半球、圆锥模型，水、豆粒等。 四、 教材分析：
《祖暅原理与柱体、锥体、球体的体积》是新课标2003人教A版高中数学必修二第一章《空间几何体》第三节后面的探究与发现内容。是在学生们已经认识了简单几何体、组合体、三视图及知道了柱体、锥体、球体体积公式的基础上来学习研究的。本节内容主要是通过数学实验法，利用祖暅原理来研究柱体、锥体、球体的体积。本节内容的设计，一方面让学生通过了解祖暅这位伟大的数学家，对祖暅原理产生浓厚的探究兴趣；另一方面通过本节内容的学习，学生们不仅可以掌握棱柱、棱锥、球的体积公式，还可以利用祖暅原理求一些不规则几何体的体积，可以进一步提高学生们的空间想象能力，也激发了学生强烈的探索欲望，油然而生了民族自豪感。 五、 学情分析：
学习本节内容时学生已经进入高一下学期了，而且这部分学生也是基础较好的学生，他们思维敏捷、善于观察，养成了从多角度思考问题的好习惯，有较强的计算能力和逻辑推理能力。在将近一年的高中数学学习中，学生们已经基本形成了观察、猜想、推理、实验、证明、进而得出结论的数学思想方法与过程，有较强的动手操作能力，他们善于利用集体的智慧来解决问题。在本课的数学学习中，通过实物展示、动画演示、动手实验等一系列比较形象直观的过程，让学生们产生了浓厚的学习兴趣和探索欲望，激励他们主动分组讨论、合作探究，完成了由观察到猜想、由猜想到实验、由实验到推理、由推理到证明这一系列的过程。可以大大提高学生们的归纳推理能力和实践操作能力。学生们也在整个学习过程中进一步体会到割补法和归纳推理的数学思想方法，这也为今后他们数学能力的提升奠定了基础。 六、 教学过程：
（一）创设情境、导入新课：首先老师请同学们欣赏两张图片，看看大家认不认
识这两个人，第一张是祖冲之，第二张是祖暅，（学生们都认识祖冲之，
而且对祖冲之在数学方面的贡献也有一定的了解，而却不认识祖暅），那就让我们一起来认识一下这位伟大的数学家。出示祖暅简介：祖暅，字景烁，祖冲之之子，范阳郡蓟县人（今河北省涞源县人），南北朝时代的伟大科学家。祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上，于5世纪末提出了体积的计算原理。祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”。“势”即是高，“幂”即是面积。（引出课题） （二）合作探究、推进新课：
1、祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”。找一名同学说一下对这句话的理
解，再结合动画演示，说明两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面面积都相等，则这两个几何体的体积相等。
2、分析祖暅原理：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个
平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等。
3、祖暅原理的提出要比其他国家的数学家早一千多年，在欧洲直到17世纪，
才有意大利数学家卡瓦列里提出了上述结论。祖冲之父子是我们中华民族的骄傲和自豪。
4、找学生举一下身边的实例说明祖暅原理的应用。 5、探究一：祖暅原理与柱体的体积 设有底面积都等于S，高都等于h的任意一个棱柱、一个圆柱和一个长方体，使它们的下底面在同一平面内。你能得到什么结论？
由学生归纳总结：
由祖暅原理可得：V柱体=Sh 其中S 是柱体的底面积， h是柱体的高。 例1: 例: 如图，是某几何体的三视图。由祖暅原理知：“幂势既同，则积不容异”。已知某不规则几何体与如图所示的几何体满足“幂势同”，求该不规则几何体的体积。(图中所给长度均为厘米)
解： 所以某不规则几何体的体积是以8-π立方厘米 6、探究二：祖暅原理与锥体的体积
设有底面积都等于S，高都等于h的两个锥体（如图：一个棱锥和一个
-8212
1
-2-23半个圆柱正方体VVV
A'
ABCC
C'B'A'A'BB'CA'AB
B'C'C
圆锥），使
它们的下底面在同一平面内。你能得到什么结论？（等底面积等高的两个锥体的体积相等）
思考：如何把一个三棱柱分割成三个等体积的棱锥？
学生分组讨论如何分割并且证明分割出的三个锥体的体积相等。
由学生归纳得出锥体的体积公式：结论：对于一个任意的锥体，设它的底面
积为S，高为h，那么它的体积应等于一个底面积为S，高为h的三棱锥的体积。即
例2：例：三个直角三角形如图放置，它们围绕固定直线旋转一周形成几何体，求出该几何体的体积（图中的长度单位是厘米）。
