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视频标签：导数的概念
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视频课题：数学选修2-2第一章第一节1.1.2第一课时--导数的概念-云南省优课
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《1.1.2导数的概念（第一课时）》教学设计
一、教学内容解析
本节课是人教A版《普通高中课程标准实验教科书--数学选修2-2》，第一章第一节1.1.2的第一课时--导数的概念.导数是微积分的核心概念之一，它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题的最一般、最有效的工具.考虑到高中学生认知水平，没有采用一般的：数列----数列的极限----函数的极限----导数这种建立概念的方式，而是从变化率入手，用形象直观的“逼近”定义导数.这样一来，一方面排除了因难以理解极限的形式化定义，而对导数本质理解的干扰，将更多的精力放在对导数本质与内涵的理解上；另一方面，学生对逼近的思想有了丰富的直观基础和一定理解，有利于大学学习严格的极限定义.本节课将导数概念的建立划分为两个阶段：首先明确瞬时速度和切线斜率的含义，然后去掉物理背景和几何背景，由两个实例出发，抽象出一般函数的瞬时变化率的概念，给出导数的定义.借助信息技术，通过让学生亲自计算、几何画板展示等方法，让学生体会逼近的思想和用已知探求未知的思考方法.基于以上分析，确定本节课教学重点为：建立导数概念及对导数思想和内涵的理解.
二、教学目标设置
本节的中心任务是形成导数概念.概念形成通过两个实例抽象得出： （1）借助高台跳水问题，明确瞬时速度的含义；
（2）借助抛物线的割线逼近切线的问题，明确切线斜率的含义；
（3）以速度模型为出发点，结合切线斜率抽象出导数概念，使学生认识到导数就是瞬时变化率，理解导数内涵.
（4）通过平均变化率的计算，让学生切身体会逼近思想，渗透以已知探求未知的思考方法，提升数据处理和数学抽象的核心素养.
三、学生学情分析
1.重点中学的学生，思维活跃，善于动脑.在高一年级的物理课程中学习过瞬时速度；在之前函数零点的学习过程中，已有利用“二分法”逼近函数零点的经验，“逼近”的思想对于学生而言，并不陌生.因此，学生已经具备了一定的认知基础.
2.可能存在的问题：
（1）使学生能通过观察发现：运动的物体在某一时刻附近的一段时间内的平均速度在
2
时间间隔越来越小时，逐渐趋于一个确定的值，而且这个确定值就是物体在该时刻的瞬时速度.这个过程学生难以想象，同时数值逼近的运算繁琐，但又不能采取简单的方式告知学生，而是要学生通过实际的计算，在计算过程中，充分感知当||t趋于0时，t
h
趋于一个定值，当||x趋于0时，
x
y
趋于一个定值. （2）在实际教学中，学生需要用到思想方法和表达形式的迁移，即把从平均速度到瞬时速度过渡中所运用的“逼近”的思想方法迁移到从平均变化率到瞬时变化率的过渡，从对一个具体函数在一个确定点的瞬时变化率的表达式迁移到任意一个函数在任意一点的瞬时变化率的表达，这样的探究方法可能会导致学生的不适应而产生困难.
因此，如何引导学生根据生活中具体的实例，结合已有的知识经验，通过“逼近”的方法，由特殊到一般，用类比的方法归纳探究出导数的概念是本节课的难点.
四、教学策略分析
基于以上分析，本节课决定采用复习上节课的探究问题----学生自己计算高台跳水运动员在65
049
t
这段时间内的平均速度，发现平均速度不能准确反映运动员在这一时间段里任意时刻的运动状态，从而，由平均速度的局限性，引出学习瞬时速度的必要性.引导学生思考，如何计算瞬时速度？前面学习的平均速度与要计算的瞬时速度有何关系？用生活中处理瞬时速度的方法----用极短时间内的平均速度近似刻画这段时间内任一时刻的瞬时速度，给学生以启发，可以用同样的方法来探求运动员在某时刻的瞬时速度，注意用已知探求未知的思考方法.先让学生计算1s附近的平均速度，注意当t趋于0时，
t
h
趋于一个定值；要求学生亲自计算两串平均速度，让学生在计算的过程中感受逼近的趋势.然后，再探求2s的瞬时速度，再由特殊到一般，得出任意时刻的瞬时速度；然后换个角度，割线逼近切线，从而割线斜率逼近切线斜率问题；最后舍弃这两个问题的实际背景，抽象出一般函数的瞬时变化率的概念，并用数学语言准确表达.用直观形象的逼近思想来刻画导数概念.
