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视频课题：人教A版高一数学必修一1.2.1函数的概念-重庆市优课
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高中数学人教版A版 第一章 集合与函数的概念 思想：变化与对应
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1.2.1函数的概念教学设计（第一课时）
教学目标
知识目标—— 通过丰富的实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要
数学模型；用集合与对应的思想理解函数的概念；理解函数的三要素及函数符号的深刻含义；会求一些简单函数的定义域及值域。
能力目标—— 培养学生观察、类比、推理的能力；培养学生分析、判断、抽象、归纳
概括的逻辑思维能力；培养学生联系、对应、转化的辩证思想；强化“形”与“数”结合并相互转化的数学思想。
情感目标—— 渗透数学思想和文化，激发学生观察、分析、探求的兴趣和热情；强化
学生参与意识，培养学生严谨的学习态度，获得积极的情感体验；体会在探究过程中由特殊到一般、从具体到抽象、运动变化、相互联系、相互制约、相互转化的辩证唯物主义观点；感受数学的简洁美、对称美、数与形的和谐统一美；树立“数学源于实践，又服务于实践”的数学应用意识。
教学重点：函数的概念，函数的三要素.
教学难点：函数概念及符号y=f(x)的理解. 教学用具：多媒体 教学过程： 设计环节 设计意图
师生活动
一、 创设问题情境 ， 引出课题 。
视频引入，提出万物皆变的观点，引出我们的课题函数
今天学习函数的演变过程，复习初中所学的函数概念以及函数类型。
以实际问题为背景，以学生熟悉的情境入手激活学生的原有知识，形成学生的“再创造”欲望，让学生在熟悉的环境中发现新知识，使新知识和原知识形成联系，同时也体现了数学的应用价值。通过问题1这个用已有概念不太容易回答的问题，引发学生的认知冲突，有着承上启下的作用。既是对初中已学的函数概念的进一步深入，又是为下一步用集合语言来刻画函数的本质做好伏笔。
视频引入，万物皆变，量的变化，变量之间的关系，函数；这就是今天我们要学习的课题：函数的概念（板书），函数概念的发展线。 函数最早1673由莱布尼茨提出，后经过康托尔集合论的发表揭示了函数的本质，1859清代数学家李善兰将函数引入中国 教师提出问题1：
我们在初中学习过函数的概念，它是如何定义的呢？在初中已经学过哪些函数？（在学生回答的基础上出示投影）传统定义，1837年，以狄利克雷为代表的变量说，是函数发展的起萌。
我们已经学习了一些具体的函数，那么为什么还要学习函数呢？先请同学们思考下面的两个问题：
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二、 借助信息技术 ， 讨论归纳 。
以实际问题为载体，以信息技术的作图功能为辅助。在三个实例的教学中，重点在于引导学生体会函数概念中的对应关系。通过实例1，体会用解析式刻画变量之间的对应关系，关注t和h的范围；通过实例2体会用图象刻画变量之间的对应关系，关注t和S的范围；通过实例3体会用表格刻画变量之间的对应关系。
为了更好地使学生尝试用集合与对应的语言进行描述，可以利用信息技术设置教学情境。通过学生的观察、思考、讨论来归纳结论，体现了学生自主探究的学习方式。让他们通过实践来进一步体验到在集合对应观下的函数内涵，也为学生应用信息技术解决数学问题提供了一种新的途径和方法。
师：（实例1）演示动画，用《几何画板》动态地显示炮弹高度h关于炮弹发射时间t的函数。启发学生观察、思考、讨论，尝试用集合与对应的语言描述变量之间的依赖关系：在t的变化范围内，任给一个t，按照给定的解析式，都有唯一的一个高度h与之相对应。
生：用计算器计算，然后用集合与对应的语言描述变量之间的依赖关系。 师：（实例2）引导学生看图，并启发：在t的变化范围内，任给一个t，按照给定的图象，都有唯一的一个臭氧空洞面积S与之相对应。
生：动手测量，然后用集合与对应的语言描述变量之间的依赖关系。 师生：（实例3）共同读表，然后用集合与对应的语言描述变量之间的依赖关系。
问题2：分析、归纳以上三个实例，它们有什么共同特点？
生：分组讨论三个实例的共同特点，然后归纳出函数定义，并在全班交流。
师生：由学生概括，教师补充，引导学生归纳出三个实例中变量之间的关系均可描述为：
对于数集A中的每一个x，按照某种对应关系f，在数集B中都有唯一确定的y与它对应，记作f:A→B 三、 从特殊到一般 ， 引出函数概念 。
从特殊到一般，揭示数学通常的发现过程，给学生“数学创造”的体验。这种引出概念的方式自然而又易于学生接受和形成概念。
