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视频标签：导数的概念
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视频课题：人教A版高中数学选修2-2 1.1.2导数的概念-安徽省 - 芜湖
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教学目标
知识与技能:
(1)通过实例的分析,理解平均变化率、瞬时变化率的概念;了解平均变化率与瞬时变化率之间的关系;会用瞬时变化率求解导数的值;
(2)通过导数概念的形成过程,了解导数概念的实际背景,体会导数的思想及内涵;
(3)通过观察和动手实践培养学生的分析、比较和归纳的能力,并感悟到极限思想.
过程与方法:
(1)通过问题的探究,体会逼近、类比、以已知求未知、从特殊到一般的数学思想方法;
(2)通过问题的探究,培养学生的探究意识和探究方法.
情感、态度与价值观:
(1)通过导数概念的学习,体验和认同“有限和无限对立统一”的辩证观点,接受用运动变化的辩证唯物主义思想处理数学问题的方法;
(2)通过了解导数产生的历史及它在实际生活、生产和科研中的广泛应用及巨大作用,认识学习导数的必要性,从而激发学生学习导数的兴趣.
2学情分析
本节课的授课对象是理科实验班学生,学生已较好地掌握了函数的知识,又学过了直线的方程,并积累了一定的关于函数变化率的经验;另外,学生思维较活跃,对数学新内容的学习,有相当的兴趣和积极性,这为本课的学习奠定了基础.但导数概念建立在极限基础之上,超乎学生的直观经验,抽象度高;再者,本课内容思维量大,对类比归纳,抽象概括,联系与转化的思维能力有较高的要求,学生学习起来有一定难度.本节课旨在提升学生的思维能力,让学生理解导数的概念,并根据学生的实际情况做一定的深入探究。
3重点难点
教学重点:导数概念的形成过程及导数概念的内涵.
教学难点:对导数概念的理解.
4教学过程
4.1第一学时
4.1.1教学活动
活动1【导入】创设情境
1、回忆物理中学习过的打点计时器是怎么测量速度的——以较小时间范围内的平均速度代替瞬时速度.
回忆平均变化率的概念与公式.
2、播放10m跳台跳水录像片段.
3、奇怪的平均速度:
在10米高台跳水运动中,运动员相对水面的高度h(单位:m)与起跳后的时间t(单位:s)存在函数关系:
.
计算运动员在 这段时间里的平均速度.
思考下面的问题:
(1)运动员在这段时间里是静止的吗?
(2)运动员在 时,速度为0吗?
(3)用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?
直观的展示该函数的图象同时从物理角度解释.
以学生所了解的打点计时器、高台跳水开题,引发学生的学习兴趣.
新问题:平均速度为“0”?
引起学生的兴趣. 让学生带着问题走进课堂,激发学生求知欲.
教师引导学生回忆打点计时器的工作原理,体会平均速度与瞬时速度.
教师引导学生观看跳水的轨迹及速度变化.
教师抛出三个思考题.
一学生答题,其他学生补充;
教师总结. 引入新课.
活动2【讲授】引导发现
在跳水运动中,平均速度不能反映他在这段时间里运动状态,需要用瞬时速度描述运动状态.我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.
知道了瞬时速度的概念,那么在高台跳水运动中,如何求(比如,t=2)运动员的瞬时速度?
几何画板简单地直观展示,再做代数推导.
不妨先考察t=2附近的情况,可以分为t=2之前或者之后的区间,记作[2+ ,2] 、[2,2+ ]
>0时,在2s到(2+Δt)s这段时间内平均速度
培养学生的探究意识和探究方法,培养学生的动手操作能力.
教师利用几何画板就行直观展示,让学生发现问题.
教师引导学生运用平均变化率公式计算平均速度
<0时,在(2+ )s 到2s这段时间内平均速度
图表展示随着△t越来越趋向于0
平均速度的变化.
思考:当 趋近于0时,平均速度 有什么样的变化趋势?
结论:当 趋近于0时,即无论 从小于2的一边,还是从大于2的一边趋近于2时,平均速度 都趋近于一个确定的值 .
从物理的角度看,时间 间隔无限变小时,平均速度 就无限趋近于瞬时速度,因此,运动员在 时的瞬时速度是
为了表述方便,我们用
表示“当 , 趋近于0时,平均速度 趋近于定值 ”
小结:局部以匀速代替变速,以平均速度代替瞬时速度,然后通过取极限,从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值.
进而思考:
1.运动员在某一时刻 t0 的瞬时速度怎样表示?
2.函数 在 处的瞬时变化率怎样表示?
感受变化,动手探究.
借助直观的数据,归纳、探求导数的概念.
培养学生的探究意识和探究方法,培养学生的动手操作能力
培养学生从特殊到一般的推理能力和思维能力.
扫清了学生的思维障碍,更好地突破了教学的重难点,体验数学的简约美.
教师讲解数据的变化. 教师引导学生完成某时刻的瞬时速度的表示的推导
教师讲解,分析
全体同学笔练,一学生回答.教师讲解.
活动3【讲授】定义理解
、定义:
我们称它为函数 在 处的导数,记作 或 ,即
定义剖析:
(1) 与 的值有关, 不同, 其导数值一般也不同.
(2)瞬时变化率与导数是同一概念的两个名称.
(3)导数是研究点 处及其附近函数的改变量 与自变量的改变量 之比的极限,它是一个局部性的概念,若 在存在且为一个定数,则函数 在 处有导数,否则就没有.
2、求导步骤.
(1)求增量:
(2)求比值:
(3)求极限:
注意:这里的增量不是一般意义上的增量,它可正也可负.自变量的增量 的形式是多样的,但不论 选择 哪种形式, 也必须选择与之相对应的形式.
思考:设函数f(x)在点 处可导,
?
?
水到渠成,揭示本质.
结合具体问题的实际意义,抽象出导数的概念.
由浅入深、由易到难、由特殊到一般,完成思维的飞跃.
提高学生对导数求解公式的认识和思辨能力.
教师展示课件,板书、讲解要点:
瞬时变化率即导数的概念.
师生共同回忆、归纳求导的步骤,教师板书主要步骤.
学生讨论、动手操作完成
活动4【导入】简介背景
简介导数产生的历史背景.
两类问题直接导致了导数的产生:一是根据物体的路程关于时间的函数求速度与加速度,二是求已知曲线的切线.
导数是微积分的一部分,微积分的奠基人是牛顿和莱布尼兹,他们分别从运动学和几何学角度的来研究微积分.微积分
成为十七世纪最伟大的数学发现.
感受导数在解决实际问题中的作用,了解微积分的文化价值.
教师简单介绍导数产生的背景及生活生产中的作用.
活动5【活动】讲解例题
例题:将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需要对原油进行冷却和加热,如果第 时,原油的温度(单位: )为 ,计算第 时和第 时,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.
强调求导数的基本步骤,巩固导数的概念.
教师示范“2h”时的解题过程.
全体同学笔练求“6h”.
活动6【练习】自主探究
提高学生应用知识、动手操作、解决问题的能力.
深化思维能力,提高数学兴趣.
教师引导学生思考,分情况讨论,再按照导数的定义解释是否有导数.
已学知识的练习使用.
请学生思考,课上或课下尝试完成.
活动7【活动】归纳小结
1、瞬时速度的定义
2.导数(瞬时变化率)的定义
3.求导数的步骤
重点知识回顾
师生共同总结
归纳已学知识
活动8【作业】布置作业
必做题:
1、课本习题1.1A组 3,4
2、预习导数的几何意义
选做题:
探索完成:
课后作业
巩固知识
视频来源：优质课网 www.youzhik.com