通过“学生亲自计算，让学生充分感知平均速度到瞬时速度的数值逼近”；采用学生熟悉的物理背景平均速度到瞬时速度、割线斜率到切线斜率；以及先由特殊到特殊的类比，再由特殊到一般的归纳，思维难度逐层递进的策略来突破难点。
基本流程： 提出问题，激发求知欲
3
↓
明确解决问题的想法及途径
↓
组织学生小组合作、自主探索，建立导数概念
↓
通过用导数概念求解例题和练习，进一步理解导数概念
五、教学过程设计
（一）复习回顾
回顾探究：在一次跳水运动中，某高台跳水运动员相对于水面的高度(m)h单位：与起跳后的时间(s)t单位：存在函数关系：2()4.96.510httt.
计算运动员在65
049
t
这段时间里的平均速度，并思考下面的问题： （1）运动员在这段时间内是静止的吗？
（2）你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？ 回顾上节课计算、交流的结果，明确研究课题.
问题1. 在一次跳水运动中，某高台跳水运动员相对于水面的高度(m)h单位：与起跳后的时间(s)t单位：存在函数关系：2
()4.96.510httt.
计算运动员在1t的瞬时速度. 【设计意图】
让学生认识到平均速度只能粗略地描述某段时间内的运动状态，并不能精确刻画运动员在每一时刻的运动状态；而高台跳水运动员需要在跳水过程中做出各种不同的动作，为了设计不同时刻的不同动作，需要准确把握运动员在每一时刻的瞬时速度.引发学生的认知冲突，明确本节课学习的必要性.
（二）问题探究：
如何求运动员的瞬时速度？与平均速度有什么关系？引起学生思考！
数学源于生活，用于生活.用测速现场的小视频引起学生思考：高速公路上测速仪，如何在汽车通过的瞬间，测出其瞬时速度呢？
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讲解激光测速仪的原理，利用激光反射，测出汽车在给定时间内的移动距离，从而得出这段时间的平均速度.设汽车在0t时刻附近某一时间段内的平均速度是错误！未找到引用源。，可以想象，如果不断缩短这一时间段的长度，那么错误！未找到引用源。将越来越趋近于汽车在0t时刻的瞬时速度.
同样的方法，我们可以用来研究高台跳水运动员在某时刻的瞬时速度. 师生共同确定想法：计算1t附近的平均速度，细致地观察它的变化情况. 【设计意图】
（1）由生活实例中的测速原理，引导学生“以已知探求未知”，即从平均速度入手，寻求解决瞬时速度的思路，明确研究方法的合理性.
（2）问题具体化，即求运动员在1ts时的瞬时速度.
（三）自己动手，解决问题
1. 当t取不同值时，计算平均速度(1)(1)hthvt
的值.
下表是计算问题1中当1t秒处附近时间段内平均速度的表格，请分组合作完成此表，猜想在1t秒处的瞬时速度，并说明理由.
01,1+(1)(1)=4.93.3
(1)1
tththvtt当时，在内，
01+,1(1)(1)
=4.93.3
1(1)
tthhtvtt当时，在内，
t
v
t
v
0.01 3.349 0.01 3.251 0.001 3.3049 0.001 3.2951 0.0001 3.30049
0.0001
3.29951
0.00001 3.300049
0.00001
3.299951
0.000001
3.3000049 0.000001 3.2999951
为便于观察变化趋势，要计算一组平均速度，引导学生采用数学符号将想法具体化，明确计算公式.要求学生分组合作，通过学生亲自计算引导他们发现平均速度的变化趋势.
【设计意图】熟悉符号.让学生在亲自计算（数学实验操作）的过程中感受逼近的趋势. 2.当t趋近于0时，平均速度v有什么样的变化趋势？
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结合学生的计算结果，组织学生观察、讨论平均速度的变化趋势，引导学生说出“当t趋近于0时，平均速度趋近于一个确定的值-3.3”.
另一方面，根据物理知识，当t趋近于0时，平均速度趋近于瞬时速度.从而得出，当
=1tt，趋近于0时，平均速度v趋于的定值，就是=1t时的瞬时速度.
3.借助几何画板，让学生更直观的感受逼近的趋势.观察动画，可以看到更多的t和v的值，并且随着t逐渐趋近于0，平均速度更加趋近=1t时刻的瞬时速度.尽管如此，通过有限具体的数据只能近似刻画，不能满足我们数学上想要表达的准确刻画瞬时速度的要求.要想准确刻画瞬时速度，需要有限上升到无限，理想状态下的t无限趋近于0时，平均速度趋于的定值就是=1t的瞬时速度.