注重双语，规范数学概念的理解。在涉及的每一个数学概念其后注明英语，有利于教师实施双语教学，也有利于教师和学生阅读外文数学材料，这也是体现新课标实验教材的创新之处。
函数y=f(x)是学生学习的难点，这是一个抽象的数学符号。教学时首先要强调符号“y=f(x)”为“y是x的函数”这句话的数学表示，它仅仅是数学符号，而不是表示“y等于f与x的乘积”。在有些问题中，对应关系f可用一个解析式表示，但在不少问题中，
问题3：函数能否看做是两个集合之间的一种对应呢？如果能，怎样给函数重新下一个定义呢？（在学生回答的基础上教师归纳总结）
设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在数集B中都有唯一确定的f(x)和它对应，那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数（function）.记作y=f(x)．x∈A．自变量x的取值范围A叫做函数的定义域（domain）；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域（range）．
1930年函数“关系说”近代函数定义
在函数概念得出后，教师强调指出“y=f(x)”仅仅是数学符号。为了更好地理解函数符号y=f(x)的含义，教师提出下一个问题： 问题4：函数的三要素是什么？
教师引导学生归纳总结：函数的三要素是定义域、值域及对应法则。在函数的三要素中，当其中的两要素已确定时，则第三个要素也就随之确定了。如当函数的定义域，对应法则已确定，则函数的值域也就确定了。
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对应关系f不便用或不可能用解析式表示，而用其他方式（如图象、列表）来表示。所以教师应向学生明确指出，y=f(x)不一定就是解析式，函数的表示方式除了解析式外，还有其它表示方法，如实例2的图象法，实例3的列表法。
问题5：y=f(x)一定就是函数的解析式吗？
师生：函数的解析式、图象、表格都是表示函数的方法。
启发并引导学生思考、讨论、交流，教师归纳总结出函数的要点： 1．函数是一种特殊的对应——非空数集到非空数集的对应；
2．函数的核心是对应法则，通常用记号f表示函数的对应法则，在不同的函数中，f的具体含义不一样。函数记号y=f(x)表明，对于定义域A的任意一个x在“对应法则f”的作用下，即在B中可得唯一的y.当x在定义域中取一个确定的a，对应的函数值即为f(a).集合B中并非所有的元素在定义域A中都有元素和它对应；值域BC； 3．函数符号y=f(x)的说明： （1）“y=f(x)”即为“y是x的函数”的符号表示； （2）y=f(x)不一定能用解析式表示；
（3）f(x)与f(a)是不同的，通常，f(a)表示函数f(x)
当x=a时的函数；
（4）在同时研究两个或多个函数时，常用不同符号
表示不同的函数，除用符号f(x)外，还常用g(x)、F(x)、φ(x)等符号来表示。
四、 再创情境 ， 引导探究函数概念的新认识 。
问题7利用学生思维的空白处设置问题，能引起学生探究的欲望，从而自然引出以形求数的思想。接着，通过“引导”，给学生解决后续问题的方法，即观察图象的方法。
问题9引导学生对问题2进行反思和总结，并将之一般化，利用数学语言来表达，培养学生反思问题、总结归纳的习惯和善于运用数学语言抽象所发现的结论的能力。
问题6：比较函数的近代定义与传统定义的异同点，你对函数有什么新的认识？ 学生思考、讨论，教师点拨：
函数近代定义与传统定义在实质上是一致的，两个定义中的定义域与值域的意义完全相同。两个定义中的对应法则实际上也一样，只不过叙述的出发点不同，传统定义是从运动变化的观点出发，近代定义的对应法则是从集合与对应的观点出发。
五、 练习 交流 反馈
巩固
利用课堂练习巩固所学的知识内容、数学思想和方法，以求达到教学目标。本环节以个别指导为主，体现面对
全体学生的课改理念。
以学生回答、板演的形式进行，充分发挥师与生、生与生的互动，以教师、学生相互交流来巩固本节课的学习。
课堂练习：1集合之间的对应关系再次反映特殊对应关系，一对一或者多对一
练习2：下列图象中不能作为函数)(xfy的图象的是（ ）
x
yo2
2x
y
o2
2
x
y
o2
2
x
y
o2
2
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（A） （B） （C） （D） 练习三、判断解析式是否为函数
六、类比 函数对应法则
对应法则的类比
七、 学生归纳小结 ， 教师评价 。 关注学生学习的主动性，培养学生的合作意识，培养学生表达交流数学的能力。自主小结的形式将课堂还给学生，既是对一节课的简单回顾与梳理，也是对所学内容的再次巩固。 以同桌之间一人小结一人倾听的方式，以四人为一小组进行小组讨论，对本节课所学的内容进行自主小结，教师及时进行归纳总结： 1．函数的近代定义与传统定义的异同点； 2．集合与函数的联系、区别； 3．函数的三要素； 4．数形结合的思想。 八、 课后作业
