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视频标签：探究与发现,祖暅原理,几何体的体积
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视频课题：高中数学人教A版必修二探究与发现-祖暅原理与几何体的体积
教学设计、课堂实录及教案：高中数学人教A版必修二探究与发现 祖暅原理与几何体的体积
探究与发现 祖暅原理与几何体的体积
一、 教学内容分析
本节是必修2第一章的“探究与发现”内容，是在学生已经初步学习了柱体、锥体、球体的体积公式的基础之上对体积公式的由来的进一步探究，主要内容为用祖暅原理推导柱体、锥体、球体的体积公式；通过模型演示，利用祖暅原理，推广到柱、锥、球体的体积计算.通过学习，使学生感受几何体体积的求解过程，初步了解解决空间几何体问题的思想方法,逐步提高解决空间几何体问题的能力。 二、 学生学习况情分析
学生是在义务教育阶段学习的基础上展开的，具有一定的直观感知、操作确认、度量计算等方法。他们的思维正从属于经验性的逻辑思维向抽象思维发展，但仍需要依赖一定的具体形象的经验材料来理解抽象的逻辑关系。同时思维的严密性还有待加强。 三、设计思想
1、由祖暅原理推导柱、锥以及球的体积．其结构图如下：
2.结合参加我校组织的两个课题《对话——反思——选择》和《新课程实施中同伴合作和
师生互动研究》的研究，在本课的教学中我努力实践以下两点：
⑴.在课堂活动中通过同伴合作、自主探究培养学生积极主动、勇于探索的学习方式。 ⑵.在教学过程中努力做到生生对话、师生对话，并且在对话之后重视体会、总结、反思，力图在培养和发展学生数学素养的同时让学生掌握一些学习、研究数学的方法。
3.通过课堂教学活动向学生渗透数学思想方法，让学生在数学活动中感受数学思想方法之
祖暅原理
体积概念
长方体的体积
柱的体积
锥的体积
球的体积
根 据
转 化
美、体会数学思想方法之重要；同时通过本节课的学习，培养学生主动学习、合作交流的意识。 四、教学目标
根据任教班级学生的实际情况，本节课我确定的教学目标是：
（1）理解祖暅原理的含义，理解利用祖暅原理计算几何体体积的方法；
（2）在发现祖暅原理的过程中，体会从“平面”到“空间”的类比、猜想、论证的数学思想方法；体会祖暅原理中由“面积都相等”推出“体积相等”的辩证法的思想；
（3）在推导棱柱体积公式的过程中，理解从特殊到一般，从一般到特殊的归纳演绎的数学思想方法是学习数学概念的基本方法；掌握棱柱、棱锥、球体的体积公式；
（4）通过介绍我国古代数学家对几何体体积研究的成果，激发学生的民族自豪感，提高学生学习数学的兴趣. 五、教学重点与难点
教学重点：理解祖暅原理的含义，以及柱体、锥体、球体的体积公式的探究； 教学难点：运用祖暅原理推导几何体体积，学生探究能力的培养。 六、教学过程：
（一）创设情景、提出问题(约3分钟)
主要是从学生获取知识遵循“从特殊到一般，由浅入深，由易到难，循序渐进”的原则出发，符合学生的认知水平和接受能力. 二、说教法与学法 教法：
1、为了培养学生自主学习的能力以及使得不同层次的学生都能获得相应的满足.因此本节课采用探究性教学.
2、根据本节课的特点也为了给学生的数学探究与数学思维提供支持.
学法：为了发挥学生的主观能动性，提高学生的综合能力，确定了探究性学习法：通过分析、探索得出柱体、锥体、球体的体积公式；
四、教学思路
2、案例设计 Ⅰ导入课题
回顾已经学习的柱体、锥体、球体的体积公式，并发问：这些公式怎么来的?
（设计意图：让学生产生疑问，带着疑问主动的探究柱体、锥体、球体的体积公式的由来） Ⅱ探究新知 1、祖暅原理的引入
通过小实验引入祖暅原理，让学生直观感知祖暅原理的正确性，为接下来的应用祖暅原理推导公式提供理论基础 2．探究柱体的体积公式
柱体（棱柱，圆柱）的体积公式：
ShV S---底面积 h-----高
（设计意图：利用祖暅原理把求一般柱体体积转化为求特殊棱柱——长方体的体积，从而推导一般柱体的体积） 3、探究锥体的体积公式
①如何把一个三棱柱分割成三个等体积的棱锥？
锥体的体积ShV3
1
， S---底面积 h-----高 ②等底等高的棱锥与圆锥体积相同
1
2 3
1
2
3
4、探究球体的体积 ①提出问题V球=?
为了计算半径为R的球的体积，可以先计算半球的体积。让学生自测圆柱、半球、圆锥散着体积的大小，得V圆柱>V半球>V圆锥
由于 V圆柱=3R，V圆锥=31R3 是已知的，便得R3>V半球>31
R3
,可以先引导学生猜想V半球=？（其中，可将R3的系数1改写为33，得33 R3
>V半球>31
R3
。）
为了运用祖暅原理，引入的几何体必须符合两个条件：一是计算公式是已知的；二是符合祖暅原理的条件，即该几何体与原几何体要夹在两个平行平面之间，且用平行于这两个平面的任意一个平面截得的截面面积总相等。符合以上两个条件的几何体可叫做原几何体的参照体，在前面推导柱、锥的体积时已多次引用此术语。
图中两几何体同高（R），故可夹在两个平行平面之间，剩下的问题是证明两个等距截面的面积相等。
用与底面平行的任一平面去截两个几何体，截面分别是圆面和圆环面。如果截面和平面的
距离为l，那么圆面的半径r=2
2lR，圆环面的大圆半径为R，小圆半径为l，因此
圆锥圆柱半球VVV
RRRRV223121球 33
2
R 所以球的体积 33
4
RV球
点评：利用祖暅原理求几何体的体积，关键是找出一个满足条件的能够求出体积的几何体
Ⅲ课堂小结：
本节课的主要内容为祖暅原理及利用原理探究柱体、锥体、球体的体积公式.
1.教学重心应该放在培养学生经历“实验、猜测、论证”的学习方法上
2.突破的关键点是探究式教学应用，着重引导学生建构实验、猜测、论证的学习方法 3.设计时要照顾学生的知识起点，地域，环境等差异,根据学生不同基础设计差异化的练习。
视频来源：优质课网 www.youzhik.com