【设计意图】让学生经历观察、分析、归纳、发现规律的过程，体会瞬时速度的含义. 4.总结规律
运动员在某一时刻0t的瞬时速度怎样表示？已知其他路程和时间函数的解析式，求瞬时速度都是这样吗？
带领学生回顾探求=1t时瞬时速度的全过程，引导学生从特殊到一般，获得0=tt时瞬时速度的形式化表示. 教师介绍符号，并解释符号含义.
【设计意图】从特殊到一般，即从特殊点=1=2tt,上升到任意点0=tt瞬时速度的表示.在从特殊到一般的过程中，让学生体会到数学研究同一类问题的思想方法是相同的，获得更一般的形式化表示.
（四）学习迁移
1.几何学中也有类似的情况需要无限逼近的思想，例如抛物线的割线和切线的位置关系.
借助几何画板，让学生观察，割线BA，逼近抛物线在点A处切线的过程，再一次直观体会无限逼近的思想.
问题2.曲线2
()4.96.510fxxx在1x处切线斜率是多少？
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伴随割线逼近切线的过程，割线斜率逼近切线斜率.仿照求平均速度的方法可以求得抛物线2()4.96.510fxxx在任一点处的切线斜率.
【设计意图】借助几何画板，让学生直观感知逼近思想，将瞬时速度的形式化迁移到切线斜率上，让学生体会其中的共同点.
2.上节课，老师布置了课前作业，请同学们以学习小组为单位，每个小组写出一个与“变化率”有关的实例，课前，教师收上七个小组的“变化率”实例，筛选出“非同质性”的实例有三个，教师提前将小组作业拍照，用PPT播放如下，学生利用所学当堂求解这三个问题：
【设计意图】让学生搜集“变化率”实例，利用课堂所学写出完整的解答过程，能够较好地反馈学生对平均变化率和瞬时变化率的掌握与理解.学生课前搜集，教师提前筛选，提高课堂效率的同时，使得实例涉及不同领域，对数学共性的说明更具说服力，为引出导数概念做好充分铺垫.
（五）抽象概念，数学表达
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1.虽然上面的五个实例涉及不同领域，但从数学的角度思考上述五个实例，在“过程与方法”、“结果的形式”上有哪些共性？
【师生活动】教师要着重引导学生从“数学的角度”观察问题的一致性，从“过程与方法”和“结果的形式”进行归纳小结.学生小组合作探究，教师巡视，深入小组活动，倾听学生交流.教师请小组代表分享交流，其他组进行补充.教师用PPT展示“数学共性”，如下：
【设计意图】培养学生的观察、概括能力.让学生体会微积分的重要思想——用运动变化的观点研究问题.体会极限思想.感受用“平均变化率”趋近“瞬时变化率”的研究方法.关注结果形式的一致性——都是一个确定的数值.引导学生用数学的眼光观察世界，用数学的思维思考世界，用数学的语言表达世界.
2.如果研究更一般的问题，对于函数()yfx在0xx处的瞬时变化率如何表示？ 【师生活动】教师提问，学生回答. 教师要关注学生的数学表达，让学生感受从具体到一般的抽象过程和研究方法. 教师板书，如下：
【设计意图】让学生深刻体会概念的建构过程.
教师引言：其实函数()yfx在0xx处的瞬时变化率就称为函数()yfx在0xx处的导数，这就是导数的概念. 【师生活动】教师板书，如下：
对于函数()yfx在0xx处的瞬时变化率为：
00
()()
limlimxxyfxxfxxx 1. 导数的概念
对于函数()yfx在0xx处的瞬时变化率为：
0''
000
()()
()limlimxxxxyfxxfxfxyxx 叫函数()yfx在0xx处的导数.
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（六）例题讲解 例1.求
2()=fxx在=2x处的导数.
22200(2)(2)
(2)2()44
(2)(2)
(2)limlim(4)4.
xxfxfx
xxxxxx
fxffxx解：因为平均变化率
所以
2
()3.fxxx练习：求在处的导数 【设计意图】熟悉导数定义，掌握求导步骤，了解导数内涵.
例2. 将原油精炼为汽油.柴油.塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热.已
知在第xh时，原油的温度（单位：C。
）为2()715(08)yfxxxx.计算第2h、
第3.5h和第6h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义.