作业分为三种形式，体现作业的巩固性和发展性原则。阅读作业中的问题思考是后续课堂的铺垫，而弹性作业不作统一要求，供学有余力的学生课后研究，它也是新课程标准里研究性学习的一部分。
1．阅读作业：通读教材，复习巩固，并思考表示函数有哪些方法？
2．书面作业：补充课本例题的资料
3．弹性作业：比较函数的近代定义与传统定义的异同点，你对函数有什么新的认识？请同学们举出几个具体函数例子，用传统定义不好解释，而用近代定义容易理解。 九、教师寄语
数学与生活的联系
情感态度价值观
教学流程：
知识结构：
创设问题情境，引出问题 借助信息技术，讨论归纳 从特殊到一般，引出函数概念 再创情境，引导探究函数概念的新认识 练习、交流、反馈、巩固 学生归纳小结，教师评价
课后作业 函数的概念
借助熟悉函数的平台，
加深对函数概念理解
师生释疑，深入研究 举例应用，深化目标
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“函数”的由来
“函数”一词最初是由德国的数学家莱布尼茨在17世纪首先采用的，当时莱布尼茨用“函数”这一词来表示变量x的幂，即x2，x3，„.接下来莱布尼茨又将“函数”这一词用来表示曲线上的横坐标、纵坐标、切线的长度、垂线的长度等等所有与曲线上的点有关的变量.就这样“函数”这词逐渐盛行.
在中国，古时候的人将“函”字与“含”字通用，都有着“包含”的意思，清代数学家、天文学家、翻译家和教育家，近代科学的先驱者李善兰给出的定义是：“凡式中含天，为天之函数.”中国的古代人还用“天、地、人、物”4个字来表示4个不同的未知数或变量，显然，在李善兰的这个定义中的含义就是“凡是公式中含有变量x，则该式子叫做x的函数.”这样，在中国“函数”是指公式里含有变量的意思.
瑞士数学家雅克·柏努意给出了和莱布尼茨相同的函数定义.1718年，雅克·柏努意的弟弟约翰·柏努意给出了函数了如下的函数定义：由任一变数和常数的任意形式所构成的量叫做这一变数的函数.换句话说，由x和常量所构成的任一式子都可称之为关于x的函数.
1775年，欧拉把函数定义为：“如果某些变量：以某一种方式依赖于另一些变量.即当后面这些变量变化时，前面这些变量也随着变化，我们把前面的变量称为后面变量的函数.”由此可以看到，由莱布尼兹到欧拉所引入的函数概念，都还是和解析表达式、曲线表达式等概念纠缠在一起.
首屈一指的法国数学家柯西引入了新的函数定义：“在某些变数间存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其它变数的值也可随之而确定时，则将最初的变数称之为„自变数‟，其它各变数则称为„函数‟”.在柯西的定义中，首先出现了“自变量”一词.
1834年，俄国数学家罗巴契夫斯基进一步提出函数的定义：“x的函数是这样的一个数，它对于每一个x都有确定的值，并且随着x一起变化.函数值可以由解析式给出，也可以由一个条件给出，这个条件提供了一种寻求全部对应值的方法.函数的这种依赖关系可以存在，但仍然是未知的”.这个定义指出了对应关系。即条件的必要性，利用这个关系以求出每一个x的对应值.
1837年德国数学家狄里克雷认为怎样去建立x与y之间的对应关系是无关紧要的，所以他的定义是：“如果对于x的每一个值，y总有一个完全确定的值与之对应，则y是x的函数.”
德国数学家黎曼引入了函数的新定义：“对于x的每一个值，y总有完全确定了的值与之对应，而不拘建立x，y之间的对应方法如何，均将y称为x的函数.”
上面函数概念的演变，我们可以知道，函数的定义必须抓住函数的本质属性，变量y称为x的函数，只须有一个法则存在，使得这个函数取值范围中的每一个值，有一个确定的y值和它对应就行了，不管这个法则是公式或图象或表格或其他形式.
集合与函数的关系 函数的三要素 近代定义与传统定义
对应关系
值域
定义域
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由此，就有了我们课本上的函数的定义：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有惟一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数.
柯西 法国数学家
函数的三种定义是贯穿其发展的一根红线。“变量说”是函数发展起萌的开始；“对应说”进一步揭示了函数的实质——对应关系；“关系说”有利地解决了函数只允许数与数对应的局限性问题，“关系说”也是目前函数的最一般形式化和最严格的定义。
视频来源：优质课网 www.youzhik.com