sh
V31锥体
7、探究三：祖暅原理与球体的体积
根据球的对称性，先来探究半球的体积。
思考：如何找到一个与半球等体积的“替代品”呢？
学生猜想并分组实验，动手操作后，分组展示自己的实验结果。
通过学生们的动手操作和观察动画演示，学生们找到了与半球等体积的“替代品”是圆柱，并且猜测：半球的体积等于圆柱的体积减去圆锥的体积。 8、学生分组讨论后得出半球体积公式的推导与证明：
平行于大圆且与大圆的距离为l的平面截半球所得圆面的半径2
2lRr，于
是截面面积2222221)(SlRlRrS由此可以得出
V半球=V圆柱-V圆锥=3
R-331R=332R，所以V球=3
34R
例3： 一个正四面体的所有棱长都是 厘米，四个顶点都在同一球面上，求此球的体积。
（找学生到黑板上来做）
2
（三）课堂练习、巩固强化
1、一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为a，则球的体积是（ ）
2、某几何体的三视图如图，求该几何体的体积。(图中所给数字单位为厘米)
（四）畅所欲言、课堂小结
1 总结一下你在本节课中获得的知识和学习心得 祖暅原理
柱、锥、球的体积公式 学生感想
（五）布置作业
1、三棱锥P-ABC三条侧棱两两互相垂直，且PA=1,PB=2,PC=3,求它外接球的体积。
2、三棱锥P-ABC中侧棱PA长为3且垂直于底面ABC，底面是边长为2的正三角形，求这个三棱锥外接球的体积。 （六）课后探究：
1、利用祖暅原理探究台体的体积公式。 2、球、柱、台、锥体体积之间的关系。
七、 教学反思：本节课通过展示祖冲之父子的图片引出课题，通过学生们对
祖冲之的了解，再加上对祖暅的个人简介，学生们油然而生了对他们父子的敬仰之情，进而产生了强烈的民族自豪感。也对本课内容产生了浓厚的学习兴趣，再利用动画演示和学生们的实物展示，使学生们对祖暅原理有了进一步的了解与认识，并激发了他们强烈的探索愿望。本节课是利用祖暅原理探究和推导柱体、锥体、球体的体积公式，通过实物展示和动画演示相结合，使学生们对祖暅原理有了初步的了解和认识。课堂上学生们通过分组讨论、合作探究、实验操作一气呵成，完成了对柱体、锥体、球体体积公式的推导，尤其是通过数学实验，学生不仅从感观上理解了球的体积，更是加强了对球体积公式的记忆和动用，也进一步提高了他们的动手操作能力和小组合作探究能力。在整个教学过程中，学生们都全神贯注，积极参予，学习的热情和探索的乐趣在本节课中充分展现出来，美中不足的是在利用柱体体积推导锥体体积的过程中，学生们讨论不够热烈，有些学生来比较拘紧，课堂气氛不太活跃。但是从整体上看学生们在教师的引导下思维活跃，参予度高，表现非常优秀，较好地突出了本节课的教学重点，突破了教学难点。
《祖暅原理与柱体、锥体、球体的体积》教材及学情分析
抚远一中：张坤
教材分析：
《祖暅原理与柱体、锥体、球体的体积》是新课标2003人教A版高中数学必修二第一章《空间几何体》第三节后面的探究与发现内容。是在学生们已经认识了简单几何体、组合体、三视图及知道了柱体、锥体、球体体积公式的基础上来学习研究的。本节内容主要是通过数学实验法，利用祖暅原理来研究柱体、锥体、球体的体积。本节内容的设计，一方面让学生通过了解祖暅这位伟大的数学家，对祖暅原理产生浓厚的探究兴趣；另一方面通过本节内容的学习，学生们不仅可以掌握棱柱、棱锥、球的体积公式，还可以利用祖暅原理求一些不规则几何体的体积，可以进一步提高学生们的空间想象能力，也激发了学生强烈的探索欲望，油然而生了民族自豪感。
学情分析：
学习本节内容时学生已经进入高一下学期了，而且这部分学生也是基础较好的学生，他们思维敏捷、善于观察，养成了从多角度思考问题的好习惯，有较强的计算能力和逻辑推理能力。在将近一年的高中数学学习中，学生们已经基本形成了观察、猜想、推理、实验、证明、进而得出结论的数学思想方法与过程，有较强的动手操作能力，他们善于利用集体的智慧来解决问题。在本课的数学学习中，通过实物展示、动画演示、动手实验等一系列比较形象直观的过程，让学生们产生了浓厚的学习兴趣和探索欲望，激励他们主动分组讨论、合作探究，完成了由观察到猜想、由猜想到实验、由实验到推理、由推理到证明这一系列的过程。可以大大提高学生们的归纳推理能力和实践操作能力。学生们也在整个学习过程中进一步体会到割补法和归纳推理的数学思想方法，这也为今后他们数学能力的提升奠定了基础。
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