教师引言：原油温度在第2h、第3.5h和第6h时的瞬时变化率，从数学角度，求的是什么？
【师生活动】教师要引导学生体会原油温度在第2h、第3.5h和第6h时的瞬时变化率就是函数2
()715(08)yfxxxx在2,3.5,6x处的导数，即：
'''(2),(3.5),(6)fff.引导学生将实际问题抽象成数学问题，用导数的定义解决问题，注意
结果的形式是一个确定的数值. 引导学生将导数值放回情境，就表示原油温度的瞬时变化率，深刻体会导数的本质. 教师提问，学生先独立思考，然后作答在学案上，组内互评，教师巡视，将学生答案同屏在大屏幕上分享.
【设计意图】经历用导数的概念解决实际问题，让学生感受数学源于生活，更能用于生活.教师巡视时，要关注学生导数符号的书写，解题格式的完整，要关注学生对实际意义的表达.三个计算结果分别为正数、负数、零，让学生感受导数值的多样性，体会瞬时变化率的实际意义，为下一个单元分讲——应用导数探究函数的单调性埋下伏笔. 教师引言：将原油温度问题一般化，那么'0()fx表示什么意义？
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【师生活动】教师引导学生说出'0()fx表示原油温度在0tx时刻的瞬时变化率.深刻体会导数的数学表达和本质. 教师提问，学生独立思考、回答问题.
【设计意图】引导学生用数学的思维解决问题，将实际问题抽象为数学问题.深化对导数概念的理解.理解导数的本质就是瞬时变化率.
教师引言：可见，导数可以描述任何运动变化事物的瞬时变化率.
（七）课堂小结
教师引导学生从以下两个方面进行小结：
知识方面：瞬时速度，切线斜率，瞬时变化率，即导数的定义.
思想方法：思考方法--以已知探求未知，特殊到一般，具体到抽象，逼近思想.
（八）布置作业
1. 请大家查阅相关资料，了解导数概念产生的背景与过程.
2. 结合上节课平均变化率的几何意义，请大家思考，导数的几何意义是什么？这是我们下一节要探究的问题.
六、课堂教学目标检测
通过练习题和本节课小结，检测目标情况发现，圆满完成教学目标1,2,3,4.
七、板书设计
导数的概念
1. 瞬时变化率：
2. 导数的概念：
1. 平均速度：
2. 瞬时速度：
3. 割线斜率：
4. 切线斜率：
例.解：
练习：
八．课后反思
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本节课老师通过层层设问，步步引导，对导数概念引入的必要性和合理性进行了自然的、清楚的深入剖析。
首先，借助学生熟悉的高台跳水的实例，从平均速度开始，利用平均速度探求瞬时速度。学生在高一年级的物理课程中学习过瞬时速度，已经具备了一定的认知基础，充分利用这一认知基础，用形象直观的“逼近”定义瞬时速度。然后，从数转向形，借助函数图象、几何画板直观的动态演示，探求割线无限“逼近”切线的过程。上述过程研究了两类变化率问题：一类是物理学中的问题，涉及平均速度和瞬时速度；另一类是几何学中的问题，涉及割线斜率和切线斜率。 这两类问题虽然来自不同的学科领域，但在解决问题时，都采用了由“平均变化率”逼近“瞬时变化率”的思想方法。接着借助学生自己搜集的生活中变化率的例子，引导学生利用所学解决，使得实例涉及不同领域，对数学共性的说明更具说服力，为引出导数概念做好充分铺垫.最后，引导学生从“数学的角度”观察问题的一致性，从“过程与方法”和“结果的形式”进行归纳小结，抽象得到导数定义。
本堂课抓住“逼近”的思想，由平均速度到瞬时速度，割线斜率到切线斜率，再到导数，由浅入深、由易到难、由特殊到一般，展现了一个完整的数学探究过程，帮助学生完成了思维的飞跃，顺利突破本节课的教学难点。一方面排除了因难以理解极限的形式化定义，而对导数本质理解的干扰，将更多的精力放在对导数本质与内涵的理解上；另一方面，使学生对逼近的思想有了丰富的直观基础和一定理解，有利于后续高水平的学习；同时提及导数产生的时代背景，让学生感受数学文化的熏陶，感受数学源于生活，又服务于生活。
整个教学过程，水到渠成。就是在这样的课堂教学中，教会学生如何用数学的眼光观察世界，用数学的思维分析世界，用数学的语言表达世界，从而顺利提升学生的数学学科核心素养。
当然，这堂课肯定还存在着这样那样的问题，特别是时间的把控上，教师对学生的计算能力过高估计导致一开始的计算探究环节时间耽误略长，课堂显得前松后紧，另外，由于过多强调了知识的生成和数学思维的养成，在录播课有限的时间里还没有来得及对知识进行充分应用，即没有来得及讲解例题，教师应在接下来的教学中对本节知识重点进行应用。
视频来源：优质课网 www.youzhik.com
